二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)

精品文档 1欢迎下载 二次函数知识点总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分第一部分 基础知识基础知识 1 定义 一般地 如果是常数 那么叫做的二次函cbacbxaxy 2 0 ayx 数 2 二次函数的性质 2 axy 1 抛物线的顶点是坐标原点 对称轴是轴 2 axy y 2 函数的图像与的符号关系 2 axy a 当时抛物线开口向上顶点为其最低点 0 a 当时抛物线开口向下顶点为其最高点 0 a 3 顶点是坐标原点 对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 y 2 axy 0 a 3 二次函数 的图像是对称轴平行于 包括重合 轴的抛物线 cbxaxy 2 y 4 二次函数用配方法可化成 的形式 其中cbxaxy 2 khxay 2 a bac k a b h 4 4 2 2 5 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 6 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 的符号决定抛物线的开口方向 当时 开口向上 当时 开口向下 a0 a0 a 相等 抛物线的开口大小 形状相同 a 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线 yhx y0 x 7 顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数相同 那么抛物线的开a 口方向 开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 8 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 精品文档 2欢迎下载 对称轴是直线 a bac a b 4 4 2 2 a b x 2 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得到 khxay 2 顶点为 对称轴是直线 h khx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的连 线的垂直平分线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 9 抛物线中 的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy 2 故 时 对称轴为轴 即 同号 时 对称 a b x 2 0 by0 a b ab 轴在轴左侧 即 异号 时 对称轴在轴右侧 y0 a b aby 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负0 c0 cy0 cy 半轴 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y 0 a b 10 几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 xy 0 0 kaxy 2 轴 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 当时0 a 开口向上 当时0 a 开口向下 hx h k 精品文档 3欢迎下载 cbxaxy 2 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 11 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 12 直线与抛物线的交点 1 轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 h cbhah 2 3 抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标 是对应一元cbxaxy 2 x 1 x 2 x 二次方程的两个实数根 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一0 2 cbxaxx 元二次方程的根的判别式判定 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点抛物线与轴相离 0 x 4 平行于轴的直线与抛物线的交点x 同 3 一样可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐 标相等 设纵坐标为 则横坐标是的两个实数根 kkcbxax 2 5 一次函数的图像 与二次函数的图像 0 knkxyl 0 2 acbxaxy 的交点 由方程组 的解的数目来确定 方程组有两组不同G cbxaxy nkxy 2 的解时与有两个交点 方程组只有一组解时与只有一个交点 lG lG 方程组无解时与没有交点 lG 6 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为xcbxaxy 2 