从考研数学试题谈导数的应用.doc

1 引言数学在我们的学习和工作中起奠基作用，从2003年起考研数学分数由原来的100分调整至150分，这说明数学在考研中起着举足轻重的作用。考研数学由于其自身学科的特点，一直属于拉分的科目，因此经常在一些考研论坛上听到这样的说法：得数学者得天下。这种说法可能不完全正确，但却说明了数学在考研中的重要性，可以说数学是拉开考研分数的一个分水岭。因此，我们应该引起高度的重视，而导数在考研数学中占据了相当的份量，有着广泛的应用。导数是我们解决某些问题的工具，我们在高中的时候对它就有了一定的认识，在大学里我们进一步学习导数，在研究生入学考试中我们仍然考查导数，可见导数之重要,应用之广泛。为了能更好地解决考研数学中有关导数的问题，我们就要熟练地掌握导数的定义、性质、基本公式、运算法则等并对一些能用导数解决的问题进行归纳与总结，并给出相应的求解方法。国内外也有许多人对导数的应用进行了相应的探究，但对于导数在考研数学试题中的应用并未给出全面，系统地概括与阐述。因此，我结合所学知识和查阅相关资料，从利用导数定义解题、利用导数求未定式极限、利用导数研究函数这三方面着手对导数的应用进行讨论。本文中例题的选取以内容为准，以题型归类，边分析例题，边讲解思路，边解题，边思考，解题完毕后，概括题型特征，归纳、总结出几类题型的解题方法。对导数的应用全面、深刻地理解，为解决数学问题提供了新的思路，新的方法和途径，有助于我们快速、准确地解决相关问题，深入理解，巩固提高，灵活运用所学知识。下面我就从考研数学真题来谈谈导数的应用。 2 利用导数定义解题2.1 相关概念的阐述 导数：设在及其附近有定义， 。若存在，则称在可导且极限值称为在点的导数，记为或。另外，还应注意一等价定义，即：=。导数是函数增量与自变量增量之比的极限。导函数：若函数在内点点可导，则称在内为可导函数。对于内可导的函数来说，对，都有的一个导数值与之对应，这样就得到了一个定义在内的函数，称为在内的导函数。记作：或，即。单侧导数：包括左导数与右导数，而左导数：右导数：单侧导数常用来判断函数在点处的可导性，即：若存在，存在且相等。偏导数：函数在点处有定义，则对在点处的偏导数可定义为：，同理可定义对在点处的偏导数为：2.2利用导数定义解题在遇到以下情形时我们用导数的定义进行求解： 判断函数在某点的可导性； 已知存在求极限或已知极限求； 判断分段函数在分段点的可导性与含绝对值符号的函数的可导性；例1（06年考研真题）设在处连续，且，则（C）（A）且存在 （B）且存在（C） 且存在 （D）且存在分析：从选项知，要求的是函数在某点的函数值及判断单侧函数的存在性，前者从入手计算，运用极限的重要结论即，后者用单侧导数的定义进行求解即可。解：由存在且分母极限为0，得分子极限也应为0，即： 排除（B）（D）。而存在。故选（C）例2 （08年考研真题）已知，则（B）（A），都存在 （B）不存在，存在（C）存在，不存在 （D），都不存在分析：从选项知，要判断函数在某定点偏导数的存在性，用偏导数的定义进行判断即可。解： ，此时不存在，而 故选（B）归纳总结：在考研数学中，导数（偏导数）的定义非常重要，我们要熟练地掌握其定义式。在解题的过程中，我们应该形成一种思维定势：若在题设条件中给出一个函数在某点处的导数值，即，不管“三七二十一”，根据所求把函数在该点的导数定义式“凑”出来再说。除此之外，我们要把导数与所学过的知识结合起来解题，并能灵活运用。在做有关导数定义应用的选择题时，要学会通过举反例排除的方法，一般我们可举分段函数或含绝对值符号的函数进行排除。3 利用导数求未定式极限 未定式1极限是每年考研必考的内容，而未定式的求解有很多方法，洛必达法则2是求未定式极限的重要方法之一。洛必达法则是以导数为工具研究未定式极限的方法，而未定式极限有，这七中类型。而使用洛必达法则的前提是或型未定式，对于不是这两种类型的未定式，我们必须先化简，再利用洛必达法则进行求解。3.1 和型未定式若是或型未定式，则直接利用洛必达法则即：若（有限数）或，则=或。例3 （08年考研真题）求极限解：此题属于型直接利用洛必达法则即可原极限=注：在利用洛必达法则求未定式极限时，应尽量简化未定式，常利用无穷小代换进行简化，此时就要求我们熟记常见的几个等价无穷小代换。3.2 和型未定式例4（05年考研真题）求分析：此题为型未定式，不能直接利用洛必达法则，须先化简。解：原极限注： 若型未定式为两分式之差，利用通分即可化为型未定式。 若型未定式不含分式，但含无理式,则利用无理式有理化即可化为型或型未定式。 