用极端法分析问题

用极端法分析问题河北安国中学（071200）于永刚【摘要】极端法是科学中常用的方法，其好处是可以较快的粗略地看到物理量的变化情况。在另外一些情况下，极端法可以讨论问题解的情况，并能求出极端情况下问题的特殊解。极端法还能对做出的复杂结果进行科学的评估，以便确认结果的真伪。本文通过举例来说明此方法的应用。期望能引起读者的重视。【关键词】极端法，变化趋势，特珠解，高考试题，评估方法【正文】应用一：粗略判断物理量的变化趋势问题1：两个质量均为m的球体，其连线的垂直线平分线为AB，O为两星体连线的中点，如图1所示。一个质量为的物体从O沿OA方向运动下去，则它受到的万有引力的合力变化情况是（ ）A一直增大B一直减小C先减小，后增大D先增大，后减小mmOAB图1析：当物体在O处时，由于对称性知它所受到的万有引力的合力为零。当O在无穷远处时，两个球体对它的作用力都接近于零，因此它所受到的万有引力的合力也为零。现在我们考虑物体在OA上但不是在O点也不是在无穷远处的情况，简单的分析求合力就可以知道其大小不为零，方向沿AO直线并指向O点。综合上面的分析，我们知道，物体所受的引力是从零变为一个数然（大于零）后又变为零。因此是一个先增大后减小的过程，应选择D。应用二：讨论物理量的变化范围问题2：如图2所示，在斜面上O点先后以和的速度水平抛出A、B两小球，则从抛出至第一次着地，两小球的水平位移大小之比可能为（ ）A1:2B1:3C1:4D1:5O图2析：因为在此题中并没有斜面长度和两球初速度间的定量关系，所以会存在多种可能性，下面我们先考虑两个极端情况，然后再分析一般情况。如果两个球的速度都很大，它们全都落在水平面上，那么两个球的水平位移的比将变得简单。因为它们的竖直位移相等，所以运动时间相等，水平位移的比等于它们的初速度的比，即：。如果两个小球的初速度都很小，则两球都落在斜面上，下面寻找初速度与物体水平位移间的关系：如图3所示，设斜面倾角为，小球的水平位移为x，竖直位移为y。由平抛运动规律和几何关系可知：O图3xyyy解得：上式中，对于两个小球来说，除了初速度不一样之外，其它的量都是相同的。所以我们可以说小球在斜面上运动的水平位移与初速度的平方成正比。所以：。最后来考虑一个小球落于斜面上，另一小球落于水平面上的情况：如图4所示，在这种情况下，线段AB表示小球A的位移，线段CD表示小球B的位移，EF为假定水平面不存在小球B落于斜面上的水平位移。由上面的分析可知：由于所以，O图4ABCDEFG综上，。应用三：讨论问题的可能性与不可能性问题3：如图5所示A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运动的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点。已知A、B、C绕地心运动的周期相同。试判断有无可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方。CABP图5析：由开普勒定律知ABC三者运动的周期相等。AC做的都是匀速圆周运动，因此其相对位置保持不变。而B是在椭圆轨道上做速率改变的运动。由于椭圆轨道的半长轴和圆的半径相等，又由于对称性，所以图6中的PQ将椭圆分成了等长的两部分。由开普勒第二定律知道，B在PMQ上运动的时间大于二分之一周期，在QNP上运动的时间小于二分多一周期。又由于对称性，星B从图示位置运动到Q点的时间大于四分之一周期（这是因为从M到Q的时间就大于四分多一周期）。另外，A转至Q点正下方所需的时间是有多种情况的：（1）若椭圆很扁，则PQ两点相距很近，A转过的角度将小于90度，因此其运动时间小于四分之一周期。（2）若椭圆非常接近于正圆，则PQ相距较远，A转过的角度将大于90度，因此其运动时间将大于四分之一周期。下面比较A与B的运动：CABP图6QMN若椭圆极扁，则A比B先到达Q的正下方。从而A应在B的“前方”，而图中所示的位置A在B的“后方”，因此必存在A追上B在B正下方的时刻。另外，一个周期之后，AB恢复如图6所示的位置，即B又跑到了A的“前面”。说明在这个周期内又存在B追上A而在A正上方的时刻。即，在一天内，B有两个时刻在A的正上方。若椭圆极圆，则AB的相对位置几乎不变，在一个周期的运动中，B必然总在A的“前面”，从而一天中不存在这个时刻：B在A的正上方。从上面的两个极端情况可以猜测，椭圆必有一个适当的“扁度”，使得在一天内，A恰能追上B而不超过它。那么在一天内有且仅有一个时刻，B在A的正上方。总之，在一天内，有可能出现这样的情况：B在A的正上方。应用四：对做出的结果进行评估问题4：（2008年北京理综卷20题改编）如图7所示，光滑水平面上有一倾角为的斜面，其质量为M，上面放有一个质量为m的滑块，滑块与斜面间无摩擦。现由静止释放滑块m，在滑动过程中m的加速度为多少？mM图7析：设运动起来m速度与水平方向的夹角为，水平方向的速度为；M运动过程中的速度总是水平的，设为。由于两物体在水平方向上不受力的作用，所以水平方向的动量守恒：（1）另外，在运动过程中系统的机械能是守恒的，由机械能守恒定律可得：（2）其中h表示运动过程中m下降的高度。上面两式联立消去可得：（3）上式两边对时间求导，有：即：其中表示m的加速度，进一步可得：（4）上式中只要我们能找到，就能找到加速度的表达式了。图8mMhxyy如图8所示，x、y分别表示m和M的水平位移，由图可知：（5）由动量守恒的（1）式知：两边积分有：即：（6）（5）、（6）两式联立可得：（7）进一步可得：（8）将（7）（8）代入（4）式并整理可得：（9）下面是求加速度的另一种方法：对滑块受力分析如图9所示：图9mgAOBma在中，由正弦正理可知：（10）解得：（11）在前一种解法中我们已经找到了的数值，同样我们可以知道的值。代入（11）式可得（9）式的结果。下面我们用极端法对上面的结果进行评估：（1）当时，在的表达式中，分子趋于0，而分母趋于1，因此。这是符合实际情况的。（2）当时，。分子分母同时除以可得：上式中，分子趋于，分母趋于，分数值趋于g。这也是符合实际情况的。（3）当时，表达式化为：这与实际情况也是相符的。（4）当时，。分子分母同时除以有：有界数与无穷小的积为无穷小，因此上式还可化简为：这和实际情况也没有发生矛盾。总之，我们通过上面的四个极端情况的分析知道，在四种情况下加速度的表达式都没有和实际情况发生矛盾，这说明，加速度的表达式很有可能是正确的。问题5：（2011年福建理综卷18题）如图所示为一质量为m的定滑轮，滑轮两侧是质量分别为和的物体，绳子对两物体的拉力分别为和。不考虑轴间的摩擦，绳子与滑轮间没有相对滑动，下面的表达式正确的是（ ）mm1m2T2T1ABCD析：本文涉及刚体定轴转动的知识，若是不用极端法，对于高中生来说解这道题似乎是不可能的。当滑轮的质量趋于零时，。分别对两物体进行受力分析，由牛顿第二定律可得：两式联立解得：让A、B、C、D四个选项