高中数学排列组合经典题型全面总结版

1 高中数学排列与组合高中数学排列与组合 一 典型分类讲解 一 典型分类讲解 一一 特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略 例 1 由 0 1 2 3 4 5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 解 由于末位和首位有特殊要求 应该优先安排 以免不合要求的元素占了这两个位置 先排末位共有 1 3 C 然后排首位共有 1 4 C 最后排其它位置共有 3 4 A 由分步计数原理得 113 434 288C C A 练习题 7 种不同的花种在排成一列的花盆里 若两种葵花不种在中间 也不种在两端的花盆里 问有多少不同的种法 二二 相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略 例 2 7 人站成一排 其中甲乙相邻且丙丁相邻 共有多少种不同的排法 解 可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素 同时丙丁也看成一个复合元素 再与其它元素进行排列 同时对相 邻元素内部进行自排 由分步计数原理可得共有种不同的排法 522 522 480A A A 乙乙甲甲丁丁丙丙 练习题 某人射击 8 枪 命中 4 枪 4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三三 不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略 例 3 一个晚会的节目有 4 个舞蹈 2 个相声 3 个独唱 舞蹈节目不能连续出场 则节目的出场顺序有多少种 解 分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有种 第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位 5 5 A 共有种不同的方法 由分步计数原理 节目的不同顺序共有 种 4 6 A 54 56 A A 练习题 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个新节目插入原节目单中 且两个新节目不相邻 那么不同插法的种数为 30 四四 定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略 例 4 7 人排队 其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解 倍缩法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 然后用总排列数除以这几 个元素之间的全排列数 则共有不同排法种数是 73 73 AA 空位法 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法 其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法 则共有 4 7 A 种方法 4 7 A 思考 可以先让甲乙丙就坐吗 插入法 先排甲乙丙三个人 共有 1 种排法 再把其余 4 四人依次插入共有 方法 练习题 10 人身高各不相等 排成前后排 每排 5 人 要求从左至右身高逐渐增加 共有多少排法 5 10 C 五五 重排问题求幂策略重排问题求幂策略 例 5 把 6 名实习生分配到 7 个车间实习 共有多少种不同的分法 解 完成此事共分六步 把第一名实习生分配到车间有 7 种分法 把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推 由分步计数 原理共有种不同的排法 6 7 练习题 1 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单 开演前又增加了两个新节目 如果将这两个节目插入原节目单中 那么不同 插法的种数为 42 C1 4 A3 4 C1 3 要求某几个元素必须排在一起的问题 可以用捆绑法来解决问题 即将需要相邻的元素合并为一个元素 再与其它元素 一起作排列 同时要注意合并元素内部也必须排列 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 定序问题可以用倍缩法 还可转化为占位插空模型处理空模型处理 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象 元素不受位置的约束 可以逐一安排各个元素的位置 一般地 n 不 同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为种 n m 2 2 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人 他们到各自的一层下电梯 下电梯的方法 8 7 六六 环排问题线排策略环排问题线排策略 例 6 8 人围桌而坐 共有多少种坐法 解 围桌而坐与坐成一排的不同点在于 坐成圆形没有首尾之分 所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有 4 4 A 8 1 种排法即 7 HF D C A ABCDEA B E G HGF 练习题 6 颗颜色不同的钻石 可穿成几种钻石圈 120 七七 多排问题直排策略多排问题直排策略 例 7 8 人排成前后两排 每排 4 人 其中甲乙在前排 丙在后排 共有多少排法 解 8 人排前后两排 相当于 8 人坐 8 把椅子 可以把椅子排成一排 个特殊元素有种 再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 2 4 A 种 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有种 则共有种 1 4 A 5 5 A 215 445 A A A 前 排后 排 练习题 有两排座位 前排 