若型未定式既不含分式也不含无理式，通常利用倒代换即可化为两分式之差，再通分就可化为型未定式，此时利用洛必达法则求解即可。 若为型可化为型或型，即型或型，再利用洛必达法则即可。3.3 ，和型未定式若为，型未定式，令，可以通过对数恒等式统一化成，要求，只须求即可，而已成为型，就可根据上面的方法进行化简并计算。例5（10年考研真题）求极限分析：本题属于型未定式，不能直接利用洛必达法则，须先化简。解：原极限，而 原极限4 利用导数研究函数4.1 极值与最值最近几年考研试题中所出现的求函数极值和最值问题主要有一元函数的极值和最值二元函数的极值和最值条件极值和最值。极值：设在点的某实心邻域内有定义，若对该邻域内异于点的任一点总有 (或)成立，则称是函数在点处取得的极大值（或极小值）,并称点为的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点。 条件极值：求函数在一个或多个条件函数限制下的极值称为条件极值。 最值：设是定义在某一区域D上的函数，对于D上的某一点及任一点，总有（或），则称为在区域D上的最大（小）值，最大值与最小值统称为最值。例6（05年考研真题）设，下列命题中正确的是（B）（A）是极大值，是极小值 （B）是极小值，是极大值（C）是极大值，是极大值 （D）是极小值，是极小值分析：先求出、，再用取极值的充分条件判断即可。解法1：，由或由为极小值；由为极大值。解法2：当时，为极小值；当时，而时，为极大值。一元函数求极值的一般思路： 确定函数定义域及其连续区间，即确定寻找取极值点的范围。 求可能极值点：驻点和不可导点。 判断可能取极值的点是否为极值点，判断方法如下： 若在两方异号，则必为极值点当的符号由变，则为极大值；当的符号由变为，则为极小值。 设函数二阶可导且而，则必为极值点，且为极小值；为极大值。例7（10年考研真题）求函数在约束条件下的最值与极值。解：对，由隐函数求导法得，而，把，代入得，由，得 当时，由得，联立、式得 把式代入得联立、式得，而当时，由式得，且，解得，所以可能取极值的点为，分别代入得，故最大值为，最小值为。下面求极值：由，分别把上面求出的可能极值点代入判断的符号，即得在、点处且，此时取极大值且极大值为在、点处且，此时取极小值且极小值为而在、两点处不取极值。 注：上题在求可能极值点时也可利用拉格朗日乘数法进行求解，即作拉格朗日函数，则由方程组 消去，解出可能极值点即可。归纳总结：不管是一元函数还是多元函数，最值与极值都有着密切的联系。一般我们可利用函数的极值来求最值，要求多元函数条件最值相当于求条件极值，而求二元函数在约束条件下的条件极值一般有三种方法： 代入法，即把条件极值转化为无条件极值来求解； 作拉格朗日函数，由方程组消去，解出可能极值点； 如上例中的求解方法，即对约束条件用隐函数求导法进行求解，解出；由复合函数求导法3求出且把代入；由求出驻点；由一元函数在驻点处是否取得极值的充分条件判断驻点是否为极值点，在求三元函数时方法相同，只是在判断是否为极值点时应该用二元函数极值的判别方法，即先求出，再判断的符号：若且则取极大值；若且则取极小值；若则不取极值；若不能判断是否取极值。4.2 凹凸性与拐点凹凸函数：任取都有或（），则称在为凹（凸）的。拐点：使凹凸性发生改变的点称为拐点。例8（07年考研真题）设函数由方程确定，试判断曲线在附近的凹凸性。分析：由凹凸性判别方法和隐函数求导法即可求解。解：方程两边同时微分得，则，把代入得由于二阶导函数在附近时连续函数，所以由可知在附近有，故曲线在附近是凸的。注： 一般情况下由的值或符号不能判别附近曲线的凹凸性，但当二阶导函数在处连续时就可以用的值或符号判别附近曲线的凹凸性。 判断曲线凹凸性的一般步骤是： 确定曲线的连续区间； 由方程求其根，也要求出二阶导数不存在的点； 的根及二阶导数不存在的点将连续区间分成若干区间，在各个区间内讨论的符号（讨论时可采用特例法）：设是任一部分区间，若当时，有（或），则曲线在区间内是凹或凸的。例9（10年考研真题）若曲线有拐点，则解：，是曲线的拐点，则点在曲线上且，即且解得小结： 判断是拐点的方法有： 若在左右两端异号，则必为拐点，即：当在左右两端的符号由变为或由变为，都为曲线的拐点； 若但则必为拐点； 拐点是使凹凸性发生改变的点，则我们可以知道在拐点的两边曲线要么由凹变为凸，要么由凸变为凹，要判断曲线的拐点，即须先判断其凹凸性，而判断曲线凹凸性的方法，即：设是任一部分区间，若当时，有或（在讨论的符号时可采用特例法），则曲