车轮为什么做成圆形.doc

车轮为什么做成圆形教学目标(一)教学知识点1理解圆的概念2理解点与圆的位置关系(二)能力训练要求1经历通过实例归纳出圆的定义的过程2会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系(三)情感与价值要求通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣教学重点：和圆的三种位置关系教学难点：集合的观点研究圆的概念教学方法：导探索法教具准备：制两个车轮模具(一个圆形，一个方形)教学过程创设现实情境，引入新课前面我们已经学习过两种常见的几何图形，三角形、四边形大家回忆一下我们是通过一些什么方法研究了它们的性质？今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过的另一种常见的几何图形圆和三角形、四边形一样，圆的性质与应用同样需要通过折叠、平移、旋转、推理证明等方法去学习和探究下面我们来学习第一节：车轮为什么做成圆形讲授新课日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点？大家讨论讨论如下图：通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形看P83图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系？用什么方法可以判断，大家动手做一做同学们以前画过圆，画一个圆很简单将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈，一个圆就画出来了固定的那一点称为圆心所画得的圆圈叫圆周从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等这是圆的一个重要而又最基本的性质人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样，车轴到车轮边缘的距离处处相等也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的车子在平路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸下面我们再看一个游戏队形一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？排成圆形或圆弧形比较公平因为每个同学离要投的目标一样远近这样我们就得到了圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)其中，定点称为圆心(Centre of a circle)，定长称为半径(radius)的长(通常也称为半径)以点O为圆心的圆记作O，读作“圆O”注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小圆心确定其位置，半径确定其大小只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定巩固练习：课本P85随堂练习！接下来我们研究点和圆的位置关系请同学们在练习本上画一个圆，大家想一想这个圆把平面分成了几部分？互相讨论一下一个圆应该将平面分成三部分：圆的内部、圆、圆的外部若设O的半径为r，点P到圆心O的距离为d当点P与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外这说明由点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，反过来，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系2做一做设AB3cm，作图说明满足下列要求的图形(1)到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形(2)到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形课时小结师通过这节课的学习，同学们谈一下你有何收获和体会生我们知道了车轮为什么做成圆形以及圆的定义和确定一个圆的两个条件生我还学会了如何确定点和圆的三种位置关系课后作业课本P86，习题31，14题圆的对称性教学目标(一)教学知识点1圆的轴对称性2垂径定理及其逆定理3运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明(二)能力训练要求1经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法2培养学生独立探索、相互合作交流的精神(三)情感与价值观要求通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神垂径定理及其逆定理垂径定理及其逆定理的证明指导探索和自主探索相结合投影片两张：第一张：做一做(记作321A)第二张：想一想(记作321B)教学过程创设问题情境，引入新课前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性讲授新课同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念1圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)2弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)3直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)如下图，以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是O的一条弦，弧CD是O的一条直径下面我们一起来做一做：(出示投影片321A)按下面的步骤做一做：1在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合2得到一条折痕CD3在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足4将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图 (教师叙述步骤，师生共同操作)能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析如下图示，连接OA、OB得到等腰OAB，即OAOB因CDAB，故OAM与OBM都是Rt，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AMBM又O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合因此AMBM，=，=在上述操作过程中，你会得出什么结论？垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质垂径定理在这里注意；条件中的“弦”可以是直径结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧即垂径定理的条件有两项，结论有三项用符号语言可表述为：如图37，在O中，下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：例1如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF90m，求这段弯路的半径师生共析要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了因为已知OECD，所以CFCD300cm，OFOEEF，此时就得到了一个RtCFO，哪位同学能口述一下如何求解？在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用随堂练习：P921略下面我们来想一想(出示投影片321B)如下图示，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？在上述的探讨中，你会得出什么结论？