11 个座位 后排 12 个座位 现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐 并且这 2 人不 左右相邻 那么不同排法的种数是 346 八八 排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略 例 8 有 5 个不同的小球 装入 4 个不同的盒内 每盒至少装一个球 共有多少不同的装法 解 第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有种方法 再把 4 个元素 包含一个复合元素 装入 4 个不同的盒内有 2 5 C 种方法 根据分步计数原理装球的方法共有 4 4 A 24 54 C A 练习题 一个班有 6 名战士 其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务 每人完成一种任务 且正副班长有且只 有 1 人参加 则不同的选法有 192 种 九九 小集团问题先整体后局部策略小集团问题先整体后局部策略 例 9 用 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1 在两个奇数之间 这样的五位数有多少个 解 把 当作一个小集团与 排队共有种排法 再排小集团内部共有种排法 由分步计数原理共有 2 2 A 22 22 A A 种排法 15243 222 222 A A A 练习题 计划展出 10 幅不同的画 其中 1 幅水彩画 幅油画 幅国画 排成一行陈列 要求同一 品种的必须连在一起 并 且水彩画不在两端 那么共有陈列方式的种数为 254 254 A A A 2 5 男生和 女生站成一排照像 男生相邻 女生也相邻的排法有种 255 255 A A A 十十 元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略 例 10 有 10 个运动员名额 分给 7 个班 每班至少一个 有多少种分配方案 解 因为 10 个名额没有差别 把它们排成一排 相邻名额之间形成 个空隙 在 个空档中选 个位置插个隔板 可把 名额分成 份 对应地分给 个班级 每一种插板方法对应一种分法共有种分法 6 9 C 一般地 n 个不同元素作圆形排列 共有 n 1 种排法 如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 1 m n A n 一般地 元素分成多排的排列问题 可归结为一排考虑 再分段研究 解决排列组合混合问题 先选后排是最基本的指导思想 此法与相邻元素捆绑策略相似吗 3 一一 班班 二二 班班 三三 班班 四四 班班 五五 班班 六六 班班 七七 班班 练习题 1 10 个相同的球装 5 个盒中 每盒至少一有多少装法 4 9 C 2 求这个方程组的自然数解的组数 100 xyzw 3 103 C 十一十一 正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略 例 11 从 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这十个数字中取出三个数 使其和为不小于 10 的偶数 不同的 取法有多少种 解 这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难 可用总体淘汰法 这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数 所取的三个数含 有 3 个偶数的取法有 只含有 1 个偶数的取法有 和为偶数的取法共有 再淘汰和小于 10 的偶数共 3 5 C 12 55 C C 123 555 C CC 9 种 符合条件的取法共有 123 555 9C CC 练习题 我们班里有 43 位同学 从中任抽 5 人 正 副班长 团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种 十二十二 平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略 例 12 6 本不同的书平均分成 3 堆 每堆 2 本共有多少分法 解 分三步取书得种方法 但这里出现重复计数的现象 不妨记 6 本书为 ABCDEF 若第一步取 AB 第二步取 CD 第三 222 642 C C C 步取 EF 该分法记为 AB CD EF 则中还有 AB EF CD CD AB EF CD EF AB EF CD AB EF AB CD 共有 222 642 C C C 种取法 而这些分法仅是 AB CD EF 一种分法 故共有种分法 3 3 A 2223 6423 C C CA 练习题 1 将 13 个球队分成 3 组 一组 5 个队 其它两组 4 个队 有多少分法 5442 13842 C C CA 2 10 名学生分成 3 组 其中一组 4 人 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组 有多少种不同的分组方法 1540 3 某校高二年级共有六个班级 现从外地转 入 4 名学生 要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名 则不同的安排方案种数 为 2222 4262 90C C AA 十三十三 合理分类与分步策略合理分类与分步策略 例 13 在一次演唱会上共 10 名演员 其中 8 人能能唱歌 5 人会跳舞 现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目 有多少选派方法 解 10 演员中有 5 人只会唱歌 2 人只会跳舞 3 人为全能演员 选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上 唱歌人员共有种 只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员种 