高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)

高中数学讲义之解析几何 1 圆锥曲线第圆锥曲线第 2 讲讲 双曲线双曲线 知识要点知识要点 1 双曲线的定义双曲线的定义 1 双曲线的第一定义 双曲线的第一定义 平面内到两个定点 1 F 2 F 的距离之差的绝对值等于定长 a2 21 20FFa 的点的轨 迹叫双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 两个焦点之间的距离叫做焦距 注注 1 在双曲线的定义中 必须强调 到两个定点的距离之差的绝对值 记作 a2 不但 要小于这两个定点之间的距离 21F F 记作 c2 而且还要大于零 否则点的轨迹就不是 一个双曲线 具体情形如下 当 02 a 时 点的轨迹是线段 21F F 的垂直平分线 当 ca22 时 点的轨迹是两条射线 当 ca22 时 点的轨迹不存在 当 ca220 时 点的轨迹是双曲线 特别地 若去掉定义中的 绝对值 则点的轨迹仅表示双曲线的一支 注注 2 若用表示动点 则双曲线轨迹的几何描述法为M aMFMF2 21 ca220 cFF2 21 即 2121 FFMFMF 2 双曲线的第二定义 双曲线的第二定义 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e 1 e 的点的轨迹叫做双 曲线 2 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 1 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 1 焦点在x轴 中心在坐标原点的双曲线的标准方程是 1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 高中数学讲义之解析几何 2 2 焦点在 y 轴 中心在坐标原点的双曲线的标准方程是 1 2 2 2 2 b x a y 0 a 0 b 注 注 若题目已给出双曲线的标准方程 那其焦点究竟是在x轴还是在 y 轴 主要看实半轴 跟谁走 若实半轴跟x走 则双曲线的焦点在x轴 若实半轴跟 y 走 则双曲线的焦点在 y 轴 2 等轴双曲线等轴双曲线 当双曲线的实轴与虚轴等长时 即 ba22 我们把这样的双曲线称为等轴双曲线 其标 准方程为 22 yx 0 注 注 若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线 则我们可设该等轴双曲线的方程为 22 yx 0 再结合其它条件 求出 的值 即可求出该等轴双曲线的方程 进一步讲 若求得的 0 则该等轴双曲线的焦点在x轴 中心在坐标原点 若求得的 0 则该等轴双曲线的焦点在 y 轴 中心在坐标原点 3 双曲线的性质双曲线的性质 以标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 为例 其他形式的方程可用同样的方法得到相 关结论 1 范围 ax 即 ax 或 ax 2 对称性 关于x轴 y 轴轴对称 关于坐标原点中心对称 3 顶点 左 右顶点分别为 0 1 aA 0 2 aA 4 焦点 左 右焦点分别为 0 1 cF 0 2 cF 5 实轴长为 a2 虚轴长为 b2 焦距为 c2 6 实半轴a 虚半轴b 半焦距c之间的关系为 222 bac 7 准线 c a x 2 8 焦准距 c b2 高中数学讲义之解析几何 3 9 离心率 a c e 且 1 e e越小 双曲线的开口越小 e越大 双曲线的开口越大 10 渐近线 x a b y 11 焦半径 若 00 yxP 为双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 右支上一点 则由双曲线的第二定义 有 aexPF 01 aexPF 02 12 通径长 a b2 2 注注 1 双曲线 1 2 2 2 2 b x a y 0 a 0 b 的准线方程为 c a y 2 渐近线方程为 x b a y 注注 2 双曲线的焦准距指的是双曲线的焦点到其相应准线的距离 以双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的 右焦点 0 2 cF 和右准线l c a x 2 为例 可求得其焦准距为 c b c ac c a c 2222 注注 3 双曲线的焦点弦指的是由过双曲线的某一焦点与该双曲线交于不同两点的直线所构 成的弦 双曲线的通径指的是过双曲线的焦点且垂直于其对称轴的弦 通径是双曲线的所 有焦点弦中最短的弦 设双曲线的方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 过其焦点 0 2 cF 且垂直于x轴的直线交该双曲线于A B两点 不妨令点A在x轴的上方 则 2 a b cA 2 a b cB 于是该双曲线的通径长为 a b a b a b AB 222 2 四 关于双曲线的标准方程 需要注意的几个问题四 关于双曲线的标准方程 需要注意的几个问题 1 关于双曲线的标准方程 最基本的两个问题是 其一 当题目已指明曲线的位置特征 并给出了 特征值 指a b c的值或它们之间的关系 由这个关系结合 222 bac 我们可以确定出a b c的值 时 我们便能迅速准确地写出双曲线的标准方程 其二 高中数学讲义之解析几何 4 当题目已给出双曲线的标准方程时 