高数习题集(附答案)

第一章 函数与极限 第一章函数与极限 1函数 必作习题 P16 18 4 5 6 8 6 8 9 11 16 17 必交习题 一 一列火车以初速度 等加速度出站 当速度达到后 火车按等速运动前进 0 va 1 v 从出站经过时间后 又以等减速度进站 直至停止 Ta2 1 写出火车速度与时间 的函数关系式 vt 2 作出函数的图形 tvv 二 证明函数在内是有界的 1 2 x x y 第一章 函数与极限 三 判断下列函数的奇偶性 1 x xxf 1 sin 2 2 12 12 x x xf 3 1ln 2 xxxf 四 证明 若为奇函数 且在有定义 则 xf0 x0 0 f 第一章 函数与极限 2初等函数 必作习题 P31 33 1 8 9 10 16 17 必交习题 一 设的定义域是 求下列函数的定义域 xf 1 0 1 x ef 2 ln xf 3 arcsin xf 4 cosxf 二 1 设 求 1ln 2 xxxf x ef 2 设 求 23 1 2 xxxf xf 3 设 求 x xf 1 1 xff 1 xf f 1 0 xx 第一章 函数与极限 三 设是的二次函数 且 求 xfx1 0 fxxfxf2 1 xf 四 设 求 0 2 0 2 xx xx xf 0 0 2 xx xx xg xgf 第一章 函数与极限 3数列的极限 必作习题 P42 3 3 4 4 5 6 必交习题 一 写出下列数列的前五项 1 3 sin 3 1 n n xn 2 nnnn xn 222 1 2 1 1 1 3 n x n x n nn 1 1 2 1 1 122 二 已知 用定义证明 n x n n 1 1 0lim n n x 第一章 函数与极限 4函数的极限 必作习题 P50 1 2 4 2 2 3 4 7 9 必交习题 一 用极限的定义证明 4 1 22 lim 2 1 x x x 二 用极限的定义证明 6 56 lim x x x 第一章 函数与极限 三 研究下列函数在处的左 右极限 并指出是否有极限 0 x 1 x x xf 2 0 1 0 0 0 1 2 xx x xx xf 四 用极限的定义证明 2 106 lim 2 2 xx x 第一章 函数与极限 5无穷大与无穷小 6极限运算法则 必作习题 P54 55 3 4 5 P63 1 2 3 必交习题 一 举例说明 当时 1 两个无穷小的商不一定是无穷小 2 无界量不一定为无0 x 穷大量 二 求下列数列的极限 1 121 lim 222 n n nn n 2 nn nn n 65 65 lim 11 3 3 1 27 1 9 1 3 1 1 lim 1 1 n n n 第一章 函数与极限 三 求下列函数的极限 1 1 1 lim 1 x x x 2 h xhx h 33 0 lim 3 limxaxx x 4 1 3 1 1 lim 3 1 xx x 四 设 求 2 1 2 1 lim 23 34 xx bxxa x ba 第一章 函数与极限 7极限存在准则 两个重要极限 8无穷小的比较 必作习题 P71 1 2 4 P74 1 2 3 4 必交习题 一 求下列极限 1 x x x 3 sin lim 2 ax ax ax 22 sinsin lim 3 11 4sin lim 0 x x x 4 1 1 4 lim x x x x 5 x xx x 1 01 1 lim 二 用极限存在准则求证下列极限 1 设 证明 1 0 iai m max 1m aaM Maaa n n m nn n 21 lim 第一章 函数与极限 2 设 证明此数列收敛 并求出它的极限 3 1 x 2 1 3 1 3 1 n x x x n n n 三 确定的值 使下列函数与 当时是同阶无穷小 k k x0 x 1 x x 1 1 1 2 5 32 43xx 3 xxsin1tg1 四 已知 求 1 1 lim 2 1 x bax x ba和 第一章 函数与极限 三 用极限定义证明 1 若 则对任一自然数 也有 naxnk nax kn 2 若 则 并举例说明反之未必成立 naxn naxn 3 若 则 0 nxn 0 nxn 四 设数列有界 又 证明 n x0 lim n n y0 lim n nny x 第一章 函数与极限 9函数的连续性与间断点 必作习题 P80 1 2 3 必交习题 一 当时下列函数无定义 试定义的值 使在连续 0 x xf 0 f xf0 x 1 11 11 3 x x xf 2 x xxf 1 sinsin 二 指出下列函数的间断点并判定其类型 1 3 1 1 x x xf 2 1 2 2 xx xx xf 第一章 函数与极限 3 01 1ln 0 1 1 xx xexf x 三 确定 使函数有无穷间断点 有可去间断点 ba和 1 xax be xf x 0 x1 x 四 设函数在上有定义 且对任何有 xf 21 x x 2121 xfxfxxf 证明 若连续 则上连续 0 xxf在 在xf 第一章 函数与极限 10 连续函数的运算与初等函数的连续性 11 闭区间上连续函数的性质 必作习题 P85 86 1 2 3 P91 1 2 3 必交习题 一 欲使 1 ln 11 1 2 2 xxxb x xxa xf 在处连续 求 1 xba 二 求下列极限 1 x aax x ln ln lim 0 2 x x x ex 1 lim 0 3 x x x cos21 sin lim 3 3 第一章 函数与极限 4 x x