只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 22 33 C C 112 534 C C C 种 由分类计数原理共有 种 22 55 C C 2211222 3353455 C CC C CC C 练习题 1 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会 若这 4 人中必须既有男生又有女生 则不同的选法共有 34 2 3 成人 2 小孩乘船游玩 1 号船最多乘 3 人 2 号船最多乘 2 人 3 号船只能乘 1 人 他们任选 2 只船或 3 只船 但小孩不能单 独乘一只船 这 3 人共有多少乘船方法 27 本题还有如下分类标准 以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准 以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准 以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 十四十四 构造模型策略构造模型策略 将 n 个相同的元素分成 m 份 n m 为正整数 每份至少一个元素 可以用 m 1 块隔板 插入 n 个元素排成一排的 n 1 个 空隙中 所有分法数为 1 1 m n C 有些排列组合问题 正面直接考虑比较复杂 而它的反面往往比较简捷 可以先求出它的反面 再从整体中淘汰 平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要一定要除以 为均分的组数 避免重复计数 n n An 解含有约束条件的排列组合问题 可按元素的性质进行分类 按事件发生的连续过程分步 做到标准明确 分步层次 清楚 不重不漏 分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终 4 例 14 马路上有编号为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 的九只路灯 现要关掉其中的 3 盏 但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏 也不能关掉两 端的 2 盏 求满足条件的关灯方法有多少种 解 把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 种 3 5 C 练习题 某排共有 10 个座位 若 4 人就坐 每人左右两边都有空位 那么不同的坐法有多少种 120 十五十五 实际操作穷举策略实际操作穷举策略 例 15 设有编号 1 2 3 4 5 的五个球和编号 1 2 3 4 5 的五个盒子 现将 5 个球投入这五个盒子内 要求每个盒子放一个球 并 且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同 有多少投法 解 从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应 利用实际操作法 如果剩下 3 4 5 号球 2 5 C 3 4 5 号盒 3 号球装 4 号盒时 则 4 5 号球有只有 1 种装法 同理 3 号球装 5 号盒时 4 5 号球有也只有 1 种装法 由分 步计数原理有种 2 5 2C 5 53 34 4 3 号盒 4 号盒 5 号盒 练习题 1 同一寝室 4 人 每人写一张贺年卡集中起来 然后每人各拿一张别人的贺年卡 则四张贺年卡不同的分配方式有多少种 9 2 给图中区域涂色 要求相邻区 域不同色 现有 4 种可选颜色 则不同的着色方法有 72 种 5 4 32 1 十六十六 分解与合成策略分解与合成策略 例 16 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析 先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030 2 3 5 7 11 13 依题意可知偶因数必先取 2 再从其余 5 个 因数中任取若干个组成乘积 所有的偶因数为 12345 55555 CCCCC 练习 正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线 解 我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 每个四面体有 3 对异面直线 正方体中的 8 个顶点可连 4 8 1258C 成对异面直线3 58174 十七十七 化归策略化归策略 例 17 25 人排成 5 5 方阵 现从中选 3 人 要求 3 人不在同一行也不在同一列 不同的选法有多少种 解 将这个问题退化成 9 人排成 3 3 方阵 现从中选 3 人 要求 3 人不在同一行也不在同一列 有多少选法 这样每行必有 1 人从 其中的一行中选取 1 人后 把这人所在的行列都划掉 如此继续下去 从 3 3 方队中选 3 人的方法有种 再从 5 5 方 111 321 C C C 阵选出 3 3 方阵便可解决问题 从 5 5 方队中选取 3 行 3 列有选法所以从 5 5 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人 33 55 C C 有选法 33111 55321 C C C C C 练习题 某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路 从 A 走到 B 的最短路径有多少种 3 7 35C B A 十八十八 数字排序问题查字典策略数字排序问题查字典策略 例 18 由 0 1 2 3 4 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数 解 29722 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 AAAAAN 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型 