我们便能准确地判断出双曲线的位置特征 并能得到 a b c的值 2 双曲线的标准方程中的参数a b c是双曲线所固有的 与坐标系的建立无关 a b c三者之间的关系 222 bac 必须牢固掌握 3 求双曲线的标准方程 实质上是求双曲线的标准方程中的未知参数a b 根据题目 已知条件 我们列出以a b为未知参数的两个方程 联立后便可确定出a b的值 特 别需要注意的是 若题目中已经指明双曲线的焦点在x轴或 y 轴上 则以a b为未知参 数的方程组只有一个解 即a b只有一个值 若题目未指明双曲线的焦点在哪个轴上 则以a b为未知参数的方程组应有两个解 即a b应有两个值 4 有时为方便解题 中心在坐标原点的双曲线的方程也可设为 1 22 nymx 但此时 m n必须满足条件 0 mn 5 与椭圆不同 双曲线中 c最大 离心率 1 e 它除了有准线 还有渐近线 而且 渐近线是双曲线特有的性质 对于渐近线 要掌握渐近线的方程 要掌握渐近线的倾 斜角 斜率的求法 会利用渐近线方程巧设双曲线方程 再运用待定系数法求出双曲线 的方程 6 双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 的渐近线方程可记为 0 2 2 2 2 b y a x 即 x a b y 双曲线 1 2 2 2 2 b x a y 0 a 0 b 的渐近线方程可记为 0 2 2 2 2 b x a y 即 x b a y 特别地 等轴双曲线 22 yx 0 的渐近线方程为 xy 反过来讲 若已知某一双曲线的渐近线方程为 x m n y m n为给定的正数 则该双曲线的实半 轴a与虚半轴b具有关系 m n a b 或 m n b a 7 双曲线的焦点到其渐近线的距离为b 证明 设双曲线的方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 其左 右焦点为 0 1 cF 高中数学讲义之解析几何 5 0 2 cF 渐近线方程为 x a b y 即 0 aybx 则焦点 0 1 cF 到渐近线 0 aybx 的距离 b c bc c bc ab acb d 222 1 0 焦点 0 2 cF 到渐近线 0 aybx 的距离 b c bc c bc ab acb d 222 2 0 显然 bdd 21 故双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的焦点到其渐近线的距离为b 8 与椭圆类似 求双曲线的离心率e的值 就是要寻找除 222 bac 这一等量关系之 外a b c之间的另一等量关系 求双曲线的离心率e的取值范围 就是要寻找a b c之间的不等关系 有时还要适当利用放缩法 这里面体现了方程和不等式的数学思想 例题选讲例题选讲 题型题型 1 双曲线定义的应用 双曲线定义的应用 1 若一动点 yxP 到两个定点 0 1 0 1 21 FF 的距离之差的绝对值为常数a 20 a 求点P的轨迹方程 解 解 由题意知 aPFPF 21 20 a 2 21 FF 当 0 a 时 2121 0PFPFPFPF 此时点P的轨迹是线段 21F F 的垂直平分线 其方程为 0 x 当 2 a 时 2121 FFPFPF 此时点P的轨迹是两条射线 其方程分别为 1 0 xy 或 1 0 xy 当 20 a 时 2121 FFPFPF 此时点P的轨迹是以 0 1 0 1 21 FF 为左 右焦点的双曲线 其中实半轴长为 a 2 1 半 高中数学讲义之解析几何 6 焦距 1 c 虚半轴 4 1 2 1 2 22 a acb 所以其方程为 1 4 1 4 2 2 2 2 a y a x 2 方程 8 6 6 2222 yxyx 表示的曲线是 A 椭圆 B 双曲线 C 双曲线的左支 D 双曲线的右支 解 解 设 yxP 是平面内一点 0 6 1 F 0 6 2 F 则方程 8 6 6 2222 yxyx 即为 8 12 PFPF 该式表示平面内一点 yxP 到两个定点 0 6 1 F 0 6 2 F 的距离之差等于定长 8 显然 128 故由双曲线的第一定义知 点 yxP 的轨迹是双曲线 但仅是双曲线的左支 3 已知两圆 1 C 2 4 22 yx 2 C 2 4 22 yx 动圆M与两圆 1 C 2 C 都相 切 则动圆圆心M的轨迹方程是 解 解 圆 1 C 2 4 22 yx 的圆心为 0 4 1 C 半径为 2 圆 2 C 2 4 22 yx 的圆心为 0 4 2 C 半径为 2 动圆M与两圆 1 C 2 C 都相切 有以下四种情况 动圆M与两圆 1 C 2 C 都外切 动圆M与两圆 1 C 2 C 都内切 动圆M与圆 1 C 外切 与圆 2 C 内切 动圆M与圆 1 C 内切 与圆 2 C 外切 设动圆M的半径为r 由 知 2 21 rMCMC 由 知 2 21 rMCMC 于是由 可知 点M的轨迹方程是线段 21C C 的垂直平分线 其方程为 0 x 由 知 2 1 rMC 2 2 rMC 2121 822 2 2 CCrrMCMC 由 知 2 1 rMC 2 2 rMC 高中数学讲义之解析几何 7 2112 822 2 2 CCrrMCMC 于是由 有 2121 822CCMCMC 这表明 点M的轨迹方程是以 0 4 1 C 0 4 2 C 为左 右焦点的双曲线 其中 222 a 82 c 14216 4 2 222 acbca 即由 可知 点M的轨迹方程为 1 142 22 yx 故动圆圆心M的轨迹方程是 1 142 22 yx 或 