x 精品文档 4欢迎下载 由于 是方程的两个根 故 00 21 xBxA 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 第二部分第二部分 典型习题典型习题 抛物线 y x2 2x 2 的顶点坐标是 D A 2 2 B 1 2 C 1 3 D 1 3 已知二次函数的图象如图所示 则下列结论正确的是 C cbxaxy 2 ab 0 c 0 ab 0 c 0 ab 0 c 0 ab 0 c 0 第 题图 第 4 题图 二次函数的图象如图所示 则下列结论正确的是 cbxaxy 2 A a 0 b 0 c 0 B a 0 b 0 c 0 C a 0 b 0 c 0 D a 0 b 0 c 0 如图 已知中 BC 8 BC 上的高 D 为 BC 上一点 交 AB 于 点 E 交 AC 于点 F EF 不过 A B 设 E 到 BC 的距离为 则的面积关于 的函数的图象大致为 2 4 82 4 84 EFx EFxyxx 抛物线与 x 轴分别交于 A B 两点 则 AB 的长为 4 32 2 xxy 6 已知二次函数与 x 轴交点的横坐标为 则对于11 2k 2 xkxy 1 x 2 x 21 xx 精品文档 5欢迎下载 下列结论 当 x 2 时 y 1 当时 y 0 方程 2 xx 有两个不相等的实数根 011 2 2 xkkx 1 x 2 x1 1 x1 2 x 其中所有正确的结论是 只需填写序号 2 21 1 4k xx k 7 已知直线与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 一抛物线的解析式为 02 bbxy cxbxy 10 2 1 若该抛物线过点 B 且它的顶点 P 在直线上 试确定这条抛物线的解析bxy 2 式 2 过点 B 作直线 BC AB 交 x 轴交于点 C 若抛物线的对称轴恰好过 C 点 试确定直线 的解析式 bxy 2 解 1 或10 2 xy64 2 xxy 将代入 得 顶点坐标为 由题意得0 b cb 2 1016100 24 bbb 解得 2 1016100 2 24 bbb b 12 10 6bb 2 22 xy 8 有一个运算装置 当输入值为 x 时 其输出值为 且是 x 的二次函数 已知输入值yy 为 0 时 相应的输出值分别为 5 2 13 4 1 求此二次函数的解析式 2 在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象 并根据图象写出当输出值为正数y 时输入值的取值范围 x 解 1 设所求二次函数的解析式为 cbxaxy 2 则 即 解得 4 300 5 2 2 2 2 cba cba cba 1 42 3 ba ba c 3 2 1 c b a 故所求的解析式为 32 2 xxy 2 函数图象如图所示 由图象可得 当输出值为正数时 y 精品文档 6欢迎下载 第 9 题 输入值的取值范围是或 x1 x3 x 9 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现 骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化 而且在这四天中每昼夜的体温变化情况 相同 他们将一头骆驼前两昼夜的体温 变化情况绘制成下图 请根据图象回答 第一天中 在什么时间范围内这头骆 驼的体温是上升的 它的体温从最低上 升到最高需要多少时间 第三天 12 时这头骆驼的体温是多少 兴趣小组又在研究中发现 图中 10 时到 22 时的曲线是抛物线 求该抛物线的解 析式 解 第一天中 从 4 时到 16 时这头骆驼的 体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12 小时 第三天 12 时这头骆驼的体温是 39 2210242 16 1 2 xxxy 10 已知抛物线与 x 轴交于 A 4 3 3 4 2 xaaxy B 两点 与 y 轴交于点 C 是否存在实数 a 使得 ABC 为直角三角形 若存在 请求出 a 的值 若不 存在 请说明理由 解 依题意 得点 C 的坐标为 0 4 设点 A B 的坐标分别为 0 0 1 x 2 x 由 解得 04 3 3 4 2 xaax3 1 x a x 3 4 2 点 A B 的坐标分别为 3 0 0 a3 4 3 3 4 a AB5 22 OCAOAC 22 OCBOBC 22 4 3 4 a 精品文档 7欢迎下载 9 8 9 16 9 3 4 32 9 16 3 3 4 22 22 aaaaa AB 25 2 AC16 9 16 2 2 a BC 当时 ACB 90 222 BCACAB 由 222 BCACAB 得 16 9 16 259 8 9 16 22 aaa 解得 4 1 a 当时 点 B 的坐标为 0 4 1 a 3 16 9 625 2 AB25 2 AC 9 400 2 BC 于是 222 BCACAB 当时 ABC 为直角三角形 4 1 a 当时 ABC 90 222 BCABAC 由 得 222 BCABAC 16 9 16 9 8 9 16 25 22 aaa 解得 9 4 a 当时 点 B 3 0 与点 A 重合 不合题意 9 4 a3 9 4 3 4 3 4 a 当时 BAC 90 222 ABACBC 