如占位填空模型 排队模型 装盒模型等 可使问题直观解决 对于条件比较复杂的排列组合问题 不易用公式进行运算 往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决 然后依据问题分解后 的结构 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 从而得到问题的答案 每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略 处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题 通过解决这个简要的问题的 解决找到解题方法 从而进下一步解决原来的问题 数字排序问题可用查字典法 查字典的法应从高位向低位查 依次求出其符合要求的个数 根据分类计数原理求出其总数 5 练习 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字组成没有重复的四位偶数 将这些数字从小到大排列起来 第 71 个数是 3140 十九十九 树图策略树图策略 例 19 人相互传球 由甲开始发球 并作为第一次传球 经过次传求后 球仍回到甲的手中 则不同的传球方式有 35 10 N 练习 分别编有 1 2 3 4 5 号码的人与椅 其中 号人不坐 号椅 的不同坐法有多少种 ii54321 i 44 N 二十二十 复杂分类问题表格策略复杂分类问题表格策略 例 20 有红 黄 兰色的球各 5 只 分别标有 A B C D E 五个字母 现从中取 5 只 要求各字母均有且三色齐备 则共有多 少种不同的取法 解 二十一 住店法策略二十一 住店法策略 解决 允许重复排列问题 要注意区分两类元素 一类元素可以重复 另一类不能重复 把不能重复的元素看作 客 能重复 的元素看作 店 再利用乘法原理直接求解 例 21 七名学生争夺五项冠军 每项冠军只能由一人获得 获得冠军的可能的种数有 分析 因同一学生可以同时夺得 n 项冠军 故学生可重复排列 将七名学生看作 7 家 店 五项冠军看作 5 名 客 每个 客 有 7 种住宿法 由乘法原理得 7 种 5 排列组合易错题正误解析排列组合易错题正误解析 1 1 没有理解两个基本原理出错没有理解两个基本原理出错 排列组合问题基于两个基本计数原理 即加法原理和乘法原理 故理解 分类用加 分步用乘 是解决排列组合问题的前提 例例 1 1 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台 其中至少有原装与组装计算机各两台 则不同的取法有 种 误解 因为可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机 所以只有 2 种取法 错因分析 误解的原因在于没有意识到 选取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机 是完成任务的两 类 办法 每类办法中都还有不同的取法 正解 正解 由分析 完成第一类办法还可以分成两步 第一步在原装计算机中任意选取 2 台 有种方法 第二步是在组装计 2 6 C 算机任意选取 3 台 有种方法 据乘法原理共有种方法 同理 完成第二类办法中有种方法 据加法原理完成 3 5 C 3 5 2 6 CC 2 5 3 6 CC 全部的选取过程共有全部的选取过程共有种方法种方法 3 5 2 6 CC350 2 5 3 6 CC 例例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲 乙 丙三人中产生 那么不同的夺冠情况共有 种 A B C D 3 4 A 3 4 4 3 3 4 C 误解 把四个冠军 排在甲 乙 丙三个位置上 选 A 正解 正解 四项比赛的冠军依次在甲 乙 丙三人中选取 每项冠军都有 3 种选取方法 由乘法原理共有种 4 33333 说明 本题还有同学这样误解 甲乙丙夺冠均有四种情况 由乘法原理得 这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得 3 4 后 其他人就不再有 4 种夺冠可能 2 判断不出是排列还是组合出错判断不出是排列还是组合出错 在判断一个问题是排列还是组合问题时 主要看元素的组成有没有顺序性 有顺序的是排列 无顺序的是组合 例例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球 排成一排 共有多少种不同的排列方法 误解 因为是 8 个小球的全排列 所以共有种方法 8 8 A 错因分析 误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的 5 个白色小球也是完全相同的 同色球之间互换位置是同一种排法 正解 正解 8 个小球排好后对应着 8 个位置 题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球 剩下的位置给白球 由于这 3 个红球完全相同 所以没有顺序 是组合问题 这样共有 排法 56 3 8 C 3 重复计算出错重复计算出错 在排列组合中常会遇到元素分配问题 平均分组问题等 这些问题要注意避免重复计数 产生错误 对于条件比较复杂的排列组合问题 不易用 公式进行运算 树图会收到意想不到的结果 红 111223 黄 123121 兰 321211 取法 1 4 1 5C C 2 4 1 5C C 3 4 1 5C C 1 3 2 5C C 2 3 2 5C C 1 2 3 5C C 一些复杂的分类选取题 要满足的条件比较多 无从入手 经常出现重复遗漏的情况 用表格法 则分类明确 能保证题中须 满足的条件 能达到好的效果 6 例例 4 5 本不同的书全部分给 4 个学生 每个学生至少一本 不同的分法种数为 A 480 种 B 240 种 C 120 种 D 96 种 误解 先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人 有种方法 剩下的 1 本书可以给任意一个人有 