0 x 4 已知直线 1 kxy 与双曲线 1 22 yx 有且仅有一个公共点 则k 解 解 联立 1 1 22 kxy yx 得 022 1 22 kxxk 当 01 2 k 即 1 k 时 直线 1 kxy 与双曲线 1 22 yx 有且仅有一个公共 点 0 1 或 0 1 不满足题意 当 01 2 k 即 1 k 时 由直线与双曲线有且仅有一个公共点可知 084 2 1 4 2 222 kkk 解得 2 k 故 1 k 或 2 k 5 已知过点 0 1 P 的直线与双曲线 1 124 22 yx 的右支交于A B两点 则直线AB的斜 率k的取值范围是 解 解 在双曲线 1 124 22 yx 中 16124 12 4 22222 bacba 4 32 2 cba 由直线与双曲线的右支交于A B两点知 直线AB的斜率 0 k 由直线AB过点 0 1 P 可知 直线AB的方程为 1 0 xky 即 1 xky 高中数学讲义之解析几何 8 设 11 yxA 22 yxB 联立 1 1 124 22 xky yx 得 0122 3 2222 kxkxk 2 x 由题设条件及韦达定理 有 0 3 12 3 12 0 3 2 3 2 014436 12 3 4 2 03 2 2 2 2 21 2 2 2 2 21 22222 2 k k k k xx k k k k xx kkkk k 解得 32 k 或 23 k 故直线AB的斜率k的取值范围是 2 3 3 2 注 注 对于中心在坐标原点 焦点在x轴上的双曲线而言 若某一直线与其左支交于不同的 两点 则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一元二次方程后 一般有四个结论 二 次项系数不为零 判别式 0 两交点的横坐标之和小于零 两交点的横坐标之 积大于零 若直线与其右支交于不同的两点 则当联立双曲线方程与直线方程得到一个一 元二次方程后 一般也有四个结论 二次项系数不为零 判别式 0 两交点的 横坐标之和大于零 两交点的横坐标之积大于零 这些基本结论在做题时 必须格外注 意 6 已知双曲线 1 2 2 2 y a x 0 a 的两个焦点分别为 1 F 2 F 点P为该双曲线上一点 且 90 21 PFF 则 21 PFPF 解 解 在双曲线 1 2 2 2 y a x 中 1 2 b 1 2222 abac 在 21PF FRt 中 44 1 44 222 2 21 2 2 2 1 aacFFPFPF 又 aPFPF2 21 2 21 2 2 2 1 42aPFPFPFPF 高中数学讲义之解析几何 9 代入 得 2 21 2 42 44 aPFPFa 故 2 2 4 44 22 21 aa PFPF 题型题型 2 求双曲线的方程 求双曲线的方程 7 1 与双曲线 1 169 22 yx 有共同的渐近线 且过点 32 3 的双曲线的方程是 2 与双曲线 1 416 22 yx 有公共焦点 且过点 2 23 的双曲线的方程是 解 解 1 设所求双曲线的方程是 169 22 yx 0 则由该双曲线过点 32 3 有 4 1 16 12 9 9 故所求双曲线的方程是 4 1 169 22 yx 即 1 4 4 9 22 yx 2 设所求双曲线的方程是 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 则由该双曲线过点 2 23 有 1 418 22 ba 又 20416 2 c 20 22 ba 由 得 12 2 a 8 2 b 故所求双曲线的方程是 1 812 22 yx 8 设m是常数 若点 5 0 F 是双曲线 1 9 22 x m y 的一个焦点 则该双曲线的方程是 高中数学讲义之解析几何 10 解 解 在双曲线 1 9 22 x m y 中 ma 2 9 2 b 而由题意知 5 c 162559 2 mm 故该双曲线的方程是 1 916 22 xy 9 已知双曲线的中心在坐标原点 两对称轴都在坐标轴上 且过 4 15 3 P 5 3 16 Q 两点 则该双曲线的方程是 解 解 设所求双曲线的方程为 1 22 nymx 0 mn 则由该双曲线过 4 15 3 P 5 3 16 Q 两点 有 9 1 16 1 125 9 256 1 16 225 9 n m nm nm 故所求的双曲线的方程是 1 9 1 16 1 22 yx 即 1 169 22 xy 24 4 1 31 1 1 3 3360tan 3 1 60 3 2 1 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 e a ba a c e e a b a b ba b y a x C 10 已知双曲线C 1 2 2 2 2 b y a x 经过点 3 2 两条渐近线的夹角为 60 则双曲线C的 方程为 解 解 由双曲线C 1 2 2 2 2 b y a x 经过点 3 2 有 1 94 22 ba 由双曲线C的两条渐近线的夹角为 60 并且其经过点 3 2 可知 360tan a b 高中数学讲义之解析几何 11 联立 得 1 2 a 3 2 b 故双曲线C的方程为 1 3 2 2 y x 11 已知双曲线的离心率等于 2 5 且与椭圆 1 49 22 yx 有公共的焦点 则该双曲线的方 程是 解 解 在椭圆 1 49 22 yx 中 9 2 1 a 4 2 1 b 549 2 1 2 1 2 1 bac 3 1 a 2 1 b 5 1 c 于是椭圆 1 