由 得 222 ABACBC 9 8 9 16 2516 9 16 22 aaa 解得 不合题意 9 4 a 综合 当时 ABC 为直角三角形 4 1 a 11 已知抛物线 y x2 mx m 2 1 若抛物线与 x 轴的两个交点 A B 分别在原点的两侧 并且 AB 试求 m 的值 5 2 设 C 为抛物线与 y 轴的交点 若抛物线上存在关于原点对称的两点 M N 并且 MNC 的面积等于 27 试求 m 的值 解 1 x1 0 B x2 0 则 x1 x2是方程 x2 mx m 2 0 的两根 x1 x2 m x1 x2 m 2 0 即 m 2 精品文档 8欢迎下载 又 AB x1 x2 1212 45x xx x 2 m2 4m 3 0 解得 m 1 或 m 3 舍去 m 的值为 1 2 M a b 则 N a b M N 是抛物线上的两点 2 2 2 2 amamb amamb 得 2a2 2m 4 0 a2 m 2 当 m 2 时 才存在满足条件中的两点 M N 2am 这时 M N 到 y 轴的距离均为 2m 又点 C 坐标为 0 2 m 而 S M N C 27 2 2 m 27 1 2 2m 解得 m 7 12 已知 抛物线与 x 轴的一个交点为taxaxy 4 2 A 1 0 1 求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标 2 D 是抛物线与 y 轴的交点 C 是抛物线上的一点 且以 AB 为 一底的梯形 ABCD 的面积为 9 求此抛物线的解析式 3 E 是第二象限内到 x 轴 y 轴的距离的比为 5 2 的点 如果 点 E 在 2 中的抛物线上 且它与点 A 在此抛物线对称轴的同侧 问 在抛物线的对 称轴上是否存在点 P 使 APE 的周长最小 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说 明理由 解法一 1 依题意 抛物线的对称轴为 x 2 抛物线与 x 轴的一个交点为 A 1 0 由抛物线的对称性 可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为 3 0 2 抛物线与 x 轴的一个交点为 A 1 0 taxaxy 4 2 t 3a 0 1 4 1 2 taaaaxaxy34 2 N M C x y O 精品文档 9欢迎下载 D 0 3a 梯形 ABCD 中 AB CD 且点 C 在抛物线 上 aaxaxy34 2 C 4 3a AB 2 CD 4 梯形 ABCD 的面积为 9 9 2 1 ODCDAB 93 42 2 1 a a 1 所求抛物线的解析式为或 34 2 xxy34 2 axxy 3 设点 E 坐标为 依题意 0 x 0 y0 0 x0 0 y 且 2 5 0 0 x y 00 2 5 xy 设点 E 在抛物线上 34 2 xxy 34 0 2 00 xxy 解方程组 得 34 2 5 0 2 00 00 xxy xy 15 6 0 0 y x 4 5 2 1 0 0 y x 点 E 与点 A 在对称轴 x 2 的同侧 点 E 坐标为 2 1 4 5 设在抛物线的对称轴 x 2 上存在一点 P 使 APE 的周长最小 AE 长为定值 要使 APE 的周长最小 只须 PA PE 最小 点 A 关于对称轴 x 2 的对称点是 B 3 0 由几何知识可知 P 是直线 BE 与对称轴 x 2 的交点 设过点 E B 的直线的解析式为 nmxy 解得 0 3 4 5 2 1 nm nm 2 3 2 1 n m 直线 BE 的解析式为 把 x 2 代入上式 得 2 3 2 1 xy 2 1 y 点 P 坐标为 2 2 1 设点 E 在抛物线上 34 2 xxy 34 0 2 00 xxy 精品文档 10欢迎下载 解方程组 消去 得 3 4 2 5 0 2 00 00 xxy xy 0 y03x 2 3 x 0 2 0 0 此方程无实数根 综上 在抛物线的对称轴上存在点 P 2 使 APE 的周长最小 2 1 解法二 1 抛物线与 x 轴的一个交点为 A 1 0 taxaxy 4 2 t 3a 0 1 4 1 2 taa aaxaxy34 2 令 y 0 即 解得 034 2 aaxax1 1 x3 2 x 抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标为 3 0 2 由 得 D 0 3a aaxaxy34 2 梯形 ABCD 中 AB CD 且点 C 在抛物线 上 aaxaxy34 2 C 4 3a AB 2 CD 4 梯形 ABCD 的面积为 9 解得 OD 3 9 2 1 ODCDAB a 1 33 a 所求抛物线的解析式为或 34 2 xxy34 2 xxy 3 同解法一得 P 是直线 BE 与对称轴 x 2 的交点 如图 过点 E 作 EQ x 轴于点 Q 设对称轴与 x 轴的交 点为 F 由 PF EQ 可得 EQ PF BQ BF 4 5 2 5 1PF 2 1 PF 点 P 坐标为 2 2 1 以下同解法一 精品文档 11欢迎下载 13 已知二次函数的图象如图所示 1 求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标 2 若点 N 为线段 BM 上的一点 过点 N 作 x 轴的垂线 