4 种分法 共有种不同 4 5 A4804 4 5 A 的分法 选 A 错因分析 设 5 本书为 四个人为甲 乙 丙 丁 按照上述分法可能如下的表 1 和表 2 abcde 表 1 是甲首先分得 乙分得 丙分得 丁分得 最后一本书给甲的情况 表 2 是甲首先分得 乙分得 丙分得abcdeeb 丁分得 最后一本书给甲的情况 这两种情况是完全相同的 而在误解中计算成了不同的情况 正好重复了一次 cda 正解 正解 首先把 5 本书转化成 4 本书 然后分给 4 个人 第一步 从 5 本书中任意取出 2 本捆绑成一本书 有种方法 第二 2 5 C 步 再把 4 本书分给 4 个学生 有种方法 由乘法原理 共有种方法 故选 B 4 4 A 2 5 C240 4 4 A 例 5 某交通岗共有 3 人 从周一到周日的七天中 每天安排一人值班 每人至少值 2 天 其不同的排法共有 种 A 5040 B 1260 C 210 D 630 误解 第一个人先挑选 2 天 第二个人再挑选 2 天 剩下的 3 天给第三个人 这三个人再进行全排列 共有 选 B 1260 3 3 2 5 2 7 ACC 错因分析 这里是均匀分组问题 比如 第一人挑选的是周一 周二 第二人挑选的是周三 周四 也可能是第一个人挑选的是 周三 周四 第二人挑选的是周一 周二 所以在全排列的过程中就重复计算了 正解 正解 种 630 2 3 3 2 5 2 7 ACC 4 遗漏计算出错遗漏计算出错 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面 因为遗漏某些情况 而出错 例 6 用数字 0 1 2 3 4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有 A 36 个 B 48 个 C 66 个 D 72 个 误解 如右图 最后一位只能是 1 或 3 有两种取法 又因为第 1 位不能是 0 在最后一位取定后只有 3 种取 法 剩下 3 个数排中间两个位置有种排法 共有个 2 3 A3632 2 3 A 错因分析 误解只考虑了四位数的情况 而比 1000 大的奇数还可能是五位数 正解 正解 任一个五位的奇数都符合要求 共有个 再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有 72 个 选 D 3632 3 3 A 5 忽视题设条件出错忽视题设条件出错 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号 不然就可能多解或者漏解 例 7 如图 一个地区分为 5 个行政区域 现给地图着色 要求相邻区域不得使用同一颜色 现有 4 种颜色可供选择 则不同的着色方法共有 种 以数字作答 误解 先着色第一区域 有 4 种方法 剩下 3 种颜色涂四个区域 即有一种颜色涂相对的 两块区域 有种 由乘法原理共有 种 122 2 2 1 3 AC48124 错因分析 没有看清题设 有 4 种颜色可供选择 不一定需要 4 种颜色全部使用 用 3 种也可以完成任务 正解 正解 当使用四种颜色时 由前面的误解知有 48 种着色方法 当仅使用三种颜色时 从 4 种颜色中选取 3 种有种方法 先 3 4 C 着色第一区域 有 3 种方法 剩下 2 种颜色涂四个区域 只能是一种颜色涂第 2 4 区域 另一种颜色涂第 3 5 区域 有 2 种着 色方法 由乘法原理有种 综上共有 种 2423 3 4 C722448 例 8 已知是关于的一元二次方程 其中 求解集不同的一元二次方程的个数 0 2 baxxa 4 3 2 1 b 误解 从集合中任意取两个元素作为 方程有个 当 取同一个数时方程有 1 个 共有 4 3 2 1 ab 2 4 Aab 个 131 2 4 A 错因分析 误解中没有注意到题设中 求解集不同的 所以在上述解法中要去掉同解情况 由于同 4 2 2 1 b a b a 和 解 同解 故要减去 2 个 正解 正解 由分析 共有个解集不同的一元二次方程 2 4 1 2 b a b a 和11213 6 未考虑特殊情况出错未考虑特殊情况出错 在排列组合中要特别注意一些特殊情况 一有疏漏就会出错 1 3 2 5 4 乙丙丁 a 甲 e d cb 表 1 乙丙丁 a 甲 e d cb 表 2 01 3 7 例9 现有1角 2角 5角 1元 2元 5元 10元 50元人民币各一张 100元人民币2张 从中至少取一张 共可组成不同的币 值种数是 A 1024种 B 1023种 C 1536种 D 1535种 误 因为共有人民币10张 每张人民币都有取和不取2种情况 减去全不取的1种情况 共有种 10231210 错因分析 这里100元面值比较特殊有两张 在误解中被计算成 4 种情况 实际上只有不取 取一张和取二张3种情况 正解 正解 除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况 100元人民币的取法有3种情况 再减去全不取的1种情况 所以共有 种 15351329 7 题意的理解偏差出错题意的理解偏差出错 例 10 现有 8 个人排成一排照相 其中有甲 乙 丙三人不能相邻的排法有 种 A B C D 5 5 3 6 AA 3 3 6 6 8 8 AAA 3 3 3 5 AA 4 6 8 8 AA 误解 除了甲 乙 丙三人以外的 5 人先排 有种排法 5 人排好后产生 6 个空档 插入甲 乙 丙三人有种方法 5 5 A 3 6 A 这样共有种排法 选 A 5 5 3 6 AA 错因分析 误解中没有理解 甲 乙 丙三人不能相邻 的含义 得到的结果是 甲 乙 丙三人互不相邻 的情况 甲 乙 丙三人不能相邻 是指甲 乙 丙三人不能同时相邻 但允许其中有两人相邻 正解 在 8 个人全排列的方法数中减去甲 乙 丙全相邻的方法数 就得到甲 乙 丙三人不相邻的方法数 即 故选 B 3 3 6 6 8 8 AAA 8 解题策略的选择不当出错解题策略的选择不当出错 例 10 高三年级的三个班到甲 乙 丙 丁四个工厂进行社会实践 其中工厂甲必须有班级去 每班去何工厂可自由选择 则不同的分配方案有 