2007-2017全国卷高考理科数学数列专题.doc

2007-2017全国卷高考理科数学数列专题一选择题（共14小题）1（2008全国卷）已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A138B135C95D23【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11 ：计算题【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解【解答】解：（a3+a5）（a2+a4）=2d=6，d=3，a1=4，S10=10a1+10(10-1)d2=95故选C【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式2（2010大纲版）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A52B7C6D42【考点】87：等比数列菁优网版权所有【分析】由数列an是等比数列，则有a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10【解答】解：a1a2a3=5a23=5；a7a8a9=10a83=10，a52=a2a8，a56=a23a83=50，a4a5a6=a53=52，故选A【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想3（2010大纲版）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（）A14B21C28D35【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，a1+a2+a7=7(a1+a7)2=7a4=28故选C【点评】本题主要考查等差数列的性质4（2011大纲版）设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，则k=（）A8B7C6D5【考点】85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11 ：计算题【分析】先由等差数列前n项和公式求得Sk+2，Sk，将Sk+2Sk=24转化为关于k的方程求解【解答】解：根据题意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2Sk+2Sk=24转化为：（k+2）2k2=24k=5故选D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题5（2012大纲版）已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列1anan+1的前100项和为（）A100101B99101C99100D101100【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11 ：计算题【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，&a1+4d=5&5a1+10d=15解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n1）d=1+（n1）1=n1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1S100=1-12+12-13+1100-1101=11101=100101故选A【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题6（2012新课标）已知an为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10=（）A7B5C5D7【考点】8G：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=8a4=4，a7=2或a4=2，a7=4当a4=4，a7=2时，q3=-12，a1=8，a10=1，a1+a10=7当a4=2，a7=4时，q3=2，则a10=8，a1=1a1+a10=7综上可得，a1+a10=7故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力7（2013新课标）设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1=2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（）A3B4C5D6【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；54 ：等差数列与等比数列【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1，再由通项公式及am=2可得m值【解答】解：am=SmSm1=2，am+1=Sm+1Sm=3，所以公差d=am+1am=1，Sm=m(a1+am)2=0，得a1=2，所以am=2+（m1）1=2，解得m=5，另解：等差数列an的前n项和为Sn，即有数列Snn成等差数列，则Sm-1m-1，Smm，Sm+1m+1成等差数列，可得2Smm=Sm-1m-1+Sm+1m+1，即有0=-2m-1+3m+1，解得m=5故选C【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系，考查学生的计算能力8（2013新课标）等比数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A13B-13C19D-19【考点】89：等比数列的前n项和菁优网版权所有【专题】54 ：等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到&a1+a1q+a1q2=a1q+10a1&a1q4=9，解出即可【解答】解：设等比数列an的公比为q，S3=a2+10a1，a5=9，&a1+a1q+a1q2=a1q+10a1&a1q4=9，解得&q2=9&a1=19a1=19故选C【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键9（2015新课标）已知等比数列an满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A21B42C63D84【考点】88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；54 ：等差数列与等比数列【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求【解答】解：a1=3，a1+a3+a5=21，a1(1+q2+q4)=21，q4+q2+1=7，q4+q26=0，q2=2，a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3（2+4+8）=42故选：B【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题10（2016新课标）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A18个B16个C14个D12个【考点】8B：数列的应用菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题；23 ：新定义；38 ：对应思想；4B ：试验法【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14个故选：C【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题11（2016新课标）已知等差数列an前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A100B99C98D97【考点】8F：等差数列的性质菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案【解答】解：等差数列an前9项的和为27，S9=9(a1+a9)2=92a52=9a59a5=27，a5=3，又a10=8，d=1，a100=a5+95d=98，故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键12（2017新课标）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a5=24，S6=48，则an的公差为（）A1B2C4D8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的公差【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a5=24，S6=48，&a1+3d+a1+4d=24&6a1+652d=48，解得a1=2，d=4，an的公差为4故选：C【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用13（2017新课标）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A440B330C220D110【考点】8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列【分析】方法一：由数列的性质，求得数列bn的通项公式及前n项和，可知当N为n(n+1)2时（nN+），数列an的前N项和为数列bn的前n项和，即为2nn2，容易得到N100时，n14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+12n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂只需将2n消去即可，分别分别即可求得N的值【解答】解：设该数列为an，设bn=a(n-1)n2+1+an(n+1)2=2n1，（nN+），则i=1nbi=i=1n(n+1)2ai，由题意可设数列an的前N项和为SN，数列bn的前n项和为Tn，则Tn=211+221+2n1=2nn2，可知当N为n(n+1)2时（nN+），数列an的前N项和为数列bn的前n项和，即为2nn2，容易得到N100时，n14，A项，由29302=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230292+251=230，故A项符合题意B项，仿上可知25262=325，可知S330=T25+b5=226252+251=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意C项，仿上可知20212=210，可知S220=T20+b10=221202+2101=221+21023，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意D项，仿上可知14152=105，可知S110=T14+b5=215142+251=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意故选A方法二：由题意可知：20第一项，20，21第二项，20，21，22第三项，20，21，22，2n-1第n项，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：211，221，231，2n1，每项含有的项数为：1，2，3，n，总共的项数为N=1+2+3+n=(1+n)n2，所有项数的和为Sn：211+221+231+2n1=（21+22+23+2n）n=2(1-2n)1-2n=2n+12n，由题意可知：2n+1为2的整数幂只需将2n消去即可，则1+2+（2n）=0，解得：n=1，总共有(1+1)12+2=3，不满足N100，1+2+4+（2n）=0，解得：n=5，总共有(1+5)52+3=18，不满足N100，1+2+4+8+（2n）=0，解得：n=13，总共有(1+13)132+4=95，不满足N100，1+2+4+8+16+（2n）=0，解得：n=29，总共有(1+29)292+5=440，满足N100，该款软件的激活码440故选A【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题14（2017新课标）等差数列an的首项为1，公差不为0若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为（）A24B3C3D8【考点】85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出an前6项的和【解答】解：等差数列an的首项为1，公差不为0a2，a3，a6成等比数列，a32=a2a6，（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d0，解得d=2，an前6项的和为S6=6a1+652d=61+652(-2)=24故选：A【点评】本题考查等差数列前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用二填空题（共9小题）15（2007全国卷）等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为13【考点】8G：等比数列的性质菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解q=13故答案为13【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题16（2009全国卷）设等差数列an的前n项和为Sn，若S9=81，则a2+a5+a8=27【考点】85：等差数列的前n项和；8F：等差数列的性质菁优网版权所有【分析】由s9解得a5即可【解答】解：s9=9(a1+a9)2=9a5a5=9a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质17（2009全国卷）设等差数列an的前n项和为Sn，若a5=5a3，则S9S5=9【考点】8F：等差数列的性质菁优网版权所有【专题】11 ：计算题【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则S9S5的值【解答】解：an为等差数列，S9=a1+a2+a9=9a5，S5=a1+a2+a5=5a3，S9S5=9a55a3=9故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质属基础题18（2013新课标）若数列an的前n项和为Sn=23an+13，则数列an的通项公式是an=（2）n1【考点】88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】54 ：等差数列与等比数列【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n2时，an=SnSn1，可得数列为等比数列，且公比为2，代入等比数列的通项公式分段可得答案【解答】解：当n=1时，a1=S1=23a1+13，解得a1=1当n2时，an=SnSn1=（23an+13）（23an-1+13）=23an-23an-1，整理可得13an=-23an-1，即anan-1=2，故数列an从第二项开始是以2为首项，2为公比的等比数列，故当n2时，an=（2）n1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（2）n1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题19（2013新课标）等差数列an的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为49【考点】6D：利用导数研究函数的极值；85：等差数列的前n项和；8F：等差数列的性质菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题；54 ：等差数列与等比数列【分析】由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nSn的最小值【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，S10=10a1+45d=0，S15=15a1+105d=25，a1=3，d=23，Sn=na1+n(n-1)2d=13n2103n，nSn=13n3103n2，令nSn=f（n），f（n）=n2203n，当n=203时，f（n）取得极值，当n203时，f（n）递减；当n203时，f（n）递增；因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可f（6）=48，f（7）=49，故nSn的最小值为49故答案为：49【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键20（2015新课标）设数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=1n【考点】8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】54 ：等差数列与等比数列【分析】通过Sn+1Sn=an+1可知Sn+1Sn=Sn+1Sn，两边同时除以Sn+1Sn可知1Sn1Sn+1=1，进而可知数列1Sn是以首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论【解答】解：an+1=Sn+1Sn，Sn+1Sn=Sn+1Sn，1Sn1Sn+1=1，又a1=1，即1S1=1，数列1Sn是以首项、公差均为1的等差数列，1Sn=n，Sn=1n，故答案为：1n【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题21（2016新课标）设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为64【考点】8I：数列与函数的综合；8G：等比数列的性质菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2an，然后求解最值【解答】解：等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=12a1+q2a1=10，解得a1=8则a1a2an=a1nq1+2+3+（n1）=8n(12)n(n-1)2=23n-n2-n2=27n-n22，当n=3或4时，表达式取得最大值：2122=26=64故答案为：64【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力22（2017新课标）等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 k=1n1Sk=2nn+1【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，Sn=n(n+1)2，1Sn=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，则 k=1n1Sk=2112+12-13+13-14+1n-1n+1=2（11n+1）=2nn+1故答案为：2nn+1【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力23（2017新课标）设等比数列an满足a1+a2=1，a1a3=3，则a4=8【考点】88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q，由a1+a2=1，a1a3=3，可得：a1（1+q）=1，a1（1q2）=3，解出即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a1+a2=1，a1a3=3，a1（1+q）=1，a1（1q2）=3，解得a1=1，q=2则a4=（2）3=8故答案为：8【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三解答题（共15小题）24（2008全国卷）设函数f（x）=xxlnx数列an满足0a11，an+1=f（an）（）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；（）证明：anan+11；（）设b（a1，1），整数ka1-ba1lnb证明：ak+1b【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法菁优网版权所有【专题】16 ：压轴题【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而进行证明（2）由题意数列an满足0a11，an+1=f（an），求出an+1=ananlnan，然后利用归纳法进行证明；（3）由题意f（x）=xxlnx，an+1=f（an）可得ak+1=akbak，然后进行讨论求解【解答】解：（）证明：f（x）=xxlnx，f（x）=lnx，当x（0，1）时，f（x）=lnx0故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；（）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0a11，a1lna10，a2=f（a1）=a1a1lna1a1，函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，f（x）在区间（0，1是增函数，a2=f（a1）=a1a1lna11，即a1a21成立，（）假设当x=k（kN+）时，akak+11成立，即0a1akak+11，那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1是增函数，0a1akak+11，得f（ak）f（ak+1）f（1），而an+1=f（an），则ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1ak+21，也就是说当n=k+1时，anan+11也成立，根据（）、（）可得对任意的正整数n，anan+11恒成立（）证明：由f（x）=xxlnx，an+1=f（an）可得ak+1=akaklnak=a1-b-i=1kailnai，1）若存在某ik2，满足aib3，则由（）知：ak+1baib04，2）若对任意ik6，都有aib，则ak+1=akaklnak=a1-b-i=1kailnai=a1-b-i=1kailnba1b1ka1lnb=0，即ak+1b成立【点评】此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识及数学归纳法的应用，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题25（2009全国卷）在数列an中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n（1）设bn=ann，求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；15 ：综合题【分析】（1）由已知得an+1n+1=ann+12n，即bn+1=bn+12n，由此能够推导出所求的通项公式（2）由题设知an=2nn2n-1，故Sn=（2+4+2n）（1+22+322+423+n2n-1），设Tn=1+221+322+423+n2n-1，由错位相减法能求出Tn=4n+22n-1从而导出数列an的前n项和Sn【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且an+1n+1=ann+12n，即bn+1=bn+12n，从而b2=b1+12，b3=b2+122，bn=bn1+12n-1（n2）于是bn=b1+12+122+12n-1=212n-1（n2）又b1=1，故所求的通项公式为bn=212n-1（2）由（1）知an=2nn2n-1，故Sn=（2+4+2n）（1+22+322+423+n2n-1），设Tn=1+221+322+423+n2n-1，12Tn=12+222+323+n-12n-1+n2n，得，12Tn=1+12+122+123+12n-1n2n=1-12n1-12n2n=222nn2n，Tn=4n+22n-1Sn=n（n+1）+n+22n-14【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用26（2009全国卷）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2（nN*）（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式【考点】8H：数列递推式；8D：等比关系的确定菁优网版权所有【专题】15 ：综合题【分析】（1）由题设条件知b1=a22a1=3由Sn+1=4an+2和Sn=4an1+2相减得an+1=4an4an1，即an+12an=2（an2an1），所以bn=2bn1，由此可知bn是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列（2）由题设知an+12n+1-an2n=34所以数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列由此能求出数列an的通项公式【解答】解：（1）由a1=1，及Sn+1=4an+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a22a1=3由Sn+1=4an+2，则当n2时，有Sn=4an1+2，得an+1=4an4an1，所以an+12an=2（an2an1），又bn=an+12an，所以bn=2bn1，所以bn是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列（6分）（2）由（I）可得bn=an+12an=32n1，等式两边同时除以2n+1，得an+12n+1-an2n=34所以数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列所以an2n=12+(n-1)34=34n-14，即an=（3n1）2n2（nN*）（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式27（2010大纲版）已知数列an中，a1=1，an+1=c1an（）设c=52，bn=1an-2，求数列bn的通项公式；（）求使不等式anan+13成立的c的取值范围【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法菁优网版权所有【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题【分析】（1）令c=52代入到an+1=c1an中整理并令bn=1an-2进行替换，得到关系式bn+1=4bn+2，进而可得到bn+23是首项为13，公比为4的等比数列，先得到bn+23的通项公式，即可得到数列bn的通项公式（2）先求出n=1，2时的c的范围，然后用数学归纳法分3步进行证明当c2时anan+1，然后当c2时，令=c+c2-42，根据由an+1anan+1+1an=c得an可发现c103时不能满足条件，进而可确定c的范围【解答】解：（1）an+1-2=52-1an-2=an-22an，1an+1-2=2anan-2=4an-2+2，即bn+1=4bn+2bn+1+23=4(bn+23)，a1=1，故b1=1a1-2=-1所以bn+23是首项为13，公比为4的等比数列，bn+23=-134n-1，bn=-4n-13-23（）a1=1，a2=c1，由a2a1得c2用数学归纳法证明：当c2时anan+1（）当n=1时，a2=c1a1a1，命题成立；（ii）设当n=k时，akak+1，则当n=k+1时，ak+2=c-1ak+1c-1ak=ak+1故由（i）（ii）知当c2时，anan+1当c2时，令=c+c2-42，由an+1anan+1+1an=c得an当2c103时，an3当c103时，3且1an于是-an+1=1an(-an)13(-an)an+113n（1），当nlog3-1-3时，-an+1-3，an+13因此c103不符合要求所以c的取值范围是（2，103【点评】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查28（2010大纲版）已知数列an的前n项和Sn=（n2+n）3n（）求limnanSn；（）证明：a112+a222+ann23n【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；14 ：证明题【分析】（1）由题意知limnanSn=limnSn-Sn-1Sn=limn(1-Sn-1Sn)=1-limnSn-1Sn，由此可知答案（2）由题意知，a112+a222+ann2=S112+S2-S122+Sn-Sn-1n2=(112-122)S1+(122-132)S2+(1(n-1)2-1n2)Sn-1+1n2Sn1n2Sn，由此可知，当n1时，a112+a222+ann23n【解答】解：（1）limnanSn=limnSn-Sn-1Sn=limn(1-Sn-1Sn)=1-limnSn-1SnlimnSn-1Sn=limnn-1n+113=13，所以limnanSn=23；（2）当n=1时，a112=S1=63；当n1时，a112+a222+ann2=S112+S2-S122+Sn-Sn-1n2=(112-122)S1+(122-132)S2+(1(n-1)2-1n2)Sn-1+1n2Sn1n2Sn=n2+nn23n3n所以，n1时，a112+a222+ann23n【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用29（2010宁夏）设数列满足a1=2，an+1an=322n1（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】11 ：计算题【分析】（）由题意得an+1=（an+1an）+（anan1）+（a2a1）+a1=3（22n1+22n3+2）+2=22（n+1）1由此可知数列an的通项公式为an=22n1（）由bn=nan=n22n1知Sn=12+223+325+n22n1，由此入手可知答案【解答】解：（）由已知，当n1时，an+1=（an+1an）+（anan1）+（a2a1）+a1=3（22n1+22n3+2）+2=32(1-4n)1-4+2=22（n+1）1而a1=2，所以数列an的通项公式为an=22n1（）由bn=nan=n22n1知Sn=12+223+325+n22n1从而22Sn=123+225+n22n+1得（122）Sn=2+23+25+22n1n22n+1即Sn=19(3n-1)22n+1+2【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力30（2011大纲版）设数列an满足a1=0且11-an+1-11-an=1（）求an的通项公式；（）设bn=1-an+1n，记Sn=k=1nbk，证明：Sn1【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题【分析】（）由11-an是公差为1的等差数列，知11-an=11-a1+(n-1)1=n，由此能求出an的通项公式（）由bn=1-an+1n=1-nn+1n=1n-1n+1，能够证明Sn1【解答】解：（）11-an是公差为1的等差数列，11-an=11-a1+(n-1)1=n，an=n-1n（nN*）（）bn=1-an+1n=1-nn+1n=1n-1n+1，Sn=(11-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=11n+11【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用31（2011新课标）等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列1bn的前n项和【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】54 ：等差数列与等比数列【分析】（）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列an的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为1bn的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列1bn的前n项和【解答】解：（）设数列an的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=19由条件可知各项均为正数，故q=13由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=13故数列an的通项式为an=13n（）bn=log3a1+log3a2+log3an=（1+2+n）=n(n+1)2，故1bn=2n(n+1)=2（1n1n+1）则1b1+1b2+1bn=2（112）+（1213）+（1n1n+1）=2nn+1，所以数列1bn的前n项和为2nn+1【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题32（2012大纲版）函数f（x）=x22x3，定义数列 xn如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（ xn，f（ xn）的直线PQn与x轴交点的横坐标（）证明：2xnxn+13；（）求数列 xn的通项公式【考点】8I：数列与函数的综合；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题【分析】（）用数学归纳法证明：n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为y-5=f(2)-52-4(x-4)，当y=0时，可得x2=114；假设n=k时，结论成立，即2xkxk+13，直线PQk+1的方程为y-5=f(xk+1)-5xk+1-4(x-4)，当y=0时，可得xk+2=3+4xk+12+xk+1，根据归纳假设2xkxk+13，可以证明2xk+1xk+23，从而结论成立（）由（），可得xn+1=3+4xn2+xn，构造bn=xn3，可得1bn+14是以34为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列 xn的通项公式【解答】（）证明：n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为y-5=f(2)-52-4(x-4)当y=0时，x2=114，2x1x23；假设n=k时，结论成立，即2xkxk+13，直线PQk+1的方程为y-5=f(xk+1)-5xk+1-4(x-4)当y=0时，xk+2=3+4xk+12+xk+12xkxk+13，xk+2=4-52+xk+14-52+3=3xk+2-xk+1=(3-xk+1)(1+xk+1)2+xk+10xk+1xk+22xk+1xk+23即n=k+1时，结论成立由可知：2xnxn+13；（）由（），可得xn+1=3+4xn2+xn设bn=xn3，1bn+1=5bn+11bn+1+14=5(1bn+14)1bn+14是以34为首项，5为公比的等比数列1bn+14=(-34)5n-1bn=-435n-1+1xn=bn+3=3-435n-1+1【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决33（2012新课标）数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前60项和为1830【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】15 ：综合题；54 ：等差数列与等比数列【分析】由题意可得 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，利用数列的结构特征，求出an的前60项和【解答】解：an+1+（1）n an=2n1，有a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+（158+1514216）=1830，故答案为：1830【点评】本题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，注意利用数列的