2017-2018学年河北省衡水市期末数学试卷-普通用卷

2017-2018学年河北省衡水市期末数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知函数y=2x的定义域为M，集合N=x|y=lg（x-1），则MN=（）A. 0,2)B. (0,2)C. 1,2)D. (1,22. 已知集合A到B的映射f：xy=x2+1，那么集合B中象5在A中对应的原象是（）A. 26B. 2C. 2D. 23. 函数f(x)=13x+1x+2的定义域为（）A. (2,0B. (,2)(2,0)C. (2,1D. (,2)(2,14. 若向量BA=(2，3)，CA=(4，7)，则BC等于（）A. (6,10)B. (2,4)C. (2,4)D. (6,10)5. 已知函数f（x）=3x,x0log4x,x0，则ff(116)=（）A. 19B. 19C. 9D. 96. 直线kxy13k，当k变动时，所有直线都通过定点( )A. (0,0)B. (0,1)C. (3,1)D. (2,1)7. 已知奇函数f（x）在区间（-，0）内单调递增，且f（-2）=0，则不等式f（x）0的解集为（）A. 2,2B. (,2(0，2C. (,22,+)D. 2,02,+)8. 函数f（x）=ln（x+1）-2x的零点所在的大致区间是（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)9. 水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知AC=3，BC=2，则AB边上的中线的实际长度为（）A. 52B. 5C. 54D. 210. 函数y=exexex+ex的图象大致为（）A. B. C. D. 11. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A. 1：2：3B. 1：3：5C. 1：2：4D. 1：3：912. 已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log2x-2的零点依次为a，b，c，则（）A. abcB. cbaC. cabD. ba33|x|,x3，函数g（x）=b-f（3-x），其中bR，若函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，则b的取值范围为_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知圆C经过点A（2，-1）和直线x+y-1=0相切，且圆心在直线y=-2x上（1）求圆C的方程；（2）若直线y=2x-2与圆C交于A，B两点，求弦AB的长18. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，连结A1C、BD（）求证：A1CBD；（）求三棱锥A1-BCD的体积19. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90，点D是AB的中点（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1平面CDB120. 在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，A的平分线所在直线的方程为y=0，若B点的坐标为（1，2）（1）求直线AC的方程；（2）求A，C两点间的距离21. 设f（x）=log12（1axx1）为奇函数，a为常数（1）求a的值；（2）证明：f（x）在（1，+）内单调递增；（3）若对于3，4上的每一个x的值，不等式f（x）（12）x+m恒成立，求实数m的取值范围22. 已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间0，2上有表达式f（x）=x（x-2）（1）写出f（x）在-3，3上的表达式，并写出函数f（x）在-3，3上的单调区间（不用过程，直接出即可）；（2）求出f（x）在-3，3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值答案和解析1.【答案】D【解析】解：2-x0 x2 M=x|x2 又x-10 x1 N=x|x1 MN=x|1x2 故选：D分别由函数所满足的条件求出集合M、N，在进行集合运算即可本题考查函数定义域的求法和集合运算求函数定义域时，须把保证函数有意义的条件全部列出，求解不等式（组）；集合运算可借助数轴完成属简单题2.【答案】D【解析】解：集合A到B的映射f：xy=x2+1， 由5=x2+1，得x=2， 集合B中象5在A中对应的原象为2 故选：D由5=x2+1，得x=2，由此能求出集合B中象5在A中对应的原象本题考查原象的求法，考查映射等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3.【答案】A【解析】解：由，解得-2x0函数的定义域为-2，0故选：A由根式内部的代数式大于等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解本题考查函数的定义域及其求法，考查指数不等式的解法，是基础题4.【答案】C【解析】解：向量，=-（4，7）+（2，3）=（-2，-4）故选：C直接利用向量的加法运算法则求解即可本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题5.