A 16 种 B 18 种 C 37 种 D 48 种 误解 甲工厂先派一个班去 有 3 种选派方法 剩下的 2 个班均有 4 种选择 这样共有种方案 48443 错因分析 显然这里有重复计算 如 班先派去了甲工厂 班选择时也去了甲工厂 这与班先派去了甲工厂 班选abba 择时也去了甲工厂是同一种情况 而在上述解法中当作了不一样的情况 并且这种重复很难排除 正解 正解 用间接法 先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数 再扣除甲工厂无人去的情况 即 种方案 37333444 二 典型例题讲解 二 典型例题讲解 例例 1 用 0 到 9 这 10 个数字 可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析 分析 这一问题的限制条件是 没有重复数字 数字 0 不能排在千位数上 个位数字只能是 0 2 4 6 8 从限制条件入手 可划分如下 如果从个位数入手 四位偶数可分为 个位数是 0 的四位偶做 个位数是 2 4 6 8 的四位偶数 这是因为零不能放在千位数上 由此解法一与二 如果从千位数入手 四位偶数可分为 千位数是 1 3 5 7 9 和千位数是 2 4 6 8 两类 由此得解 法三 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类 先求出四位个数的个数 用排除法 得解法四 解法解法 1 当个位数上排 0 时 千位 百位 十位上可以从余下的九个数字中任选 3 个来排列 故有 个 3 9 A 当个位上在 2 4 6 8 中任选一个来排 则千位上从余下的八个非零数字中任选一个 百位 十位上 再从余下的八个数字中任选两个来排 按乘法原理有 个 2 8 1 8 1 4 AAA 没有重复数字的四位偶数有 个 22961792504 2 8 1 8 1 4 3 9 AAAA 解法解法 2 当个位数上排 0 时 同解一有个 当个位数上排 2 4 6 8 中之一时 千位 百位 十 3 9 A 位上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列数中减去千位数是 0 排列数得 个 2 8 3 9 1 4 AAA 没有重复数字的四位偶数有 个 22961792504 2 8 3 9 1 4 3 9 AAAA 解法解法 3 千位数上从 1 3 5 7 9 中任选一个 个位数上从 0 2 4 6 8 中任选一个 百位 十位上 从余下的八个数字中任选两个作排列有 个 2 8 1 5 1 5 AAA 8 干位上从 2 4 6 8 中任选一个 个位数上从余下的四个偶数中任意选一个 包括 0 在内 百位 十 位从余下的八个数字中任意选两个作排列 有 个 2 8 1 4 1 4 AAA 没有重复数字的四位偶数有 个 2296 2 8 1 4 1 4 2 8 1 5 1 5 AAAAAA 解法解法 4 将没有重复数字的四位数字划分为两类 四位奇数和四位偶数 没有重复数字的四位数有个 3 9 4 10 AA 其中四位奇数有个 2 8 3 9 1 5 AAA 没有重复数字的四位偶数有 2 8 3 9 3 9 3 9 2 8 3 9 1 5 3 9 4 10 5510 AAAAAAAAA 2 8 3 9 54AA 2 8 2 8 536AA 2 8 41A 个2296 说明 说明 这是典型的简单具有限制条件的排列问题 上述四种解法是基本 常见的解法 要认真体会每种解 法的实质 掌握其解答方法 以期灵活运用 典型例题二典型例题二 例例 2 三个女生和五个男生排成一排 1 如果女生必须全排在一起 可有多少种不同的排法 2 如果女生必须全分开 可有多少种不同的排法 3 如果两端都不能排女生 可有多少种不同的排法 4 如果两端不能都排女生 可有多少种不同的排法 解 解 1 捆绑法 因为三个女生必须排在一起 所以可以先把她们看成一个整体 这样同五个男生合 一起共有六个元素 然成一排有种不同排法 对于其中的每一种排法 三个女生之间又都有对种不同 6 6 A 3 3 A 的排法 因此共有种不同的排法 4320 3 3 6 6 AA 2 插空法 要保证女生全分开 可先把五个男生排好 每两个相邻的男生之间留出一个空档 这样共 有 4 个空档 加上两边两个男生外侧的两个位置 共有六个位置 再把三个女生插入这六个位置中 只要保证 每个位置至多插入一个女生 就能保证任意两个女生都不相邻 由于五个男生排成一排有种不同排法 对 5 5 A 于其中任意一种排法 从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法 因此共有 3 6 A 种不同的排法 14400 3 6 5 5 AA 3 解法 1 位置分析法 因为两端不能排女生 所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个 有种不同 2 5 A 的排法 对于其中的任意一种排法 其余六位都有种排法 所以共有种不同的排法 6 6 A14400 6 6 2 5 AA 解法 2 间接法 3 个女生和 5 个男生排成一排共有种不同的排法 从中扣除女生排在首位的 8 8 A 种排法和女生排在末位的种排法 但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被 7 7 1 3 AA 7 7 1 3 AA 扣去一次 在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次 所以还需加一次回来 由于两端都是女生有 种不同的排法 所以共有种不同的排法 6 6 2 3 AA 144002 6 6 2 3 7 7 1 3 8 8 AAAAA 解法 3 元素分析法 从中间 6 个位置中挑选出 3 个来让 3 个女生排入 有种不同的排法 对于其 3 6 A 中的任意一种排活 其余 5 个位置又都有种不同的排法 所以共有种不同的排法 5 5 A14400 5 5 3 6 AA 4 解法 1 因为只要求两端不都排女生 所以如果首位排了男生 则未位就不再受条件限制了 这样 