【精品】《四川省环境空气质量监测能力建设 ..79

由a生成的理想：有单位元的交换环，(a)=a*r|rR无单位元的交换环，(a)=a*r+na|rR定理：设S,SR,定义(S)为满足如下条件的最小子集:(1)aS,则a(S)(2)a,b(S),则a-b(S)(3)a(S),rR,则a*r,r*a(S)则(S);+,*是环R;+,*的理想。定义：设S,SR,(S)为满足上述定理条件的最小子集,则称 (S);+,*是环R;+,*的由S生成的理想。,定义15.14:由环R中一个元素生成的理想称为该环的主理想。如果一个环的所有(真)理想是主理想，则称该环为主理想环例：Z;+,*是主理想环。分析:关键是证明对任意理想D,都能找到生成元.证明:若D=0,成立.若D0,则设法找生成元.取D中绝对值最小的非零元b,证明b是D的生成元,定理15.13：域F上的多项式环Fx是主理想环。分析:与前面证明方法类似.证明:若I=0,成立对于I0的理想,其生成元是什么呢?对多项式,则应取I中非零的、多项式次数最小的p(x).这样就要证明对任一理想,可表示成p(x)f(x)|f(x)Fx,p(x)为该理想中次数最小的. 需要利用定理15.8 定理15.8：对f(x)Fx,g(x)Fx, g(x)0,存在唯一的q(x),r(x)Fx, degr(x)0,则(p(x)=p(x)*h(x)|h(x) F(x)是多项式环的理想.Fx/(p(x);,是商环,其零元(的单位元)是(p(x)+0, 其单位元是(p(x)+1,这里0是Fx的零元,1是Fx的单位元.,Fx/(p(x)=,Z2x;+,*是Z2上的多项式环。取p(x)= x2+x+1,则:Z2x/(p(x)=(p(x), (p(x)+1, (p(x)+x,(p(x)+(x+1),简化为0,1,x,x+1,定理15.17:Fx为域F上的多项式环, 商环Fx/(p(x)是域, 当且仅当p(x)为Fx上的不可约多项式。证明:(1)商环Fx/(p(x)是域,证明p(x)为不可约多项式反证,若p(x)可约,则存在h(x), g(x)F(x), 且0degh(x),degg(x)degp(x),使得p(x)=h(x)*g(x)因此h(x),g(x)(p(x),即(p(x)+h(x)和(p(x)+g(x)都不是Fx/(p(x)的零元.但(p(x)+h(x)(p(x)+g(x)=(p(x)+h(x)g(x)=(p(x)+p(x)=(p(x)为Fx/(p(x)的零元而Fx/(p(x)是域,无零因子.,(2) p(x)为Fx上的不可约多项式,证明商环Fx/(p(x)是域首先可以知道Fx/(p(x)是交换环.且有单位元(p(x)+1. 关键是考虑Fx/(p(x) 中每个非零元是否都存在逆元. 对Fx/(p(x)中任意非零元(p(x)+r(x),其中degr(x)degp(x),利用p(x)不可约,可得(p(x),r(x)=aF*.由定理15.9(2),存在s(x),t(x)F(x),使得p(x)s(x)+r(x)t(x)=a因此(p(x)+a-1t(x)是(p(x)+r(x)的逆元推论15.4:Zp=Z/(p)为域当且仅当p为素数,例:讨论商环Z3x/(x4+1)是否为域。x4+1=(x2+2x+2)(x2+x+2),所以Z3x/(x4+1)不是域,Z3x/(x2+1)x2+1在Z3上不可约,Z3x/(x2+1)为域Z3x/(x2+1) =