极限思想及应用.docx

极限思想及其应用摘 要极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。尤其是对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。只有结合微积分等数学知识，才能使经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。其他学科也是如此，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程做出初步的探索和分析。 关键词 ：极限思想；微积分；经济学AbstractLimit thought as a mathematical idea of the mankind from the ancient to the present limits of the full theory of the evolution of its long and tortuous journey filled with hard work of many mathematicians, intelligence, conscientiousness and pursued the struggle footprint. Limit the evolution of thought process that is thousands of years of human knowledge and transform the worlds response to one aspect of the process, the human pursuit of truth, the pursuit of ideals, always realistic, vivid portrayal of innovation. Limit the production and improvement of ideological and social needs of practice, it produces for the development of mathematics has added a new impetus, as the ideas and methods of modern mathematics foundation and starting point. Theoretical limit of thought is the basis of calculus, and calculus and economics, physics, mechanical and automation disciplines and daily life are inseparable. Especially in economics, is a look at the nature of the phenomenon through the essential tools, the core of economics, the word marginal is one of the guide number of economic concepts. Only the combination of calculus and other mathematical knowledge, to make economics the surface from a mere superficial knowledge of the phenomenon of reasoning, superficial subject, into a scientific approach to mathematical analysis, combined with extensive knowledge of the social sciences, to analyze the deep-seated, more widespread application of the basic conclusions of the subjects. The same is same in other disciplines, limit the application of nowhere, without thinking, understanding and rational application of control limits to thought, allows us to solve practical problems in the process, can quickly find solutions to the problem and improve the practical results. In this paper the limits on the use of mathematical ideas in various disciplines to solve practical problems in the thinking process to make a preliminary exploration and analysis.Key Words：Limit thought；Calculus；Economics目 录摘 要IABSTRACTII1.极限的产生及发展11.1极限思想的萌芽时期11.2极限思想的发展时期31.3极限思想的完善时期32.极限思想在经济中的应用42.1边际概念及其数学极限思想42.2弹性概念及其数学极限思想62.3消费者剩余概念及其数学极限思想73.极限思想在保险学中的应用93.1保险学的概率论数学原理93.2大数法则和中心极限定理在保险中的应用104.极限思想在其他方面的应用124.1极限思想在建筑学中的应用124.2极限思想在化学中的应用125.结束语13参考文献14 - 15 -极限思想及其应用1. 极限的产生及发展所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到结果.极限思想作为一种数学思想，其发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完善时期。在其漫长曲折的演变历程中布满了众多哲学家、数学家们的奋斗足迹，闪烁着人类智慧的光芒。极限理论的形成为微积分提供了理论基础，为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上凸显出了高等数学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想和方法。理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史上的一些问题将具有一定的理论意义。1.1 极限思想的萌芽时期远在两千多年以前，人们在对无穷的萌芽认识中，极限的思想和方法就不可回避地孕育在其中了。在我国，著名的庄子天下篇一书中有言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。墨家著作墨子经下中的也有“非半弗，则不动，说在端。根据论述，经说下解释道：“非，半。进前取也，前则中无为半，犹端也。前后取，则端中也。必半，毋与非半，不可也。”从中可体现出我国早期对物质的无限可分性与连续性已有相当深刻的认识，虽然这些认识更多地属于哲学，但已反映出极限思想的萌芽。将无穷思想创造性地运用到数学中，当属我国魏晋时期的数学家刘微。刘徽在注释九章算术时创立了有名的“割圆术，他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。