浅谈矩阵特征值的应用.doc

淮阴师范学院毕业论文(设计)浅谈矩阵特征值的应用摘要:矩阵特征值在很多领域都有广泛应用, 本文主要研究了其中两方面的应用：第一是通过数列通项和常染色体遗传问题建模研究特征值在建模中的应用，第二是通过特征值在一阶线性微分方程组的求解问题研究特征值在微分方程中应用.关键字:数列,特征值,特征向量,特征多项式.Abstract:The theory of matrix eigenvalue has a wide range of applications in many fields. This paper will mainly probe into the applications of two of them. The first one is the application of eigenvalue in model by building the model of formula of term of the Fibonacci sequence and autosomal inheritance. The second one is the application of eigenvalue in differential equation by solving the problem of first-order linear differential equations.Key words:fibonacci sequence,eigenvalue ,eigenvector ,characteristic polynomial目录1 引言42 矩阵特征值的相关概念43 矩阵特征值的应用43.1 矩阵特征值在建模中的应用43.1.1 数列通项43.1.2 常染色体遗传问题63.2 矩阵特征值在一阶线性常系数方程组中的应用93.2.1 矩阵特征根均为单根的情形93.2.2 矩阵特征根有重根的情形12结论14参考文献15致谢161 引言矩阵特征值是高等数学的重要内容,在很多领域都有广泛应用,尤其在科学研究与工程设计的计算工程之中,灵活运用矩阵特征值能够使很多复杂问题简化.单纯的求解矩阵特征值是一件比较容易的事,但将特征值应用到其它领域就并非那么简单,也正因为此激发了本作者对矩阵特征值应用的兴趣.本文作者将简单介绍矩阵特征值在线性法建模和微分方程中的应用,通过一些实例让大家体会特征值在建模与微分方程求解中所起的作用.2 矩阵特征值的相关概念定义1设是数域上线性空间的一个线性变换,如果对于数域中一数,存在一个非零向量,使得.那么称为的一个特征值,而称为的属于特征值的一个特征向量。 定义2 设是数域上一级矩阵,是一个数,矩阵的行列式=称为的特征多项式,其中矩阵的特征多项式的根称为的特征值.3 矩阵特征值的应用3.1 矩阵特征值在建模中的应用在数学模型的建立过程中可能伴随着比较复杂的高次计算,而矩阵的高次计算会给我们带来很多麻烦,但我们可利用矩阵特征值及其特征值向量可将较复杂的矩阵化为简单的对角阵,从而简化计算.3.1.1 数列通项在年,斐波那契在一本书中提出一个问题:如果一对兔子出生一个月后开始繁殖,每个月生出一对后代,现有一对新生兔子,假定兔子只繁殖,没有死亡,问第月月初会有多少兔子? 以”对”为单位,每月兔子组队数构成一个数列,这便是著名的数列,函数数列满足条件,. 试求出通项.解 由数列满足式可设 . (*)令=,=,=,则(*)可写成矩阵形式= . 由式递归可得= . 于是求的问题归结为求即求的问题.由=得的特征值 =,=. 对应于的特征向量分别为:=,=. 设=,则=.于是= =.所以= =. 将式代入式得:= . 3.1.2 常染色体遗传问题在常染色体遗传中,后代是在每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,基因对也称基因型,如果所考察的遗传特征是由两个基因和控制的,那么就可能有三种可能的基因对,分别称之为,与.