可有种不同的排法 如果首位排女生 有种排法 这时末位就只能排男生 有种排法 首末两 7 7 1 5 AA 1 3 A 1 5 A 端任意排定一种情况后 其余 6 位都有种不同的排法 这样可有种不同排法 因此共有 6 6 A 6 6 1 5 1 3 AAA 种不同的排法 36000 6 6 1 5 1 3 7 7 1 5 AAAAA 解法 2 3 个女生和 5 个男生排成一排有种排法 从中扣去两端都是女生排法种 就能得到两 8 8 A 6 6 2 3 AA 9 端不都是女生的排法种数 因此共有种不同的排法 36000 6 6 2 3 8 8 AAA 说明 说明 解决排列 组合 下面将学到 由于规律相同 顺便提及 以下遇到也同样处理 应用问题最常用 也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法 若以位置为主 需先满足特殊位置的要求 再处理其它位置 有两个以上约束条件 往往是考虑一个约 束条件的同时要兼顾其它条件 若以元素为主 需先满足特殊元素要求再处理其它的元素 间接法有的也称做排除法或排异法 有时用这种方法解决问题来得简单 明快 捆绑法 插入法对于有的问题确是适用的好方法 要认真搞清在什么条件下使用 典型例题三典型例题三 例例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单 1 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 2 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种 解 解 1 先排歌唱节目有种 歌唱节目之间以及两端共有 6 个位子 从中选 4 个放入舞蹈节目 共 5 5 A 有中方法 所以任两个舞蹈节目不相邻排法有 43200 4 6 A 5 5 A 4 6 A 2 先排舞蹈节目有中方法 在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位 恰好供 5 个歌唱节目放入 4 4 A 所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 2880 种方法 4 4 A 5 5 A 说明 说明 对于 间隔 排列问题 我们往往先排个数较少的元素 再让其余元素插空排列 否则 若先排个 数较多的元素 再让其余元素插空排时 往往个数较多的元素有相邻情况 如本题 2 中 若先排歌唱节目 有 再排舞蹈节目有 这样排完之后 其中含有歌唱节目相邻的情况 不符合间隔排列的要求 5 5 A 4 6 A 典型例题四典型例题四 例例 4 某一天的课程表要排入政治 语文 数学 物理 体育 美术共六节课 如果第一节不排体育 最 后一节不排数学 那么共有多少种不同的排课程表的方法 分析与解法分析与解法 1 6 六门课总的排法是 其中不符合要求的可 6 6 A 分为 体育排在第一书有种排法 如图中 数学排在最后一节 5 5 A 有种排法 如图中 但这两种排法 都包括体育排在第一书数 5 5 A 学排在最后一节 如图中 这种情况有种排法 因此符合条件 4 4 A 的排法应是 种 5042 4 4 5 5 6 6 AAA 分析与解法分析与解法 2 根据要求 课程表安排可分为 4 种情况 1 体育 数学既不排在第一节也不排在最后一节 这种排法有种 4 4 2 4 AA 2 数学排在第一节但体育不排在最后一节 有排法种 4 4 1 4 AA 3 体育排在最后一节但数学不排在第一节 有排法种 4 4 1 4 AA 4 数学排在第一节 体育排在最后一节 有排法 4 4 A 这四类排法并列 不重复也不遗漏 故总的排法有 种 504 4 4 1 4 4 4 1 4 4 4 2 4 AAAAAA 分析与解法分析与解法 3 根据要求 课表安排还可分下述 4 种情况 1 体育 数学既不在最后也不在开头一节 有种排法 12 2 4 A 2 数学排在第一节 体育不排在最后一节 有 4 种排法 3 体育在最后一书 数学木在第一节有 4 种排法 4 数学在第一节 体育在最后一节有 1 种排法 上述 21 种排法确定以后 仅剩余下四门课程排法是种 故总排法数为 种 4 4 A50421 4 4 A 下面再提出一个问题 请予解答 问题 有 6 个人排队 甲不在排头 乙不在排尾 问并肩多少种不同的排法 10 请读者完成此题 说明 说明 解答排列 组合问题要注意一题多解的练习 不仅能提高解题能力 而且是检验所解答问题正确与 否的行之有效的方法 典型例题五典型例题五 例例 5 现有辆公交车 位司机和位售票员 每辆车上需配 位司机和 位售票员 问车辆 司机 售33311 票员搭配方案一共有多少种 分析 分析 可以把辆车看成排了顺序的三个空 然后把名司机和名售票员分别填入 因此可认333 为事件分两步完成 每一步都是一个排列问题 解 解 分两步完成 第一步 把名司机安排到辆车中 有种安排方法 第二步把名售票员安排336 3 3 A3 到辆车中 有种安排方法 故搭配方案共有36 3 3 A 种 36 3 3 3 3 AA 说明 说明 许多复杂的排列问题 不可能一步就能完成 而应分解开来考虑 即经适当地分类成分或分步之后 应用分类计数原理 分步计数原理原理去解决 在分类或分步时 要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚 防 止分类或分步的混乱 典型例题六典型例题六 例例 6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表 如果有所重点院校 每所院校有个专业是你较为满意43 的选择 若表格填满且规定学校没有重复 同一学校的专业也没有重复的话 你将有多少种不同的填表方法 学 校 专 业 1 1 2 2 1 2 3 1 2 分析 分析 填写学校时是有顺序的 因为这涉及到第一志愿 第二志愿 第三志愿的问题 同一学校的两个专 业也有顺序 要区分出第一专业和第二专业 因此这是一个排列问题 解 解 填表过程可分两步 第一步 确定填报学校及其顺序 则在所学校中选出所并加排列 共有43 种不同的排法 