垂足为点 Q 当点 N 在线段 BM 上运动时 点 N 不与点 B 点 M 重合 设 NQ 的长为 l 四边形 NQAC 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围 3 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P 使 PAC 为直角三角形 若存在 求出所有 符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 4 将 OAC 补成矩形 使 OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个 顶点 第三个顶点落在矩形这一边的对边上 试直接写出矩形的未知 的顶点坐标 不需要计算过程 解 1 设抛物线的解析式 2 1 xxay 2 12 a1 a2 2 xxy 其顶点 M 的坐标是 4 9 2 1 2 设线段 BM 所在的直线的解析式为 点 N 的坐标为 N t h bkxy 解得 2 1 4 9 20 bk bk 2 3 k3 b 线段 BM 所在的直线的解析式为 3 2 3 xy 其中 3 2 3 th2 2 1 t tts 3 3 2 2 2 1 21 2 1 1 2 1 4 3 2 tt s 与 t 间的函数关系式是 自变量 t 的取值范围是 1 2 1 4 3 2 ttS2 2 1 t 3 存在符合条件的点 P 且坐标是 1 P 4 7 2 5 4 5 2 3 2 P 设点 P 的坐标为 P 则 nm 2 2 mmn 222 1 nmPA 5 2 2222 ACnmPC 分以下几种情况讨论 i 若 PAC 90 则 222 ACPAPC 精品文档 12欢迎下载 5 1 2 2 2222 2 nmnm mmn 解得 舍去 点 2 5 1 m1 2 m 4 7 2 5 1 P ii 若 PCA 90 则 222 ACPCPA 5 2 1 2 2222 2 nmnm mmn 解得 舍去 点 0 2 3 43 mm 4 5 2 3 2 P iii 由图象观察得 当点 P 在对称轴右侧时 所以边 AC 的对角 APC 不ACPA 可能是直角 4 以点 O 点 A 或点 O 点 C 为矩形的两个顶点 第三个顶点落在矩形这边 OA 或边 OC 的对边上 如图 a 此时未知顶点坐标是点 D 1 2 以点 A 点 C 为矩形的两个顶点 第三个顶点落在矩形这一边 AC 的对边上 如图 b 此时未知顶点坐标是 E F 5 2 5 1 5 8 5 4 图 a 图 b 14 已知二次函数的图象经过点 1 1 求这个二次函数的解析式 并判断2 2 axy 该函数图象与 x 轴的交点的个数 解 根据题意 得 a 2 1 a 1 这个二次函数解析式是 2 2 xy 因为这个二次函数图象的开口向上 顶点坐标是 0 2 所以该函数图象与 x 轴有 两个交点 15 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分 在大桥截面 1 11000 的比例图上 跨度 精品文档 13欢迎下载 AB 5 cm 拱高 OC 0 9 cm 线段 DE 表示大桥拱内桥长 DE AB 如图 1 在比例 图上 以直线 AB 为 x 轴 抛物线的对称轴为 y 轴 以 1 cm 作为数轴的单位长度 建立 平面直角坐标系 如图 2 1 求出图 2 上以这一部分抛物线为图象的函数解析式 写出函数定义域 2 如果 DE 与 AB 的距离 OM 0 45 cm 求卢浦大桥拱内实际桥长 备用数据 计算结果精确到 1 米 4 12 解 1 由于顶点 C 在 y 轴上 所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 10 9 2 axy 因为点 A 0 或 B 0 在抛物线上 所以 得 2 5 2 5 10 9 2 5 0 2 a 125 18 a 因此所求函数解析式为 2 5 2 5 10 9 125 18 2 xxy 2 因为点 D E 的纵坐标为 所以 得 20 9 10 9 125 18 20 9 2 x 2 4 5 x 所以点 D 的坐标为 点 E 的坐标为 2 4 5 20 9 2 4 5 20 9 所以 2 25 2 4 5 2 4 5 DE 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 米 385227501 0 11000 2 25 16 已知在平面直角坐标系内 O 为坐标原点 A B 是 x 轴正半轴上的两点 点 A 在点 B 的 左侧 如图 二次函数 a 0 的图象经过点 A B 与 y 轴相交于点cbxaxy 2 C 1 a c 的符号之间有何关系 2 如果线段 OC 的长度是线段 OA OB 长度的比例中项 试证 a c 互为倒数 3 在 2 的条件下 如果 b 4 求 a c 的值 34 AB 精品文档 14欢迎下载 解 1 a c 同号 或当 a 0 时 c 0 当 a 0 时 c 0 2 证明 设点 A 的坐标为 0 点 B 的坐标为 0 则 1 x 2 x 21 0 xx 1 xOA 2 xOB cOC 据题意 是方程的两个根 1 x 2 x 0 0 2 acbxax a c xx 21 由题意 得 即 2 OCOBOA 2 2 cc a c 所以当