当一个亲体的基因型为,另一个亲体的基因型也是时,注意到后代均可以从中等可能地得到基因和,于是运用概率中”对于互斥事件,概率具有可加性”以及”对于独立事件,概率具有可乘性”知=,. 一般地,经过简单的概率运算,可以求得如表1所示的双亲基因型的结合及其后代后代基因型的概率分布表.表1 双亲体基因型及其后代基因型的概率分布后代(第代)基因型父体-母体(第代)基因型10000100001现有一种植物基因型为,研究人员采用型植物与每种基因型植物相结合的方案,培育植物后代,求经过若干年后,这种植物任一代的三种基因型,的概率分布.解 记,分别表示第代的植物中基因型为,的植物所占的百分率,且记为第代植物的基因分布:=, 这里表示植物基因型的初始分布(即培育开始时的分布),满足; 若以上述百分率来估计概率,则运用全概率公式: 对于型,有,对于型,有, , 对于型,有.显然.所以.将所得到的关系式联立,有.于是若记,便得到第代基因型分布的数学模型, . 进而有 ,即.它表明到第代基因型分布可由初始分布和矩阵确定. 对于矩阵,由得矩阵的三个特征根为.从而得到特征值对应的特征向量为,.令,运用初等变换计算,有=.进而有 .所以有(注意到) . 评注 以上两例都是利用矩阵理论来建模,将复杂的问题转化为求矩阵的高次方问题,直接求矩阵的高次方比较麻烦,我们利用矩阵特征值及其特征向量将矩阵转化为对角阵再求其高次幂就会非常方便.3.2 矩阵特征值在一阶线性常系数微分方程组中的应用 矩阵特征值在微分方程中也有广泛的应用,尤其在微分方程的求解方面有重要的作用,接下来我们将从矩阵特征值在求解一阶线性微分方程组中的应用来研究矩阵特征值的作用.一阶线性齐次常系数微分方程组.令=,.=是方程的系数矩阵,则写作矩阵形式为:. 3.2.1 矩阵的特征根均是单根的情形令的解为:=.即=.当矩阵可对角化时,由的个特征值, ,及相应的个线性无关的特征向量, ,可求得的个线性无关的特解(即的基础解系) . 它们的线性组合=+ + 即为方程组的一般解(其中为任意常数).其一般解式写成矩阵形式为:=. 记=,=.令=,=.则方程组一般解式可写为:=. 例1 求一阶常系数齐次线性方程组的通解.解 令=， , =.则方程组的矩阵形式为.由特征方程=(+)得矩阵的特征值为和,从而得特征值和对应的特征向量为=,=.令=.由方程的通解表达式得:=.即 .评注 求解一阶常系数方程组的关键在求方程组的基本解组,当方程组的系数矩阵特征根均是单根时,其基本组的求解问题,就归结为求这些特征根所对应的特征向量.3.2.2 矩阵特征值有重根的情形 引理1 设是矩阵的个不同的特征根,它们的重数分别为.那么,对于每一个,方程组有个形如的线性无关解,这里向量的每一个分量为的次数不高于的多项式.取遍所有的就得到的基本解组. 如果是的重特征根,则方程组有个形如的线性无关解,其中向量由矩阵方程所确定.取遍所有的,则得到的一个基本解组. 例2 求解方程组.解 系数矩阵为.由矩阵特征方程,得特征根为.对应的解是.下面求所对应的两个线性无关解.由引理2,其解形如,并且满足.由于,.那么由可解出两个线性无关量:,.将上述两个向量分别代入中,均得到为零向量.于是对应的两个线性无关解是:,.所以方程组的通解为:. 评注 求解一阶线性常系数方程组的基本解组,当矩阵特征值有重根时,我们用引理2来求解.结论矩阵特征值是高等数学的重要类容,在很多领域都有广泛应用,本文研究了其在线性代数法建模与一阶线性微分方程组中的应用.通过以上实例,我们得出矩阵特征值无论是在建模还是在微分方程中的应用,其主要作用是将矩阵对角化,进而可以对矩阵进行高次运算,从而简化计算的复杂度.同时,也正由于矩阵特征值这一特性,使其在工程设计,动力学等很多方面都得以广泛应用.参考文献1王萼芳,石生明. 高等代数(第三版)M.北京:高等教育出版社,2005:290-298.2黄启昌,史希福等.常微分方程(第二版)M.北京: