流形上的Green公式证明和数值模型 [附件2 Maple程序样本].doc

附件2流形上的Green公式证明和数值模型 Maple程序样本杨科中国 成都 610017E-mail: 由于高数据量、高运算量、高处理量, 证明、数值模型部分的计算、作图采用Maple 11计算机代数系统格式: 以符号为首者为手动输入指令; 以符号#为首者为注释;以符号/为首者为分析说明 (红色痕迹); 其余为计算机代数系统返回的分析、计算、作图结果(蓝色痕迹), 与通用物理/数学表达式接近 12目录引言 证明的前提条件-(平面)单连通闭合参数曲线坐标系的建立(Maple程序版) .11.流形上的Green公式证明 . 72.流形上的Green公式数值模型. 11数值模型2.1 .11数值模型2.2 .18参考书籍. 28引言 证明的前提条件-(平面)单连通闭合参数曲线坐标系的建立(Maple程序版) (一)考察证明的对象-Green公式:Green公式 设平面有界闭区域S的边界曲线L由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成,如果函数P(x,y),Q(x,y) 构成平面向量场A 在平面有界闭区域S上具有一阶连续偏导数,则在公式的定义中,强调平面有界闭区域S的边界曲线L必须是闭合曲线.在传统的直角坐标系Green公式证明中,”抽象闭合曲线L”是这样定义的:抽象闭合曲线由a,b,y=1(x),y=2(x) 或 x=1(y),x=2(y),c,d的四个边界值限定.(参见高等数学(第六版)(下册) 同济大学数学系 高等教育版 2007 P142-145)也就是说,Green公式客观上要求,不论在平面直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲线必须具有两种属性:(1)单连通性;(2)闭合性. 离开传统的平面直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的”单连通闭合曲线”并且进一步建立” 单连通闭合曲线坐标系”? 并没有现成的答案.Poincare猜想19断定任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面,在Green 公式涉及的二维欧氏空间, 对应的判断为任何单连通1维闭合流形必定同胚于1维球面(即圆周).也就是说, 根据Poincare 猜想, 在Green公式涉及的二维欧氏空间, 任何单连通闭合曲线,不论其几何外观如何千变万化,必定有同胚于”圆周”这一普遍属性.进一步的问题自然是”在二维欧氏空间,能否根据Poincare 猜想这一普遍属性,定义单连通闭合曲线的抽象的、普遍意义的表达式?” 这也正是本 ”引言2” 讨论的中心内容.在平面解析几何学中, 上述1维球面(圆周)的参数表达式为 cos(t),sin(t),其中参数t的变化范围0,2*Pi(在严格意义上,该参数表达式是”1维球面”在”平面直角坐标系”和”极坐标系”之间的转换式). 在拓扑学领域,同胚的定义为两个流形,如果可以通过弯曲、延展、剪切等操作把其中一个变为另一个，则认为两者是同胚的.从解析几何学和拓扑学的角度再理解Poincare猜想,既然1维球面的参数方程为cos(t),sin(t),其中参数变化范围t0,2*Pi, 则其变形a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi(其中a,b为任意非零常数)即为任意椭圆的参数方程.在二维欧氏空间,任意椭圆皆同胚于圆周,这是拓扑学的常识,无需讨论.如果a,b为任意一阶可导连续函数,又可能出现怎样的情况?参见如下Maple11版本的计算机参数曲面图形:图例1: restart; with(plots):with(linalg): a:=cos(2*t)+2*sin(t)/3; # 由待定系数a,b输入”任意的正弦与余弦函数” b:=sin(3*t)/3; CO:=a*cos(t),b*sin(t); # 目标参数表达式 rgt:=0,2*Pi; # 定义参数t的变化范围 plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,scaling=constrained,color=red,numpoints=1000);图例1 由待定系数a,b输入”任意正弦和余弦函数”, 输出(平面)曲线呈非单连通闭合状态, 与”Poincare猜想”及”流形上的Green公式”讨论的内容无关图例2: restart; with(plots):with(linalg): a:=cos(t-1)+sin(9*t-2)/12; # 由待定系数a,b输入”任意的正弦与余弦函数” b:=sin(t-1)-cos(t); CO:=a*cos(t),b*sin(t); # 目标参数表达式 rgt:=0,2*Pi; # 定义参数t的变化范围 plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,scaling=constrained,color=red,numpoints=1000);图例2 由待定系数a,b输入”任意正弦和余弦函数”,输出(平面)曲线呈单连通闭合状态 可以作为”Poincare猜想”及”流形上的Green公式”讨论的对象以上实验数据从原始现象表明,同样属于参数曲线a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi, 因待定系数a,b的不同取值,一部份曲线属于单连通闭合曲线,一部分曲线则例外.也就是说,参数曲线a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi存在两种情况: (1)在待定系数a,b为任意非零常数的情况下,参数曲线为椭圆(自然同胚于圆周);(2)在待定系数a,b为任意一阶可导连续函数的情况下,参数曲线可以为单连通闭合曲线(同胚于圆周),也可以为非单连通闭合曲线(不同胚于圆周).进一步的问题自然是”在参数曲线a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi模式中, 能否通过某种定义将非单连通可定向闭合曲面(不同胚于球面)的情况排除? (二)设定”任意曲线”为一集合, 则”任意单连通闭合曲线” 是前者的子集合. Poincare猜想是这一子集合的属性, 本论文”流形上的Green公式证明” 及其”和式极限证明” 则讨论Green公式是否适用于这一子集合. Poincare猜想为用参数方程方法描述”任意单连通闭合曲线”的某种属性(即”同胚于1维球面圆周”这一属性)提供了实现途径.基于上述情况,将无数具体的(平面)单连通闭合曲线抽象化为一个统一的表达式:a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi(其中待定系数a,b也不能任意指定,而必须服从曲线的”单连通闭合”的拓扑学属性)也就是说, 如果待定系数a,b能够任意指定,则目标曲线a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi可能是”单连通闭合曲线”,也可能不是;如果预先设定目标曲线 a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi 本身就是”单连通闭合曲线”,则待定系数a,b就不能任意指定了.从几何意义解释上述现象 - 在平面直角坐标系, 圆周 (即cos(t),sin(t),t0,2*Pi) 沿x,y轴两个方向任意连续变化( 即a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi,其中待定系数a,b 为任意一阶可导连续函数),不一定产生单连通闭合曲线;反过来, 在平面直角坐标系, 任一单连通闭合曲线 - 必定由圆周( 即cos(t),sin(t),t0,2*Pi) 沿x,y轴两个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y轴两个方向连续变回圆周)-Poincare猜想为依据.例如, 正方形、三角形也可以被视为单连通闭合曲线-但是正方形、三角形难于甚至不能用参数方程描述-但是不能否认,根据Poincare猜想, 正方形、三角形必定同胚于圆周,必定由圆周(即cos(t),sin(t),t0,2*Pi)沿x,y轴两个方向连续变化而成(也必定能够沿x,y轴两个方向连续变回圆周);根据Poincare猜想,正方形、三角形同样可以用a cos(t),b sin(t),t0,2*Pi参数模式描述.用a cos(t), b sin(t),t0,2*Pi 模式描述抽象的、具有普遍意义的单连通闭合曲线, 实际上是用Poincare猜想来描述单连通闭合曲线的某种内在结构和属性(即同胚于圆周这一属性),为进一步的公式推导设定一个恰当的前提条件.