49 22 yx 的左 右焦点分别为 0 5 1 F 0 5 2 F 又 所求双曲线的离心率 2 5 e 2 5 2 2 a c 而 5 12 cc 2 2 a 于是 4 2 2 a 145 2 2 2 2 2 2 acb 故所求双曲线的方程为 1 4 2 2 y x 12 与双曲线 1 416 22 yx 有相同焦点 且经过点 2 23 的双曲线的标准方程是 解 解 在双曲线 1 416 22 yx 中 20416 4 16 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 bacba 52 2 4 111 cba 高中数学讲义之解析几何 12 于是双曲线 1 416 22 yx 的左 右焦点分别为 0 52 1 F 0 52 2 F 据此可设所求双曲线的方程为 1 2 2 2 2 b y a x 则由其过点 2 23 有 1 418 22 ba 又 52 12 cc 20 2 2 2 2 2 2 cba 联立 得 12 2 2 a 8 2 2 b 故所求双曲线的方程为 1 812 22 yx 13 已知双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 的一条渐近线方程是 xy3 它的一个焦点 在抛物线 xy24 2 的准线上 则该双曲线的方程是 解 解 由 xy3 是所求双曲线的一条渐近线知 22 33ab a b 由抛物线 xy24 2 的准线方程为 6 2 12 x 知 6 c 3662 22 ba 由 得 9 2 a 27 2 b 故该双曲线的方程是 1 279 22 yx 题型题型 3 双曲线的性质 双曲线的性质 14 双曲线 82 22 yx 的实轴长是 解 解 在双曲线 82 22 yx 即 1 84 22 yx 中 22 28 4 22 baba 故该双曲线的实轴长 4222 a 高中数学讲义之解析几何 13 15 双曲线 1 22 ymx 的虚轴长是实轴长的 2 倍 则实数m 解 解 在双曲线 1 22 ymx 即 1 1 2 2 m x y 中 1 2 a m b 1 2 ab222 即 ab2 22 4ab 于是有 414 1 m 故 4 1 m 16 设双曲线 1 9 2 2 2 y a x 0 a 的渐近线方程为 023 yx 则a 解 解 在双曲线 1 9 2 2 2 y a x 中 39 2 bb 于是该双曲线的渐近线方程为 x a y 3 又由题意知 该双曲线的渐近线方程为 023 yx 即 xy 2 3 2 33 a 故 2 a 17 已知点P和点Q的横坐标相同 点P的纵坐标是点Q的纵坐标的 2 倍 点P和点Q的 轨迹分别为双曲线 1 C 和 2 C 若 1 C 的渐近线方程为 xy3 则 2 C 的渐近线方程为 解 解 设 1 C 的方程为 1 2 1 2 2 1 2 b y a x 0 0 11 ba 2 C 的方程为 1 2 2 2 2 2 2 b y a x 高中数学讲义之解析几何 14 0 0 22 ba 设 00 yxQ 则由题设条件知 2 00 yxP 于是由 2 00 yxP 00 yxQ 两点分别在 1 C 和 2 C 上 有 21 21 2 2 2 0 2 2 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 1 4 bb aa b y a x b y a x 又 双曲线 1 C 的渐近线方程为 xy3 3 1 1 a b 于是 2 3 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 a b a b a b 故双曲线 2 C 的渐近线方程为 xy 2 3 题型题型 4 与双曲线的焦点有关的三角形问题 与双曲线的焦点有关的三角形问题 18 设 1 F 2 F 为双曲线 1 4 2 2 y x 的两个焦点 点P在该双曲线上 且满足 90 21 PFF 则 21PF F 的面积为 解 解 在双曲线 1 4 2 2 y x 中 5141 4 22222 bacba 5 1 2 cba 于是 0 5 1 F 0 5 2 F 在 21PF FRt 中 20544 2 2 21 2 2 2 1 cFFPFPF 又 4222 21 aPFPF 162 21 2 2 2 1 PFPFPFPF 代入 得 16220 21 PFPF 2 2 1620 21 PFPF 高中数学讲义之解析几何 15 故 12 2 1 2 1 21 21 PFPFS PFF 19 已知椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 与双曲线 1 2 2 2 2 n y m x 0 0 nm 有公共焦 点 点P是它们的一个公共点 1 用b和n表示 21 cosPFF 2 设 21 nbfS PFF 求 nbf 解 解 1 在 21PF F 中 由余弦定理有 21 2 21 2 2 2 1 21 2 cos PFPF FFPFPF PFF 点P是椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 与双曲线 1 2 2 2 2 n y m x 的一个公共点 aPFPF2 21 mPFPF2 21 21 22 21 2 21 2 21 2 21 2 2 2 1 2442 PFPFcaPFPFFFPFPFFFPFPF 21 2 24PFPFb 21 22 21 2 21 2 21 2 21 