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数论初步综合练习答案一、填空题1as+bt=1 24301，17.340488，2.4567二、计算题1解： 28!=2解：24!=3解：由辗转相除法得： （3468，24871）=17， 所以 4解：设这两个数为a，b，由于（a，b）=8，故 a=8x，b=8y，其中（x，y）=1；因为 ab=（a，b）a，b，所以 64xy=512，即 xy=8；而 （x，y）=1，故 x=1，y=8；或 x=8，y=1；所求两数为：a=8，b=64 三、判断及叙述题判断命题：1对2错3错4对5对6对7错叙述定义或定理：1带余数除法（定理）：设a,b是两个给定的整数，那么一定存在唯一的一对整数q与r，满足b=qa+r, . 此外，a|b的充要条件是r=02算术基本定理：设a1，则必有（*）,其中是质数， 且在不计次序的意义下，a的表示式（*）是唯一的3质数：设整数如果它除了显然约数外没有其它的约数，那么，就称为是质数（或素数）四、证明题1证：设(a,b)=d,则a=sd,b=td,且(s,t)=1,所以(na,nb)=(nsd,ntd)=nd=n(a,b) 2证:：若，则n=am,2|m1,这与是质数矛盾3证：不妨设这个有理数是若是整数，则，所以；由于 (a,b)=1,所以 a|b,故 1=(a,b)=a4证：因为 2|n(n-1)(2n-1) （1） (两个连续整数中必有一个为偶数) 则 n=3a+b, 其中a,b为整数，且 （2）当 b=1时，n-1=3a, 所以 3|(n-1);当 b=2时，2n-1=6a+3, 所以 3|(2n-1);当 b=3时，n=3a+3, 所以 3|n;故 3|n(n-1)(2n-1) (3)而 (2,3)=1,由（1），（3）式知：6|n(n-1)(2n-1).5证：假设m不是质数,则存在整数d,1dm,使得d又由1dm知因此所以m为质数6证：假设形如4k-1的质数只有有限个，设为由算术基本定理知N可表成质数之积，即否则由所以形如4k-1的质数有无穷多个7证：因此即（也可用算术基本定理证明）8证：因为n为奇数，设 n=2m+1，其中m为整数；=4m（m+1），又 2|m（m+1），故 8|4m（m+1）， 即 9证：m为奇数，又，从而 ， 其中q为整数，即或2，显然只能为1 10证：是三个连续整数乘积，从而其中必有一个是3的倍数，故；又由于n为奇数，设n=2m+1，则；而（3，8）=1，故 11证：设 a=21n+4，b=14n+3，只要证存在整数x，y，使得 ax+by=1
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