在实际操作层面,用Plot指令属于Waterloo Maple计算机代数系统指令绘画出某一(平面)参数曲线, 必须在直观视觉上判定该曲线是否单连通闭合曲线以后, 才能决定是否适用于流形上的Green公式数值模型;从参数表达式本身无法判断曲线是否为单连通闭合曲线. “(平面)参数曲线是否为单连通闭合曲线”的决定因素在拓扑学领域而不在解析几何领域;单凭解析几何的参数方程方法并不能够推导、演绎出某一(平面)曲线的单连通闭合属性. (三)a cos(t), b sin(t),t0,2*Pi只是基于Poincare猜想定义的抽象的、普遍意义的单连通闭合曲线表达式,不属于坐标系;抽象单连通闭合曲线坐标系为r a cos(t),r b sin(t),r0,t0,2*Pi,其中r为向径,a,b为待定系数(因为a,b既可以为非零常数,也可以为一阶可导连续函数以t为自变量的三角函数),具有不确定性.实际上,抽象单连通闭合曲线表达式 a cos(t), b sin(t),t0,2*Pi 与椭圆表达式a cos(t), b sin(t),t0,2*Pi 在形式上是完全一致的,只是两者对待定系数a,b的解释不同: 前者将a,b解释为任意非零常数或一阶连续可导函数(非任意,受曲线的单连通闭合属性限制)”,而后者将a,b解释为只是任意非零常数;故抽象单连通闭合曲线坐标系与直角坐标系的对应关系是x=r*a cos(t), y= r*b sin(t)(与椭圆坐标系-直角坐标系转换式是相同的).1.流形上的Green公式证明:Green公式 设平面有界闭区域S的边界曲线L由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成,如果函数P(x,y),Q(x,y) 构成平面向量场A 在平面有界闭区域S上具有一阶连续偏导数,则 (1)证明:符号表达系统:任意单连通闭合曲线CO(平面),平面向量场PV,平面向量场PV的微分函数dPV1,dPV2, 闭合曲线CO圈围的平面有界闭区域S,平面区域S微元系数的一般表达式J restart; # 系统复位 with(linalg): # 加载线性代数符号分析库 CO:=a*cos(t),b*sin(t);# 定义任意单连通闭合曲线CO,其中a,b为非零常数或一阶可导连续函数表达式,单连通闭合曲线CO决定a,b的取值.10 rgt:=0,2*Pi; # 设定参数t的变化范围,使参数曲线CO闭合 PV:=(P)(x,y),(Q)(x,y);# 定义任意平面向量场PV(设定该平面向量场在平面有界闭区域S包含参数曲线CO具有一阶连续偏导数)Diff(PV2,x)-Diff(PV1,y);dPV:=%;# 计算抽象平面向量场PV的微分函数dPV1 x:=CO1;y:=CO2;Int(PV1*Diff(CO1,t)+PV2*Diff(CO2,t),t=rgt1.rgt2);# 平面向量场PV在闭合曲线CO的环路积分 value(%); # 由于将x = a*cos(t),y = b*sin(t)带入抽象平面向量场P(x,y),Q(x,y),得到不可计算的结果,舍去 x:=x:y:=y: Int(PV1*Diff(CO1,t)+PV2*Diff(CO2,t),t=rgt1.rgt2)=Int(PV1*diff(CO1,t)+PV2*diff(CO2,t),t=rgt1.rgt2);# 平面向量场PV(保留抽象平面向量场P(x,y),Q(x,y)的原形)在闭合曲线CO的环路积分# 因为抽象向量场P(x,y), Q(x,y)具有普遍性和同质性,以抽象函数P(x,y)或Q(x,y)的变量x(或y)的内含子变量t为自变量积分,其积分结果仍然可以表述为P(x,y)或Q(x,y). 也就是说,以变量x,y的内含子变量t为自变量积分,不会改变抽象函数P(x,y)或Q(x,y本身的结构. 因为如此, 抽象函数结构P(x,y)或Q(x,y)能够在积分以后保持原形 alpha:=rhs(value(%); # 计算环路积分值# 获得一常数0 x:=x:y:=y: COc:=subs(t=u,CO); # 将曲线CO表达式中的符号t换为u x:=r*COc1;y:=r*COc2; # 通乘以向径r(设定r0),将x,y轴方向上的曲线CO坐标参数转化为平面有界闭区域S坐标参数 matrix(2,2,Diff(r*COc1,r),Diff(r*COc1,u),Diff(r*COc2,r),Diff(r*COc2,u)=matrix(2,2,diff(r*COc1,r),diff(r*COc1,u),diff(r*COc2,r),diff(r*COc2,u);m:=rhs(%);# 