平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧为什么上述条件要强调“弦不是直径”？因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理随堂练习：P922如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同课时小结1本节课我们探索了圆的对称性2利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理3垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题课后作业(一)课本P93，习题32，1、2(二)1预习内容：P94972预习提纲：(1)圆是中心对称图形(2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理圆的对称性教学目标(一)教学知识点(二)1圆的旋转不变性2圆心角、弧、弦之间相等关系定理(二)能力训练要求1通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力2利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理(三)情感与价值观要求培养学生积极探索数学问题的态度及方法教学重点：角、弧、弦之间关系定理教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明教学方法：导探索法教具准备投影片两张第一张：做一做(记作322A)第二张：举反例图(记作322B)教学过程创设问题情境，引入新课我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？哪位同学知道？圆是一个特殊的圆形，通过前面的学习，同学们已经了解到圆既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形那么，圆还有其他特性吗？下面我们继续来探讨讲授新课同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合圆的中心对称性是其旋转不变性的特例即圆是中心对称图形，对称中心为圆心我们一起来做一做(出示投影片322A)按下面的步骤做一做：1在两张透明纸上，作两个半径相等的O和O，沿圆周分别将两圆剪下2在O和O上分别作相等的圆心角AOB和AOB(如下图示)，圆心固定注意：在画AOB与AOB时，要使OB相对于OA的方向与OB相对于OA的方向一致，否则当OA与OA重合时，OB与OB不能重合3将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA重合通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系？同学们互相交流一下，说一说你的理由我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与OA重合时，由于AOBAOB这样便得到半径OB与OB重合因为点A和点A重合，点B和点B重合，所以和重合，弦AB与弦AB重合，即，ABAB在上述操作过程中，你会得出什么结论？在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理下面，我们一起来看一看命题的证明(学生互相讨论交流，学生口述，教师板书)上面的结论，在同圆中也成立于是得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论师(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图(出示投影片322B)生如下图示，虽然AOBAOB，但ABAB，下面我们共同想一想师如果我们把两个圆心角用表示；两条弧用表示；两条弦用表示我们就可以得出这样的结论：如果在同圆或等圆这个前提下将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说(同学们互相交流、讨论) 师好，通过上面的探索，你得到了什么结论？在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等(2)此定理中的“弧”一般指劣弧(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义否则易错用此关系(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等例如，下图中的12，有的同学认为1对AD，2对BC，就推出了ADBC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦师下面我们通过练习巩固本节课的所学内容课本P97 随堂练习1、2、3课时小结师通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法？(同学们之间相互讨论、归纳)生本节采用的方法有多种，利用折叠法研究了圆是轴对称图形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、孤、弦、弦心距之间相等关系定理课后作业课本P98 习题33：1、2第一课时 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教学目标： （1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用； （2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力； （3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲 重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论 难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养 教学内容设计 （一）圆的对称性和旋转不变性 学生动手画圆，对折、观察得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性. 引出圆心角和弦心距的概念： 圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角 弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距 （二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性. 定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等 （三）剖析定理得出推论 问题1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流） 举出反例：如图，AOB=COD，但AB CD， .（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.） 问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等（推论包含了定理，它是定理的拓展） （四）应用、巩固和反思 例1、如图，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：AB=CD. 解（略，教材87页） 例题拓展：当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？ （让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题） 练习：（教材88页练习） （六）作业：教材P99中1（1）、2、3第二课时 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二） 教学目标： （1）理解1 弧的概念，能熟练地应用本节知识进行有关计算； （2）进一步培养学生自学能力，应用能力和计算能力； （3）通过例题向学生渗透数形结合能力 重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用 难点：理解1 弧的概念 教学活动设计： （一）阅读理解 学生独立阅读P89中，1的弧的概念，使学生从感性的认识到理性的认识 理解： （1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角 （2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1的弧 （3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等 （二）概念巩固 1、判断题： （1）等弧的度数相等（ ）； （2）圆心角相等所对应的弧相等（ ）； （3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（ ） 2、解得题： （1）度数是5的圆心角所对的弧的度数是多少?为什么? （2）5的圆心角对着多少度的弧？ 5的弧对着多少度的圆心角? （3）n的圆心角对着多少度的弧? n的弧对着多少度的圆心角? （三）疑难解得 对于弧相等；弧的长度相等；弧的度数相等；圆心角的度数和它们对的弧的度数相等学生在学习中有疑难的老师要及时解得 特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不同的概念，不能比较和度量 （四）应用、归纳、反思 例1、如图，在O中，弦AB所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为2cm，求AB的长 学生自主分析，写出解题过程，交流指导 解：（参看教材P89） 注意：学生往往重视计算结果，而忽略推理和解题步骤的严密性，教师要特别关注和指导 反思：向学生渗透数形结合的重要的数学思想所谓数形结合思想就是数与形互相转化，图形带有直观性，数则有精确性，两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题 例2、如图，已知AB和CD是O的两条直径，弦CEAB， =40，求BOD的度数 题目从“分析解得”让学生积极主动进行，此时教师只需强调解题要规范，书写要准确即可 （解答参考教材P90） 题目拓展： 1、已知：如上图，已知AB和CD是O的两条直径，弦CEAB，求证： 2、已知：如上图，已知AB和CD是O的两条直径，弦 ，求证：CEAB 目的：是培养学生发散思维能力，由学生自己分析证明思路，引导学生思考出不同的方法，最后交流、概括、归纳方法 （五）小节（略） （六）作业：教材P100中4、5题 确定圆的条件教学目标(一)教学知识点了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念(二)能力训练要求1经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力2通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略(三)情感与价值观要求1形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神2学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果教学重点1经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论2掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法3了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念教学难点经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆教学方法：师指导学生自主探索交流法教具准备投影片三张第一张：(记作34A)第二张：(记作34B)第三张：(记作34C)教学过程创设问题情境，引入新课师我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？本节课我们将进行有关探索新课讲解1回忆及思考投影片(34A)1线段垂直平分线的性质及作法2作圆的关键是什么？生1线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等师我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点即为圆心，定长即为半径根据定义大家觉得作圆的关键是什么？生由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小确定了圆心和半径，圆就随之确定2做一做(投影片34B)(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使它经过已知点A、B你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)你是如何作的？你能作出几个这样的圆？师根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆究竟应该怎样找圆心呢？3过不在同一条直线上的三点作圆投影片(34C)作法图示1连结AB、BC2分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3以O为圆心，OA为半径作圆O就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流生符合要求因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等ED与FG的满足条件师由上可知，过已知一点可作无数个圆过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆4有关定义由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)课堂练习课时小结课后作业习题36直线和圆的位置关系教学目标： 1、使学生理解直线和圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质； 2、通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想，培养学生 观察、分析和概括的能力； 3、使学生从运动的观点来观察直线和圆相交、相切、相离的关系、培养学生的辩证唯物主义观点 教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质 教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用 教学设计： （一）基本概念 1、观察：（组织学生，使学生从感性认识到理性认识） 2、归纳：（引导学生完成） （1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点 3、概念：（指导学生完成） 由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系： （1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线 （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点 （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离 研究与理解： 直线与圆有唯一公共点的含义是“有且仅有”，这与直线与圆有一个公共点的含义不同 直线和圆除了上述三种位置关系外，有第四种关系吗?即一条直线和圆的公共点能否多于两个?为什么? （二）直线与圆的位置关系的数量特征 1、迁移：点与圆的位置关系 （1）点P在O内 dr 2、归纳概括： 如果O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么 (1)直线l和O相交 dr （三）应用 例1、在RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？ （1）r=2cm； （2）r=2.4cm； （3）r=3cm 学生自主完成，老师指导学生规范解题过程 练习P105，1、2 （四）小结： 1、知识：（指导学生归纳） 2、能力：观察、归纳、概括能力，知识迁移能力，知识应用能力 （五）作业：教材P115，1（1）、2、3 圆和圆的位置关系第一课时 圆和圆的位置关系 教学目标： 1掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法；两圆连心线的性质； 2通过两圆的位置关系，培养学生的分类能力和数形结合能力； 3通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力 教学重点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系 教学难点： 两圆位置关系及判定 （一）复习、引出问题 1复习：直线和圆有几种位置关系?各是怎样定义的? （教师主导，学生回忆、回答）直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 2引出问题：平面内两个圆，它们作相对运动，将会产生什么样的位置关系呢? （二）观察、分类，得出概念 1、让学生观察、分析、比较，分别得出两圆：外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系，准确给出描述性定义： (1)外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离(图(1) (2)外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切这个唯一的公共点叫做切点(图(2) (3)相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交(图(3) (4)内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切这个唯一的公共点叫做切点(图(4) (5)内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含(图(5)两圆同心是两圆内含的一个特例 (图(6) 2、归纳： (1)两圆外离与内含时，两圆都无公共点 (2)两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 (3)两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离(外离和内含)；相交；相切(外切和内切) 教师组织学生归纳，并进一步考虑：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交除以上关系外，还有其它关系吗?可能不可能有三个公共点? 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系 （三）分析、研究 1、相切两圆的性质 让学生观察连心线与切点的关系，分析、研究，得到相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 这个性质由圆的轴对称性得到，有兴趣的同学课下可以考虑如何对这一性质进行证明 2、两圆位置关系的数量特征 设两圆半径分别为R和r圆心距为d，组织学生研究两圆的五种位置关系，r和d之间有何数量关系（图形略） 两圆外切 dR+r； 两圆内切 dR-r (Rr); 两圆外离 dR+r； 两圆内含 dR-r(Rr); 两圆相交 R-rdR+r 说明：注重“数形结合”思想的教学 （四）应用、练习 例1： 如图，O的半径为5厘米，点P是O外一点，OP=8厘米 求：(1)以P为圆心作P与O外切，小圆P的半径是多少? (2)以P为圆心作P与O内切，大圆P的半径是多少? 例2：已知：如图，ABC中，C90，AC12，BC8，以AC为直径作O，以B为圆心，4为半径作 求证：O与B相外切 练习(P138) （五）小结 知识：两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含； 以及这五种位置关系下圆心距和两圆半径的数量关系； 两圆相切时切点在连心线上的性质 能力：观察、分析、分类、数形结合等能力 思想方法：分类思想、数形结合思想 （六）作业 教材P151中习题A组2，3，4题第二课时 相交两圆的性质 教学目标 1、掌握相交两圆的性质定理； 2、掌握相交两圆问题中常添的辅助线的作法； 3、通过例题的分析，培养学生分析问题、解决问题的能力； 4、结合相交两圆连心线性质教学向学生渗透几何图形的对称美 教学重点 相交两圆的性质及应用 教学难点 应用轴对称来证明相交两圆连心线的性质和准确添加辅助线 教学活动设计 （一）图形的对称美 相切两圆是以连心线为对称轴的对称图形相交两圆具有什么性质呢? （二）观察、猜想、证明 1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形 2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦” 3、证明： 对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织；对B、C层在教师引导下完成 已知：O1和O2相交于A，B 求证：Q1O2是AB的垂直平分线 分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B 证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，O1A=O1B， O1点在AB的垂直平分线上 又O2AO2B，点O2在AB的垂直平分线上 因此O1O2是AB的垂直平分线 也可考虑利用圆的轴对称性加以证明： Ol和O2，是轴对称图形，直线O1O2是Ol和O2的对称轴 Ol和O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在Ol上又在O2上 A点关于直线O1O2的对称点只能是B点， 连心线O1O2是AB的垂直平分线 定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦 注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线 （三）应用、反思 例1、已知两个等圆Ol和O2相交于A，B两点，Ol经O2。 求OlAB的度数 例2、已知，如图，A是O l、O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交O l、O2于M、N。 求证：AM=AN 例3、已知：如图，Ol与O2相交于A、B两点，C为Ol上一点，AC交O2于D，过B作直线EF交Ol、O2于E、F 求证：ECDF （四）小结 知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据 能力与方法：在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用；圆的对称性的应用 （五）作业 教材P152习题A组7、8、9题；B组1题 弧长及扇形的面积教学目标(一)教学知识点1经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；2了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题(二)能力训练要求1经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力2了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力(三)情感与价值观要求1经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性2通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力教学重点1经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程2了解弧长及扇形面积计算公式3会用公式解决问题教学难点1探索弧长及扇形面积计算公式2用公式解决实际问题教学方法学生互相交流探索法教具准备2投影片四张第一张：(记作37A)第二张：(记作37B)第三张：(记作37C)第四张：(记作37D)教学过程创设问题情境，引入新课师在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索新课讲解一、复习1圆的周长如何计算？