2 2 2 1 2442 PFPFcmPFPFFFPFPFFFPFPF 21 2 24PFPFn 21 2 21 21 21 2 21 21 2 21 cos1 22 2 24 cos PFF b PFPF PFPF PFPFb PFPF PFPFb PFF 21 2 21 21 21 2 21 21 2 21 cos1 22 2 24 cos PFF n PFPF PFPF PFPFn PFPF PFPFn PFF 于是由 有 21 2 21 2 cos1 2 cos1 2 PFF n PFF b 21 22 21 22 coscosPFFnnPFFbb 22 21 22 cos nbPFFnb 故 22 22 21 cos nb nb PFF 高中数学讲义之解析几何 16 2 由 1 知 22 2 222 22 22 2 21 2 21 2 2 1 2 cos1 2 nb b nbb nb nb b PFF b PFPF 22222 22 2 22 22 21 2 21 2 4 1cos1sin nb bn nb nb nb nb PFFPFF 故 bn nb bn nbPFFPFPFSnbf PFF 22 22 2121 2 2 1 sin 2 1 21 题型题型 5 双曲线的离心率计算问题 双曲线的离心率计算问题 20 已知点 3 2 在双曲线C 1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 上 C的焦距为 4 则它的 离心率e为 解 解 点 3 2 在双曲线C 1 2 2 2 2 b y a x 上 2222 22 941 94 baab ba 又 双曲线C的焦距为 4 242 cc 于是有 422 222 cba 由 得 1 2 a 或 16 2 a 舍去 1 a 3 b 故双曲线C的离心率 2 1 2 a c e 21 若一个双曲线实轴的长度 虚轴的长度和焦距成等差数列 则该双曲线的离心率 e 解 解 由 a2 b2 c2 成等差数列 有 2 2222 ca bcab 又 222 acb 高中数学讲义之解析几何 17 0523 2 22222 aaccac ca 式两边同时除以 2 a 得 0523 2 ee 解得 3 5 e 或 1 e 舍去 故该双曲线的离心率 3 5 e 22 若双曲线的两条渐近线的夹角为 60 则该双曲线的离心率为 解 解 当双曲线的焦点在x轴上时 由题意知 3 1 3 3 30tan 2 2 a b a b 于是 3 4 3 13 2 22 2 2 2 a ba a c e 而 1 e 此时 3 3 2 3 4 e 当双曲线的焦点在 y 轴上时 由题意知 1 3 3360tan 2 2 a b a b 于是 4 1 31 2 22 2 2 2 a ba a c e 而 1 e 此时24 e 故该双曲线的离心率为 3 3 2 或 2 23 已知双曲线的渐近线方程为 023 yx 则该双曲线的离心率为 解 解 由双曲线的渐近线方程为 023 yx 即 xy 2 3 可知 2 3 a b 或 2 3 b a 高中数学讲义之解析几何 18 当 2 3 a b 时 4 9 2 2 a b 4 13 4 94 2 22 a ba 即 4 13 2 2 a c 于是此时该双曲线的离心率 2 13 4 13 2 2 a c a c e 当 2 3 b a 时 4 9 2 2 b a 13 9 49 9 22 2 ba a 即 13 9 2 2 c a 亦即 9 13 2 2 a c 于是此时该双曲线的离心率 3 13 9 13 2 2 a c a c e 故该双曲线的离心率为 2 13 或 3 13 24 设 4 0 则曲线 1tan tan 1 22 yx 的离心率e的取值范围是 A 2 1 0 B 2 2 2 1 C 2 2 2 D 2 解 解 由 4 0 有 0 tan 1 0tan 于是方程 1tan tan 1 22 yx 表示的曲线是双曲线 在双曲线 1tan tan 1 22 yx 即 1 tan 1 tan 22 yx 中 tan 1tan tan 1 tan tan 1 tan 2 22222 bacba 22 2 2 2 2 2 tan 1 1 tan 1tan tan tan 1tan a c e 而 4 0 1tan0 高中数学讲义之解析几何 19 于是 2 tan 1 1 2 2 e 又双曲线的离心率 1 e 故 2 e 25 已知 1 F 2 F 是双曲线E 1 2 2 2 2 b y a x 0 a 0 b 的左 右焦点 点M在E上 1 MF 与x轴垂直 且 3 1 sin 12 FMF 则E的离心率为 解 解 法一 xMF 1 轴 a b MF 2 1 又 3 1 sin 12 FMF 22 1 3 22 3 1 3 1 1 3 1 cos sin tan 212 12 12 FMF FMF FMF 即 22 1 21 1 FF MF 于是 c a b FFMF22222 2 211 acb 2 2 2 又 222 acb 0 2 2 2 2 2222 aaccacac 式两边同时除以 2 a 得 01 2 2 2 ee 解得 2 e 或 2 2 e 舍去 故双曲线E的离心率 2 e 法二 1221 21 1221 21 12 21 sinsin sin sin2sin2 sin2 2 2 FMFFMF MFF FMFRFMFR MFFR MFMF FF a c a c e 高中数学讲义之解析几何 20 2 3 2 3 