定义矩阵m,获取平面有界闭区域S微元系数的一般表达式 det(m); # 矩阵m求值 J:=simplify(%); # 化简,获得平面有界闭区域S微元系数的一般表达式 x:=x:y:=y: Diff(PV2,x)*Diff(r*COc1,r)*Diff(r*COc1,u)-Diff(PV1,y)*Diff(r*COc2,r)*Diff(r*COc2,u);# 将微分函数dPV1从直角坐标形式转变为平面有界闭区域S坐标形式# 保留抽象平面向量场 P(x,y),Q(x,y) 及其偏导数的原形(不可计算部分),对相关自变量x,y的参数表达式r*a*cos(u),r*b*sin(u)(可计算部分)求导,得到新的微分函数表达式dPV2 dPV2:=value(%);Int(Int(dPV2*J,r=0.1),u=rgt1.rgt2)=Int(int(dPV2*J,r=0.1),u=rgt1.rgt2);# 微分函数dPV2与平面有界闭区域S微元的乘积对变量r,u的二重积分 beta:=rhs(value(%); # 计算平面面积微元积分值 . # 获得一常数0# 因为抽象向量场的微分函数 , 或者其组成单元 ,具有普遍性和同质性,以其变量x(或y)的内含子变量r(或u)为自变量积分, 其积分性质可以被理解为对 ”微分函数及其单元 即,、坐标转换微分函数、平面闭区域微元三者的乘积” 的积分. 以变量x,y的内含子变量r(或u)为自变量积分,不会改变抽象微分函数及其两个组成单元本身的结构. 抽象微分函数单元,或,能够在积分以后保持原形;而与其对应的两个坐标转换微分函数,即: 和则可以在积分以后被改变其中, 即设定平面有界闭区域S微元本身对参数u,v的二重积分不能为零,也可以理解为设定平面有界闭区域S不能为零面积即环路积分值与平面区域微元积分值相等,证毕.2.流形上的Green公式数值模型数值模型2.1 restart; with(plots):with(linalg): CO:=cos(t-1)+sin(5*t-1)/5,-t*sin(t); # 定义任意单连通闭合曲线CO rgt:=0,2*Pi; # 设定参数t的变化范围,使参数曲线CO闭合 plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,scaling=constrained,color=blue,numpoints=1000);g1:=%:图1 不对称、不规则的任意单连通闭合曲线CO PV:=(x/3+y/5+x*y/15)2-x*y2/3-y3/6,(x/4-y/5-1/9)2/5-x2/5+x*y2/3; # 定义任意平面向量场PV (设定该平面向量场在平面有界闭区域S 包含参数曲线CO具有一阶连续偏导数) rgx:=-3.5,3.5; rgy:=-2,5; # 定义平面向量场PV作图范围 fieldplot(PV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,arrows=SLIM,color=blue):g2:=%: # 平面向量场PV作图 Diff(PV2,x)-Diff(PV1,y);# 计算平面向量场PV的微分函数dPV(二元函数) dPV:=value(%); implicitplot(dPV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,color=red,thickness=1,numpoints=5000):g3:=%: # 微分函数dPV等值线作图 display(g1,g2,g3);# 闭合曲线CO,平面向量场PV,微分函数dPV等值线,三图合并图2 闭合曲线CO, 积分向量场PV及其微分函数dPV等值线 plot3d(dPV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,projection=0.9,axes=normal); # 微分函数dPV(二元函数)的空间直观图3 积分向量场PV的微分函数dPV二元函数的空间直观 x:=CO1;y:=CO2; Int(PV1*Diff(CO1,t)+PV2*Diff(CO2,t),t=rgt1.rgt2);# 平面向量场PV在闭合曲线CO的环路积分 alpha:=value(%);delta:=evalf(alpha); # 计算环路积分值 x:=x:y:=y: COc:=subs(t=u,CO); # 