反比例函数知识点总结

1 反比例函数知识点总结 李苗 知识点知识点 1 反比例函数的定义反比例函数的定义 一般地 形如 k 为常数 的函数称为反比 x k y 0k 例函数 它可以从以下几个方面来理解 x 是自变量 y 是 x 的反比例函数 自变量 x 的取值范围是的一切实数 函数值的取 0 x 值范围是 0y 比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分 0k 反比例函数有三种表达式 x k y 0k 1 kxy 0k 定值 kyx 0k 函数 与 是等价的 x k y 0k y k x 0k 所以当 y 是 x 的反比例函数时 x 也是 y 的反比例函数 k 为常数 是反比例函数的一部分 当 k 0 时 0k 就不是反比例函数了 由于反比例函数 x k y x k y 中 只有一个待定系数 因此 只要一组对应值 就 0k 可以求出 k 的值 从而确定反比例函数的表达式 知识点知识点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数 中 只有一个待定系 x k y 0k 数 因此 只要一组对应值 就可以求出 k 的值 从而确定反 2 比例函数的表达式 知识点知识点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线 它有两个分支 这两个分支 分别位于第一 第三象限或第二 第四象限 它们与原点对称 由于反比例函数中自变量函数中自变量 函数值 0 x 0y 所以它的图像与 x 轴 y 轴都没有交点 即双曲线的两个分支 无限接近坐标轴 但永远达不到坐标轴 反比例的画法分三个步骤 列表 描点 连线 再作反比例函数的图像时应注意以下几点 列表时选取的数值宜对称选取 列表时选取的数值越多 画的图像越精确 连线时 必须根据自变量大小从左至右 或从右至左 用光滑的曲线连接 切忌画成折线 画图像时 它的两个分支应全部画出 但切忌将图像与 坐标轴相交 知识点知识点 4 反比例函数的性质反比例函数的性质 关于反比例函数的性质 主要研究它的图像的位置及函 数值的增减情况 如下表 反比例 函数 x k y 0k 的k 符号 0k 0k 图像 的取值范 x 围是 y 0 x 的取值范围是 的取值范围是 x0 x y 的取值范围是 0y 当时 函数图像 0k 3 注意 描述函数值的增减情况时 必须指出 在每个象限 内 否则 笼统地说 当时 y 随 x 的增大而减小 0k 就会与事实不符的矛盾 反比例函数图像的位置和函数的增减性 是有反比例函数系数 k 的符号决定的 反过来 由反比例函数图像 双曲线 的位 置和函数的增减性 也可以推断出 k 的符号 如在第一 x k y 第三象限 则可知 0k 反比例函数 中比例系数 k 的绝对值的几何 x k y 0k k 意义 如图所示 过双曲线上任一点 P x y 分别作 x 轴 y 轴的垂 线 E F 分别为垂足 则 OEPF SPEPFyxxy 矩形 k 反比例函数 中 越大 双曲线 x k y 0k k 0y 当时 0k 函数图像的两个 分支分别在第一 第三象限 在每 个象限内 y 随 x 的增大而减小 的两个分支分别在第二 第四象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 4 越远离坐标原点 越小 双曲线越靠近坐标 x k y k x k y 原点 双曲线是中心对称图形 对称中心是坐标原点 双曲线又 是轴对称图形 对称轴是直线 y x 和直线 y x 经典例题透析经典例题透析 类型一类型一 反比例函数的概念反比例函数的概念 1 判断下列各式是否表示 y 是 x 的反比例函数 若 是 指出比例系数 k 的值 若不是 指出是什么函数 1 8 y x 2 1 9 xy 3 43 yx 4 1 7 yx 5 6 7 为常数 2 x y x y 7 6 x k y kk 0 2 根据题意列出函数关系式 并判断是什么函数 1 面积为常数 m 的长方形的长 y 与宽 x 之间的关系 2 一本 500 页的书 每天看 15 页 x 天后尚未看完 的页数 y 与天数 x 之间的关系 专题专题 2 2 反比例函数图象的位置与系数的关系反比例函数图象的位置与系数的关系 专题解读专题解读 反比例函数 k y x 的图象是由两个分支 5 组成的双曲线 图象的位置与比例系数 k 的关系有如下 两种情况 1 0k 双曲线的两个分支在第一 三象限 在第一象限内 y 随 x 的增大而减小 2 0k 双曲线的两个分支在第二 四象限 在第一象限内 y 随 x 的增大而增大 3 函数 yaxa 与 0 a ya x 在同一坐标系 中的图象可能是 专题专题 3 3 反函数的图象反函数的图象 专题解读专题解读 如左下图所示 若点 A x y 为反比 例函数 k y x 图象上的任意一点 过 A 作 AB x 轴于 B 作 AC y 轴于 C 则 S AOB S AOC 1 2 S 矩形 ABOC 1 2 k 4 如右上图所示 点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点 过 P 作 x 轴的垂线交双曲线 1 y x 于点 Q 连接 OQ 当 6 点 P 沿 x 轴正方向运动时 Rt QOP 的面积 A 逐渐增大 B 逐渐减小 C 保持不变 D 无法确定 5 在反比例函数的图像上有三点 x y 1 1 x 1 y 若则下列各式正 2 x 2 y 3 x 3 y 321 0 xxx 确的是 A B C D 213 yyy 123 yyy 321 yyy 231 yyy 6 如果函数的图像是双曲线 且在第 22 2 kk kxy 二 四象限内 那么的值是多少 k 7 如果一次函数 相交于点 那 的图像与反比例函数 x mn ymnmxy 3 0 2 2 1 么该直线与双曲线的另一个交点为 8 已知一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 6 y x 的图象相交于 A B 两点 点 A 的横坐标是 3 点 B 的纵坐标是 3 1 求一次函数的表达式 2 当一次函数值小于 0 时 求 x 的取值范围 9 已知反比例函数 k y x 的图象经过点 A 2 3 1 求这个反比例函数的表达式 7 2 经过点 A 的正比例函数 y k x 的图象与反比例 函数 k y x 的图象还有其他交点吗 若有 求出交点坐标 若没有 说明理由 10 如图 在中 点是直线与 AOBRt A mxy 双曲线在第一象限的交点 且 则的 x m y 2 AOB S m 值是 11 如右上图所示 在反比例函数 2 0 yx x 的图象上 有点1234 P P P P 它们的横坐标依次为 1 2 3 4 分别 过些点作 x 轴与 y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的 面积从左到右依次为 1 234 S SS S 则 1 23 SSS 求的值 用含 n 的代数式来表示 n SS SS 321 中考真题精选 1 江苏扬州 某反比例函数的图象经过点 1 6 则 下列各点中 此函数图象也经过的点是 A 3 2 B 3 2 C 2 3 8 D 6 1 2 重庆江津区 已知如图 A 是反比例函数 k y x 的 图象上的一点 AB 丄 x 轴于点 B 且 ABC 的面积是 3 则 k 的值是 A 3B 3 C 6D 6 3 吉林 反比例函数的图象如图所示 则 k 的值可能是 A 1B C 1D 2 4 辽宁阜新 反比例函数 6 y x 与 3 y x 在第一象限的 图象如图所示 作一条平行于 x 轴的直线