【答案】A【解析】解：由题意可得f（）=-2，f（f（）=f（-2）=3-2=，故选：A先由函数的解析式求出f（）=-2，可得要求的式子即f（-2）=3-2，运算求得结果本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，对数的运算性质，属于中档题6.【答案】C【解析】解：由kx-y+1=3k得k（x-3）=y-1对于任何kR都成立，则，解得 x=3，y=1，故选：C将直线的方程变形为k（x-3）=y-1 对于任何kR都成立，从而有，解出定点的坐标本题考查直线过定点问题，把直线方程变形为参数乘以一个因式再加上另一个因式等于0的形式恒成立，故这两个因式都等于07.【答案】B【解析】解：奇函数f（x）在区间（-，0）内单调递增，且f（-2）=0，f（x）在区间（0，+）内单调递增，且f（2）=0，作出其图象如下，不等式f（x）0的解集为：x|x-2或0x2故选：B由题意可知，f（x）在区间（0，+）内单调递增，且f（2）=0，作出其图象，从而可得答案本题考查函数单调性的性质，着重考查“奇函数在对称区间上有相同的单调性”的性质及其应用，考查数形结合的思想，属于基础题8.【答案】B【解析】解：f（1）=ln（1+1）-2=ln2-20，而f（2）=ln3-1lne-1=0，函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在区间是 （1，2），故选：B函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号9.【答案】A【解析】解：直观图中AC=3，BC=2，RtABC中，AC=3，BC=4由勾股定理可得AB=5则AB边上的中线的实际长度为故选：A由已知中直观图中线段的长，可分析出ABC实际为一个直角边长分别为3，4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案本题考查的知识点是斜二测画法直观图，其中掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解答的关键10.【答案】C【解析】解：函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，又当x=0时，y=0，故函数的图象过原点，故排除A、B；当x趋于+时，函数=趋于1，故排除D，故选：C根据函数的图象经过定点（0，0），排除A、B，再根据当x趋于+时，函数y的值趋于1，排除D，从而得出结论本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的图象经过定点问题，属于中档题11.【答案】B【解析】解：由此可得到三个圆锥， 根据题意则有： 底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3， 母线长之比：l1：l2：l3=1：2：3， 侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9， 所以三部分侧面面积之比：S1：（S2-S1）：（S3-S2）=1：3：5 故选：B先从得到的三个圆锥入手，根据“过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面”，结合相似比：可知底面半径之比：r1：r2：r3=1：2：3，母线长之比：l1：l2：l3=1：2：3，侧面积之比：S1：S2：S3=1：4：9，从而得到结论本题主要考查圆锥的结构特征，特别考查了截面问题，三角形相似比，属中档题12.【答案】A【解析】解：令函数f（x）=2x+x=0，可知x0，即a0；令g（x）=log2x+x=0，则0x1，即0b1； 令h（x）=log2x-2=0，可知x=4，即c=4显然abc 故选：A分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果函数的零点问题，关键是能够确定零点或判断零点的范围本题是基础题目，难度不大13.【答案】3【解析】解：由直线ax+y+3=0，可得其斜率为-a，又直线的倾斜角为120，-a=tan120=-，则a=故答案为：由已知直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题14.【答案】6365【解析】解：，都是锐角，-（，），由sin=，sin（-）=，得cos=，cos（-）=cos=cos-（-）=coscos（-）+sinsin（-）=故答案为：由已知求得cos，cos（-）的值，再由cos=cos-（-），展开两角差的余弦求解本题考查两角差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是基础题15.【答案】4【解析】解：=+4当且仅当4sin2x=cos2x时等号成立故答案为；4先利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系对函数解析式化简整理，然后利用基本不等式求得函数的最小值本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，二倍角化简求值，基本不等式的求最值考查了基础知识的综合运用16.【答案】（114，3【解析】解：，f（3-x）=，令y=f（x）-g（x）=f（x）+f（3-x）-b=0，则b=f（x）+f（3-x）=，作函数b=f（x）+f（3-x）的图象如下，结合函数的图象可得，当b3时，函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，故答案为：（，3）化简f（3-x），作函数b=b=f（x）+f（3-x）的图象如下，结合函数的图象可得b的范围本题考查了绝对值函数的化简与应用，同时考查了数形结合的思想应用17.