将曲线CO表达式中的符号t替换为u x:=r*COc1;y:=r*COc2;# 通乘以向径r(设定r0),将x,y轴方向上的曲线CO参数转化为平面区域S参数 matrix(2,2,Diff(r*COc1,r),Diff(r*COc1,u),Diff(r*COc2,r),Diff(r*COc2,u)=matrix(2,2,diff(r*COc1,r),diff(r*COc1,u),diff(r*COc2,r),diff(r*COc2,u);m:=rhs(%);# 定义矩阵m,获取平面有界闭区域S微元系数的一般表达式 det(m); J:=simplify(%); # 获得平面有界闭区域S微元系数的一般表达式/ 不同几何拓扑形状的平面有界闭区域,有不同的平面有界闭区域微元系数 Int(Int(dPV*J,r=0.1),u=rgt1.rgt2);# 微分函数dPV与平面有界闭区域S微元的乘积对变量r,u的二重积分/ 与”公式证明”涉及的抽象微分函数dPV1,dPV2不同,在”数值模型”中可以直接将具体值x=r*COc1,y=r*COc2带入具体微分函数dPV,继之以”dPV与平面有界闭区域S微元的乘积”,进行二重积分 beta:=value(%);epsilon:=evalf(beta); # 计算面积微元积分值 alpha;beta; # 解析值相等 delta;epsilon; # 浮点数值相等数值模型2.2 restart; with(plots):with(linalg): CO:=(1+cos(t)/2)*cos(t/7-sin(2*t)/16-1/3)-cos(t)/15,(1+cos(t)/2)*sin(t/7-sin(2*t)/16)+cos(t)/7;#定义任意单连通闭合曲线CO rgt:=0,14*Pi;# 相对于抽象单连通闭合曲线表达式参数t的变化范围0,2*Pi,实际曲线变异为0,14*Pi plot(CO1,CO2,t=rgt1.rgt2,scaling=constrained,color=red,numpoints=1000);g1:=%:图4 不对称、不规则的任意单连通闭合曲线CO PV:=y*cos(x-y),x*sin(y)-1/2; # 定义任意平面向量场PV(设定该平面向量场在平面有界闭区域S包含参数曲线CO具有一阶连续偏导数) rgx:=-1.5,1.5; rgy:=-1.35,1.65; fieldplot(PV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,arrows=SLIM,color=blue):g2:=%: # 平面向量场PV作图 Diff(PV2,x)-Diff(PV1,y); # 计算平面向量场PV的微分函数dPV dPV:=value(%); implicitplot(dPV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,color=navy,thickness=1,numpoints=5000):g3:=%: # 微分函数dPV等值线作图 display(g1,g2,g3);图5 闭合曲线CO, 积分向量场PV及其微分函数dPV等值线plot3d(dPV,x=rgx1.rgx2,y=rgy1.rgy2,projection=0.9,axes=normal); # 微分函数dPV的空间直观图6 积分向量场PV的微分函数dPV二元函数的空间直观 x:=CO1;y:=CO2; Int(PV1*diff(CO1,t)+PV2*diff(CO2,t),t=rgt1.rgt2); # 平面向量场PV在闭合曲线CO的环路积分 alpha:=evalf(%); x:=x:y:=y: COc:=subs(t=u,CO); x:=r*COc1;y:=r*COc2;# 通乘以向径r(设定r0),将x,y轴方向上的曲线CO参数转化为平面有界闭区域S参数 matrix(2,2,Diff(r*COc1,r),Diff(r*COc1,u),Diff(r*COc2,r),Diff(r*COc2,u)=matrix(2,2,diff(r*COc1,r),diff(r*COc1,u),diff(r*COc2,r),diff(r*COc2,u);m:=rhs(%);# 定义矩阵m,获取平面有界闭区域S微元系数的一般表达式 det(m); # 矩阵求值 J:=simplify(%); # 获得平面有界闭区域S微元系数的一般表达式 Int(Int(dPV*J,r=0.1),u