22 3 1 1 3 1 1 2 等式中的 R2 表示 21F MF 的外接圆的直径 故双曲线E的离心率 2 e 26 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线FB与该双曲线的一条渐 近线垂直 那么该双曲线的离心率e为 解 解 设双曲线的方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 0 ba 则该双曲线的渐近线方程为 x a b y 设 0 cF 0 bB 则在该双曲线的两条渐近线中 与直线FB垂直的一条渐近线方程为l x a b y 由 lFB 有 1 lFB kk 11 0 0 2 ac b a b c b 即 acb 2 又 222 acb 01 0 22222 a c a c aaccacac 此即 01 2 ee 解得 2 51 e 又 1 e 故该双曲线的离心率 2 51 e 题型题型 6 与双曲线有关的综合问题 与双曲线有关的综合问题 27 若曲线 1 22 yx 与曲线 222 1 ayx 0 a 恰有三个交点 则 a 高中数学讲义之解析几何 21 解 解 曲线 1 22 yx 表示左 右焦点分别为 0 2 1 F 0 2 2 F 的双曲线 其左 右 顶点分别为 0 1 1 A 0 1 2 A 曲线 222 1 ayx 0 a 表示圆心为 0 1 C 半径为a的圆 双曲线 1 22 yx 与圆 222 1 ayx 恰有三个交点 圆 222 1 ayx 与双曲线 1 22 yx 的左支交于点 0 1 1 A 于是有 40 11 222 a 又 0 a 故 2 a 28 已知等轴双曲线的中心在原点 焦点 1 F 2 F 在坐标轴上 且过点 10 4 P 1 求该双曲线的离心率e 2 求该双曲线的方程 3 若点 3 mM 在该双曲线上 证明 0 21 MFMF 解 解 1 在等轴双曲线中 实轴长 虚轴长 即 ba22 aaabacba2 2222 故等轴双曲线的离心率 2 2 a a a c e 2 所求双曲线为等轴双曲线 可设其方程为 22 yx 0 又 该双曲线过点 10 4 P 1016 6 故所求双曲线的方程为 6 22 yx 即 1 66 22 yx 3 在双曲线 1 66 22 yx 中 12666 22222 bacba 6 ba 32 c 于是 0 32 1 F 0 32 2 F 高中数学讲义之解析几何 22 又 3 mM 332 1 mMF 332 2 mMF 于是 3 912 332 332 22 21 mmmmMFMF 又点 3 mM 在双曲线 1 66 22 yx 上 31 66 9 2 2 m m 故 033 21 MFMF 29 若点O和点 0 2 F 分别为双曲线 1 2 2 2 y a x 0 a 的中心和左焦点 点P为该 双曲线右支上任意一点 则 FPOP 的取值范围是 解 解 在双曲线 1 2 2 2 y a x 中 1 2 b 由 2 c 可知 314 222 bca 于是该双曲线的方程为 1 3 2 2 y x 设 yxP 则由点P在双曲线 1 3 2 2 y x 右支上知 3 x yxOP 2 yxFP 12 3 4 1 3 22 2 2 2 2222 xx x xxyxxyxxFPOP 令 12 3 4 2 xxxg 3 x 其对称轴为 4 3 3 4 2 2 x 高中数学讲义之解析几何 23 函数 xg 在 3 上单调递增 于是对任意的 3 x 都有 3231323 3 4 3 gxg 这表明 323 FPOP 故 FPOP 的取值范围是 323 30 已知椭圆 1 C 1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 与双曲线 2 C 1 4 2 2 y x 有公共的焦点 2 C 的一条渐近线与以 1 C 的长轴为直径的圆相交于A B两点 若 1 C 恰好将线段AB三等 分 则椭圆 1 C 的方程为 解 解 由椭圆 1 C 1 2 2 2 2 b y a x 与双曲线 2 C 1 4 2 2 y x 有公共的焦点知 541 222 cba 5 22 ba 于是椭圆 1 C 的方程 1 2 2 2 2 b y a x 可化为 1 5 2 2 2 2 b y b x 即 05 5 242222 bbybxb 双曲线 2 C 1 4 2 2 y x 的一条渐近线方程为 xy2 设线段AB被椭圆 1 C 所截得的弦为CD 则 3 2 2 3 1 3 1a aABCD 且 CC xy2 联立 xy bbybxb 2 05 5 242222 得 05 205 2422 bbxb 205 5 2 24 2 b bb xC 由此有 205 255 2 205 5 5252 2 22 2 24 2 24 2 2 222 b bb b bb xxxyxCD CCCCC 于是有 2424 22 2 24 2 24 22545100455 9 5 9205 255 3 2 205 255 2bbbb ba b bba b bb 高中数学讲义之解析几何 24 0592010018040 2424 bbbb 解得 2 1 2 b 舍去 5 2 b 于是 2 11 5 2 1 5 22 ba 故椭圆 1 C 的方程为 1 2 1 2 11 22 yx 31 过点 2 1 P 且与双曲线 1 4 2 2 y x 有一个公共点的直线方程为 解 解 显然 点 2 1 P 在双曲线 1 4 2 2 y x 外 1 当所求直线的斜率不存在时 