2圆的面积如何计算？3圆的圆心角是多少度？生若圆的半径为r，则周长l2r，面积Sr2，圆的圆心角是360二、探索弧长的计算公式投影片(37A)如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？(2)转动轮转1，传送带上的物品A被传送多少厘米？(3)转动轮转n，传送带上的物品A被传送多少厘米？师分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360的圆心角，所以转动轮转1，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n，传送带上的物品A被传送转1时传送距离的n倍生解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送21020cm；(2)转动轮转1，传送带上的物品A被传送cm；(3)转动轮转n，传送带上的物品A被传送ncm师根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家互相交流在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：l下面我们看弧长公式的运用三、例题讲解投影片(37B)制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l可求得的长，其中n为圆心角，R为半径解：R40mm，n110的长R4076.8mm因此，管道的展直长度约为76.8mm四、想一想投影片(37C)在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n角，那么它的最大活动区域有多大？师请大家互相交流生(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9；(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360的圆心角对应的圆面积，1的圆心角对应圆面积的，即9，n的圆心角对应的圆面积为n师请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式生如果圆的半径为R，则圆的面积为R2，1的圆心角对应的扇形面积为，n的圆心角对应的扇形面积为n因此扇形面积的计算公式为S扇形R2，其中R为扇形的半径，n为圆心角五、弧长与扇形面积的关系师我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式为lR，n的圆心角的扇形面积公式为S扇形R2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流生lR，S扇形R2，R2RRS扇形lR六、扇形面积的应用投影片(37D)扇形AOB的半径为12cm，AOB120，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了解：的长1225.1cmS扇形122150.7cm2因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2课堂练习随堂练习课时小结本节课学习了如下内容：1探索弧长的计算公式lR，并运用公式进行计算；2探索扇形的面积公式SR2，并运用公式进行计算；3探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方课后作业习题310圆锥的侧面积教学目标(一)教学知识点1经历探索圆锥侧面积计算公式的过程2了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题(二)能力训练要求1经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力2了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力(三)情感与价值观要求1让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验2通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣，克服困难的决心，更好地服务于实际教学重点1经历探索圆锥侧面积计算公式的过程2了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题教学难点经历探索圆锥侧面积计算公式教学方法观察想象实践总结法教具准备一个圆锥模型(纸做)投影片两张第一张：(记作38A)第二张：(记作38B)教学过程创设问题情境，引入新课大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题新课讲解一、探索圆锥的侧面展开图的形状 (向学生展示圆锥模型)请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状下面我就给大家做个演示(把圆锥沿一母线剪开)，请大家观察侧面展开图是什么形状的？既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象二、探索圆锥的侧面积公式圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l，扇形的弧长即为底面圆的周长2r，根据扇形面积公式可知S2rlrl因此圆锥的侧面积为S侧rl圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积(surfacearea)，全面积为S全r2rl三、利用圆锥的侧面积公式进行计算投影片(38A)圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm)2分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积现在已知底面圆的周长，从中可求出底面圆的半径，从而可求出扇形的弧长在高h、底面圆的半径r、母线l组成的直角三角形中，根据勾股定理求出母线l，代入S侧rl中即可如图，已知RtABC的斜边AB13cm，一条直角边AC5cm，以直线AB为轴旋转一周得一个几何体求这个几何体的表面积分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和根据S侧R2或S侧rl可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB垂直于底面圆，在RtABC中，由OC、ABBC、AC可求出r，问题就解决了课堂练习随堂练习课时小结本节课学习了如下内容：探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算课后作业习题311回顾与思考教学目标(一)教学知识点1掌握本章的知识结构图2探索圆及其相关结论3掌握并理解垂径定理4认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理5掌握圆心角和圆周角的关系定理(二)能力训练要求1通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力2用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力3用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力4让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力(三)情感与价值观要求通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展教学重点掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用教学难点：面这些内容的推导及应用教学