可见刘徽对无穷的认识已相当深刻，对极限的观念和方法已经有了直观基础上的应用。正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，他一直算到192边形时，得到15750314，之后又算到3072边形时得到3927125031416。到公元5世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲之(429500)在其失传的缀术中(据数学史家考证)，同样运用“割圆术一算到24576边形得到：31415926 0,有limnP1ni=1ni-=1辛钦大数定律说明独立同分布的随机变量的算术平均值依概率收敛于它的数学期望值,它为在实际应用中用算术平均值估计数学期望提供了理论依据.独立同分布的中心极限定理设1,2,3,n是独立的且具有相同分布的随机变量序列,并且具有数学期望和方差: Ei=Di=20 (i= 1, 2,n,),则对任意实数x,有limnPi=1ni-nnx=12-xe-t22dt=（x）独立同分布的中心极限定理表达了正态分布在概率论中的特殊地位,尽管i的分布是任意的,但只要n充分大,随机变量i=1ni-nn近似服从标准正态分布N(0,1).或者说,当n很大时,独立同分布的随机变量i的和i=1ni近似服从正态分布N(n,n2) .这就是那些(可以看作由许多微小的、独立的随机因素作用的总结果,而每一个因素的影响却都很小)随机变量,一般都可以近似地服从正态分布的理论根据,因而正态分布在理论上和应用上都具有极大的重要性.若Bn，p，则当n很大时，有Pabb-npnp1-p-a-npnp1-p3.2 大数法则和中心极限定理在保险中的应用大数法则是概率论中的一个重要法则.它揭示了这样一个规律:大量的、在一定条件下重复出现的随机现象将出现一定的规律性和稳定性.如果我们对某种随机事件进行试验,当试验次数较少时,实验结果往往很不稳定,其结果依赖于个别随机事件;当试验次数较多时,实验的结果就非常稳定,而且试验结果会脱离对个别随机事件的依赖.例如将一枚均匀的硬币投向空中,正面朝上的概率为0.5.如果只扔10次硬币,可能看到有8次是正面朝上的,但如果硬币被扔成千上万次,得到正面朝上的频率越接近0.5.因此,当投掷次数越多,实际结果越接近期望结果.这一点对保险的经营有重要意义.风险单位是发生一次风险事故可能造成标的物损失的范围,也就是遭受损失的人、场所或事物.风险单位是保险公司确定其能够承担的最高保险责任的计算基础.理想状态下的风险单位应独立且同分布.这种现象的意义在于保险人可以据此向每个潜在的被保险人收取同样的保费.大数法则表明,独立同分布风险单位的数目越大,对均值的实际偏差就会减少,实际结果越接近期望结果.根据中心极限定理,含有n个风险单位的随机样本的平均损失符合正态分布.这个结论对保险费率的厘定极为重要.保险公司是一个从事对损失理赔的行业,它的经营机制是将分散的不确定性集中起来,转变为大致的确定性以分摊损失,其最关心的是实际损失与预期损失概率的偏差.在开展新的业务前,必须通过大量的损失统计资料对风险损失概率进行精确地估算,根据大数法则,承保的风险单位越多,实际损失与预期损失概率的偏差就越小;承保的风险单位越少,实际损失与预期损失概率的偏差就越大.而实际损失与预期损失概率的偏差又影响到保险公司的服务稳定和经营效益.因此,保险公司在根据大量的损失统计资料精算出预期损失概率并制定出合理的保险费率的基础上应尽可能地多承保风险单位,也就越可能有足够的资金赔付保险期内发生的所有索赔,从而使保险公司运营更加平稳,也就越有利于投保人或被保险人.例如，某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数.我们可以利用中心极限定理,求出被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值：P143030-1000.21000.20.8-14-1000.21000.20.8=2.5-1.5=0.994-1-0.933=0.927再例如，某矿区为井下工人开展人身保险.规定每人年初向保险公司交保险金20元,一年保险期内若工人死亡,保险公司向家属赔偿2000元.由历史资料知该矿井下工人的死亡率为0.0036,现此矿区有10000名井下工人参加人身保险。我们可以计算出一年内井下工人死亡数不超过30人的概率：设表示一年内井下工人死亡数.则B(10000,0.0036)P3030-100000.0036100000.00360.9964-0-100000.0036100000.00360.99640.159我们还可以求出保险公司一年获利不少于86000元的概率：要使保险公司一年获利不少于86000元,必须满足：2010000 - 2000 8600057P5757-36360.9964-0-36360.99640.99977中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下,不论总体的分布如何,样本的均值总是近似地服从正态分布。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和,则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之,恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要的意义。4. 极限思想在其他方面的应用4.1 极限思想在建筑学中的应用对于地下隧道的稳定性评价一直缺乏一个合适的评判指标，传统方法无法算出地下洞室工程的安全系数和威严的破坏面，仅凭应力、位移、拉应力区和塑性区大小很难确定地下洞室工程的安全度与破裂面。当前工程上尚没有隧道稳定安全系数的概念，一般按照经验对隧道围岩的稳定性先进行分级。极限分析法通过对岩土体强度参数的折减，使岩土处于极限状态，因而有可能使岩土体显示潜在的破裂面，并求得安全系数，这在边（滑）坡稳定分析中取得了成功，但应用于地下洞室工程中算出的塑性区往往是一大片，而不像边（滑）坡岩土体内存在明显的剪切带，因而要找出围岩内的破裂面比较困难。本文研究表明，隧道围岩发生塑性应变突变时的情况就是围岩发生破坏流动的情况，因而只要找出围岩塑性应变发生突变时的塑性区各断面中塑性应变值最大的点，并将其连成线，就可得到围岩的潜在破坏面（如下图所示），同时可求得地下洞室的安全系数，本文所说的隧道稳定安全系数是指隧道整体安全系数，即把非等强度的真实岩体视为均质等强的岩体，据此求出安全系数。4.2 极限思想在化学中的应用对于可逆反应而言，当反应达到平衡状态后，其各组分的量均不可能为0。而在解决一些化学平衡问题时，尤其是关系取值范围问题的解决，我们却可以借助完全反应这一“极限思想”进行。例如在一密闭容器进行的可逆反应：2SO2(g)O2(g) 2SO3(g)，已知某时刻SO2、O2、SO3的浓度分别为0.2mol/L、0.1mol/L、0.2mol/L，当反应达到平衡时，我们想知道这三种气体的密度可能只在什么范围之内，这就需要我们运用极限思想进行分析。根据可逆反应的特点可知，无论反应向正向移动还是逆向移动，达到平衡时SO2、SO3浓度的取值范围均为0c0.4mol/L，而O2的浓度为0c0.2mol/L。5. 结束语从微积分的产生到极限理论的建立，这个历史过程生动地表明:科学认识的产生和发展必须适应社会的经济需要和自身发展的需要;科学认识在其发展进程中面临困难，必须注意思想与方法上的革新和创造;而一种新的数学方法，不能长期停留在形象直观的阶段上，必须在不断深化认识的基础上，由定性认识转化为定量认识，形成概念和理论的系统，否则，就不可能做出科学的抽象，也不可能适应社会经济以及数学自身发展的需要.数学方法只有在发展到概念和理论的系统以后，才能成为生产和科学技术的有力工真.极限理