显然 过点 2 1 P 且与双曲线 1 4 2 2 y x 有一个公共点的直线方程为1x 2 当所求直线的斜率存在时 不妨设其斜率为k 则由其过点 2 1 P 可知 所求直线的方程为 即2 1 yk x 2ykxk 联立 得 2 2 1 4 2 y x ykxk 2222 4 24 480kxkk xkk 若 则 2 40k 2k 当时 由 式 有无解 不满足题意 舍去2k 040 x x2k 当时 由 式 有2k 5 16200 4 xx 而此时所求直线的方程为24yx 将代入中 得 5 4 x 24yx 553 244 422 y 即此时所求直线与双曲线 1 4 2 2 y x 的唯一公共点为 满足题意 5 3 4 2 于是当时 所求直线的方程为2k 24yx 若 即 则对 式 由所求直线与双曲线仅有一个公共点 2 40k 2k 有 高中数学讲义之解析几何 25 2222432432 24 4 4 48 416164 441632 kkkkkkkkkkkk 641280k 而这显然与矛盾 舍去2k 2k 2k 于是当时 所求直线不存在2k 故所求直线的方程为或1x 24yx 32 过点 2 0 M 且与双曲线 1 49 22 yx 有一个公共点的直线方程为 解 解 显然 点 2 0 M 在双曲线 1 49 22 yx 外 由题意知 所求直线的斜率是存在的 不妨设为k 则由其过点 2 0 M 可知 所求直线的方程为 即2 0 yk x 2ykx 联立 得 22 1 94 2 xy ykx 22 49 36720kxkx 若 则 2 490k 2 3 k 当时 由 式 有 2 3 k 247203xx 而此时所求直线的方程为 2 2 3 yx 将代入中 得3x 2 2 3 yx 2 3 2220 3 y 即此时所求直线与双曲线 1 49 22 yx 的唯一公共点为 满足题意 3 0 当时 由 式 有 2 3 k 247203xx 而此时所求直线的方程为 2 2 3 yx 将代入中 得3x 2 2 3 yx 2 32220 3 y 即此时所求直线与双曲线 1 49 22 yx 的唯一公共点为 满足题意 3 0 于是当时 所求直线的方程为 2 3 k 2 2 3 yx 高中数学讲义之解析几何 26 若 即 则对 式 由所求直线与双曲线仅有一个公共点 2 490k 2 3 k 有 2222222 36 4 49 72 364 72 49 36 368 49 kkkkkk 222 36 363272 36 3632 0kkk 即 满足题意 2 328 369 k 2 2 3 k 于是当时 所求直线的方程为 2 3 k 2 2 2 3 yx 故所求直线的方程为或 2 2 3 yx 2 2 2 3 yx 33 已知双曲线C 1 2 2 2 y x 1 求双曲线C的渐近线方程 2 已知点M的坐标为 1 0 设P是双曲线C上的点 Q是点P关于坐标原点的对称 点 记 MQMP 求 的取值范围 解 解 1 在双曲线 1 2 2 2 y x 中 2 2 a 1 2 b 2 a 1 b 故该双曲线的渐近线方程为 xxx a b y 2 2 2 1 2 设 yxP 则 yxQ 又 1 0 M 1 yxMP 1 yxMQ 于是 1 1 1 1 2222 yxyxyyxxMQMP 高中数学讲义之解析几何 27 又 点 yxP 在双曲线 1 2 2 2 y x 上 1 2 1 22 xy 于是 2 2 3 1 1 2 1 222 xxx 其中 2 x 或 2 x 对于函数 2 2 3 2 xxf 2 x 函数 xf 在 2 上单调递减 对任意的 2 x 都有 122 2 3 2 fxf 对于函数 2 2 3 2 xxf 2 x 函数 xf 在 2 上单调递增 对任意的 2 x 都有 122 2 3 2 fxf 故对任意的 2 2 x 总有 1 即 的取值范围是 1 34 已知双曲线 1 26 22 yx 的顶点和焦点分别是椭圆E的焦点和顶点 1 求椭圆E的方程 2 已知椭圆E上的定点 00 yxC 关于坐标原点的对称点为D 设点P是椭圆E上的任 意一点 若直线CP和DP的斜率都存在且不为零 试问直线CP和DP的斜率之积是定值 吗 若是 求出此定值 若不是 请说明理由 3 对于椭圆E长轴上的某一点 0 sS 不含端点 过 0 sS 作动直线L 不与x轴重 合 交椭圆E于M N两点 若点 0 tT 满足 8 OTOS 证明 NTSMTS 解 解 1 在双曲线 1 26 22 yx 中 826 2 6 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 bacba 高中数学讲义之解析几何 28 22 2 6 111 cba 于是该双曲线的左右顶点分别为 0 6 0 6 21 AA 左右焦点分别为 0 22 0 22 21 FF 设椭圆E的方程为 1 2 2 2 2 2 2 b y a x 0 22 ba 则由题意知 22 6 1212 caac 于是 268 2 2 2 2 2 2 cab 故椭圆E的方程为 1 28 22 yx 2 点D是椭圆E 1 28 22 yx 上的定点 00 yxC 关于坐标原点的对称点 00 yxD 显然点D也在椭圆E上 设 yxP 则 0 0 xx yy kCP 0 0 0 0 xx yy xx yy kDP 于是 2 0 2 2 0 2 0 0 0 0 xx yy xx yy xx yy kk DPCP 又点 yxP 和点 00 yxC 都在椭圆E 1 28 22 yx 上 于是有 