第二步 从每所院校的个专业中选出个专业并确定其顺序 其中又包含三小步 因此 3 4 A32 总的排列数有种 综合以上两步 由分步计数原理得不同的填表方法有 2 3 2 3 2 3 AAA 种 5184 2 3 2 3 2 3 3 4 AAAA 说明 说明 要完成的事件与元素的排列顺序是否有关 有时题中并未直接点明 需要根据实际情景自己判断 特别是学习了后面的 组合 之后这一点尤其重要 选而且排 元素之间有顺序要求 的是排列 选而不 排 元素之间无顺序要求 的是组合 另外 较复杂的事件应分解开考虑 典型例题七典型例题七 例例 5 名同学排队照相 7 1 若分成两排照 前排人 后排人 有多少种不同的排法 34 2 若排成两排照 前排人 后排人 但其中甲必须在前排 乙必须在后排 有多少种不同的排法 34 3 若排成一排照 甲 乙 丙三人必须相邻 有多少种不同的排法 4 若排成一排照 人中有名男生 名女生 女生不能相邻 有多少种不面的排法 743 分析 分析 1 可分两步完成 第一步 从人中选出人排在前排 有种排法 第二步 剩下的人排在73 3 7 A4 后排 有种排法 故一共有种排法 事实上排两排与排成一排一样 只不过把第个位子 4 4 A 7 7 4 4 3 7 AAA 7 4 看成第二排而已 排法总数都是 相当于个人的全排列 2 优先安排甲 乙 3 用 捆绑法 4 用 7 7 A7 插空法 解 1 种 5040 7 7 4 4 3 7 AAA 2 第一步安排甲 有种排法 第二步安排乙 有种排法 第三步余下的人排在剩下的个位置上 1 3 A 1 4 A55 11 有种排法 由分步计数原理得 符合要求的排法共有种 5 5 A1440 5 5 1 4 1 3 AAA 3 第一步 将甲 乙 丙视为一个元素 有其余个元素排成一排 即看成个元素的全排列问题 有45 种排法 第二步 甲 乙 丙三人内部全排列 有种排法 由分步计数原理得 共有种 5 5 A 3 3 A720 3 3 5 5 AA 排法 4 第一步 名男生全排列 有种排法 第二步 女生插空 即将名女生插入名男生之间的个4 4 4 A345 空位 这样可保证女生不相邻 易知有种插入方法 由分步计数原理得 符合条件的排法共有 3 5 A 种 1440 3 5 4 4 AA 说明 说明 1 相邻问题用 捆绑法 即把若干个相邻的特殊元素 捆绑 为一个 大元素 与其他普通元 素全排列 最后再 松绑 将这些特殊元素进行全排列 2 不相邻问题用 插空法 即先安排好没有限制 条件的元素 然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间 典型例题八典型例题八 例例 8 从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数 求所有三位数的和 65432 分析 分析 可以从每个数字出现的次数来分析 例如 当它位于个位时 即形如的数共有个2 2 4 A 从四个数中选两个填入前面的两个空 当这些数相加时 由 所产生的和是 当位6543 22 2 4 A2 于十位时 即形如的数也有 那么当这些数相加时 由 产生的和应是 当位于面 2 4 A2102 2 4 A2 位时 可同理分析 然后再依次分析的情况 6543 解 解 形如的数共有个 当这些数相加时 由 产生的和是 形如的数也有 2 4 A22 2 4 A 个 当这些数相加时 由 产生的和是 形如的数也有个 当这些数相加时 由 2 4 A2102 2 4 A 2 4 A 产生的和应是 这样在所有三位数的和中 由 产生的和是 同理由21002 2 4 A21112 2 4 A 产生的和分别是 因此所有三位数的和是6543 1113 2 4 A1114 2 4 A1115 2 4 A1116 2 4 A 26640 65432 111 2 4 A 说明 说明 类似于这种求 数字之和 的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解决 如 由四个x 5 4 1 数字组成没有重复数字的四位数 若所有这些四位数的各数位上的数字之和为 求数 本题的特殊性288x 在于 由于是全排列 每个数字都要选用 故每个数字均出现了次 故有 24 4 4 A288 541 24 x 得 2 x 典型例题九典型例题九 例 9 计算下列各题 1 2 3 2 15 A 6 6 A 1 1 1 1 n n mn mn m n A AA 4 5 33 22 1nn 1 4 3 3 2 2 1 n n 解 解 1 2101415 2 15 A 2 720123456 6 6 6 A 3 原式 1 1 1 1 1 n mn mn n 1 1 1 1 n mn mn n 4 原式 1 3 4 2 3 1 2 nn 1 1 n 5 1 1 1 1 nnn n 12 1 4 3 3 2 2 1 n n 1 1 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 nnn 说明 说明 准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键 本题计算中灵活地用到下列各式 使问题解得简单 快捷 1 nnn 1 nnnn 1 1 1 1 nnn n 典型例题十典型例题十 例例 10 六人排一列纵队 限定要排在的前面 与可以相邻 也可以不相邻 fedcba abab 求共有几种排法 对这个题目 四位同学各自给出了一种算式 的算式是 的算ABCDA 6 6 2 1 AB 式是 的算式是 4 4 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 AAAAAA C 4 6 A 的算式是 上面四个算式是否正确 正确的加以解释 不正确的说明理由 D 4 4 2 6 AC 解 解 中很显然 在前的六人纵队 的排队数目与 在前的六人纵队 排队数目相等 而 六Aabba 人纵队 的排法数目应是这二者数目之和 这表明 的算式正确 A 中把六人排队这件事划分为占位 占位 其他四人占位这样三个阶段 然后用乘法求出总数 注Bab 意到占位的状况决定了占位的方法