【答案】解：（1）圆心在直线y=-2x上，设圆心为C（a，-2a），则圆C的方程为（x-a）2+（y+2a）2=r2（r0），又圆C与x+y-1=0相切，r=|a2a1|2=|1+a|2，圆C过点A（2，-1），(2a)2+(1+2a)2=(1+a)22，解得a=1，圆C的方程为（x-1）2+（y+2）2=2；（2）设AB的中点为D，圆心为C，连CD，AD，则|CD|=|2+22|5=25，|AC|=2，由平面几何知识知：|AB|=2|AD|=2|AC|2|CD|2=2305，即弦AB的长为2305【解析】（1）由圆心在直线y=-2x上，可设圆心为C（a，-2a），则圆C的方程为（x-a）2+（y+2a）2=r2（r0），由圆C与x+y-1=0相切，可得，再由圆C过点A（2，-1），得，求出a=1，则圆的方程可求；（2）设AB的中点为D，圆心为C，连CD，AD，由点到直线的距离公式求|CD|，再由垂径定理得弦AB的长本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题18.【答案】解：（）证明：连ACAB=BC，BDAC（2分）A1A底面ABCD，BDA1A（4分）A1A平面A1AC，AC平面A1AC，A1AAC=A，BD平面A1AC（6分）BDA1C（8分）（）解：A1A平面BCD，所以A1A是锥体的高，VA1BCD=13SBCDAA1=1312112=13（14分）【解析】（）利用线面垂直的性质先证明BD平面A1AC，然后再证：A1CBD； （）根据锥体的体积公式求体积即可本题主要考查线面垂直的性质以及应用，锥体的体积公式19.【答案】证明：（1）ACB=90，ACCB，又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有ACBB1，CBBB1=B，AC平面BB1C1CBC1平面BB1C1C，ACBC1；（2）设BC1与B1C交于点P，连DP，易知P是BC1的中点，又D是AB中点，AC1DP，DP平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1【解析】（1）由ACBC，先证明AC平面BB1C1C即可能证明ACBC1 （2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，由已知推导出DEAC1，由此能证明AC1平面CDB1本题考查线线垂直、线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20.【答案】解：（1）在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，A的平分线所在直线的方程为y=0，由y=0x2y+1=0，得A（-1，0），又KAB=201(1)=1，x轴为A的平分线，故KAC=-1，直线AC的方程为y=-（x+1），即直线AC的方程为x+y+1=0（2）BC边上的高的方程为x-2y+1=0，KBC=-2，BC：y-2=-2（x-1）即：2x+y-4=0，由x+y+1=02x+y4=0，解得C（5，-6），|AC|=(5+1)2+(60)2=62【解析】（1）先求出A（-1，0），从而，由x轴为A的平分线，得KAC=-1，由此能求出直线AC的方程（2）求出KBC=-2，从而BC：2x+y-4=0，联立，得C（5，-6），由此能求出|AC|的值本题考查直线方程的求法，考查弦长的求法，考查直线方程、直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题21.【答案】解：由题意，f（x）是奇函数，即f（-x）+f（x）=0，可得：log12（1axx1）+log12（1+axx1）=log121即(1ax)(1+ax)(1+x)(x1)=1，得：1-a2x2=-（x2-1）a2x2=x2，a=1检验：当a=1，不满足题意，a=-1，可得f（x）=log12（1+xx1），即：-log12（1+xx1）=log12（1xx1），f（x）为奇函数（2）由（1）知f（x）=log12（1+xx1），设u=h（x）=1+xx1=1+2x1，那么f（x）转化为g（u）=log12u在（1，+）内是减函数，只需证明h（x）函数在（1，+）内单调递减即可；证明：设任意的x1，x2满足1x1x2，则h（x1）=1+2x11，h（x2）=1+2x21，那么：h（x1）-h（x2）=1+2x11-（1+2x21）=2(x21)2(x11)(x11)(x21)=2(x2x1)(x11)(x21)1x1x2，x1-10，x2-10，x2-x10h（x1）-h（x2）0，即h（x1）h（x2）函数h（x）在（1，+）内单调递减即可；即f（x）在（1，+）内单调递增；（3）对于3，4上的每一个x的值，不等式f（x）（12）x+m恒成立，只需f（x）min(12)xmax+m即可由（2）可知f（x）在（1，+）内单调递增；f（x）在3，4上单调递增；当x=3，f（x）取得最小值为-1，y=（12）x是减函数，当x=3，y取得最大值为18，-118+m，得：m98故实数m的取值范围是（-，-98）【解析】（1）根据f（x）是奇函数，即f（-x）+f（x）=0，即可求a的值； （2）利用复合函数的单调性只需证明内层函数在（1，+）内单调递减即可； （3）根据指数和对数函数单调性即可求解求解实数m的取值范围本题考查了对数指数函数的单调性的运用和判断，复合函数的证明以及恒成立问题的转化思想属于中档题22.【答案】解：f（x）=kf（x+