1 28 22 yx 1 28 2 0 2 0 yx 得 28 0 28 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 yyxxyyxx 于是 4 1 8 2 2 0 2 2 0 2 xx yy 故 4 1 DPCP kk 即直线CP和DP的斜率之积为定值 4 1 3 当直线L不垂直于x轴时 设其斜率为k 高中数学讲义之解析几何 29 则由其过点 0 sS 可知 直线L的方程为 0sxky 即 sxky 椭圆E的方程 1 28 22 yx 可化为 084 22 yx 设 11 yxM 22 yxN 联立 084 22 sxky yx 得 0848 14 22222 sksxkxk 由韦达定理 有 14 84 14 8 14 8 2 22 21 2 2 2 2 21 k sk xx k sk k sk xx 于是 00 21 1221 2 2 1 1 2 2 1 1 txtx txytxy tx y tx y xt y xt y kk NTMT 21 12212121 21 1221 txtx kstksxktxxkxkstksxktxxkx txtx txsxktxsxk 2 2 2 2 21 2121 21 212121 txtx stxxtsxxk txtx kstxxksxxktxkx 又 st k sk ts k sk stxxtsxx2 14 8 14 84 22 2 2 2 2 22 2121 14 162 14 2888168 22 222222 k st k ststkstksksk 而由 0 sOS 0 tOT 8 OTOS 有 8 st 0 14 1682 2 2 2 2121 k stxxtsxx 于是 0 NTMT kk 即 NTMT kk 故 NTSMTS 当直线L垂直于x轴时 由椭圆的对称性可知 NTSMTS 综上可知 总有 NTSMTS 高中数学讲义之解析几何 30 35 已知双曲线 1 2 2 2 b y x 0 b 的左右焦点分别为 1 F 2 F 直线l过点 2 F 且与该双 曲线交于A B两点 1 若直线l的倾斜角为2 ABF1 是等边三角形 求该双曲线的渐近线方程 2 设 3 b 若直线l的斜率存在 且 0 11 ABBFAF 求直线l的斜率 解 解 1 在双曲线 1 2 2 2 b y x 中 1 2 a 直线l的倾斜角为2 A B两点关于x轴对称 并且点A的横坐标 222 1 bbacxA 于是 422222 1 1 1 bbbxby AA 又 ABF1 是等边三角形 3 3 12 2 tan 2 21 2 21 b y c y FF AF FAF AA 于是有 3 1 1 4 2 4 b b 0443 24 bb 解得 2 2 b 或 3 2 2 b 舍去 2 b 故该双曲线的渐近线方程为 xxy2 1 2 2 当 3 b 时 双曲线的方程为 1 3 2 2 y x 由 1 2 a 3 2 b 得 231 22 bac 0 2 1 F 0 2 2 F 又 直线l的斜率存在 不妨设为k 则由直线l过点 0 2 2 F 可知 直线l的方程为 2 0 xky 即 2 xky 高中数学讲义之解析几何 31 双曲线 1 3 2 2 y x 的方程可化为 033 22 yx 设 11 yxA 22 yxB 联立 2 033 22 xky yx 得 0 34 4 3 2222 kxkxk 显然 3 2 k 由韦达定理 有 3 34 3 34 3 4 3 4 2 2 2 2 21 2 2 2 2 21 k k k k xx k k k k xx 又 0 11 ABBFAF 而 2 111 yxAF 2 221 yxBF 1212 yyxxAB 0 4 12122121 yyxxyyxx 0 4 12121212 yyyyxxxx 0 4 2 1 2 212 2 1 2 2 yyxxxx 又 33 2 2 2 2 xy 33 2 1 2 1 xy 由 式有 0 3 4 2 1 2 212 2 1 2 2 xxxxxx 0 1 0 4 4 121212 2 1 2 2 xxxxxxxx 而 21 xx 1 21 xx 于是有 1 3 4 2 2 k k 22 34kk 即 5 3 2 k 解得 5 15 5 3 k 故直线l的斜率为 5 15 或 5 15 双曲线中常用的几种数学思想方法双曲线中常用的几种数学思想方法 高中数学讲义之解析几何 32 1 数形结合思想数形结合思想 1 已知 3 2 11 A 为一定点 F为双曲线 1 279 22 yx 的右焦点 M在双曲线的右支上移动 则当 MFAM 2 1 最小时 点M的坐标是 解 解 在双曲线 1 279 22 yx 中 36279 27 9 22222 bacba 6 33 3 cba 其离心率 2 3 6 a c e 右准线l 2 3 6 9 2 c a x 过点M作 lMP 于点P 则由双曲线的第二定义知 MPMFe MP MF 22 于是 APMPAMMPAMMFAM 2 2 1 2 1 当且仅当A M P三点 共线时 MFAM 2 1 最小 且 APMFAM min 2 1 由A M P三点共线有 3 AM yy 把 3 M y 代入双曲线方程 1 279 22 yx 中 得 12 3 4 9 27 9 1 9 27 1 9 2 2 M M y x 于是 32 M x 或 32 M x 舍去 故点M的坐标为 3 32 2 对称思想对称思想 2 若曲线 222 ayx 与曲线 1 1 22 yx