导数典型例题讲解

资料一资料一 导数 导数 知识点知识点 1 导数的概念 导数的概念 例 1 已知曲线 y 上的一点 P 0 0 求过点 P 3 x 的切线方程 解析 如图 按切线的定义 当 x0 时 割 线 PQ 的极限位置是 y 轴 此时斜率不存在 因 此过 P 点的切线方程是 x 0 例 2 求曲线 y x2在点 2 4 处的切线方程 解析 y x2 y x0 x 2 x02 2x0 x x 2 4x x 2 k 00 limlim 4 4 xx y x x 曲线 y x2在点 2 4 处切线方程为 y 4 4 x 2 即 4x y 4 0 例 3 物体的运动方程是 S 1 t t2 其中 S 的单位是米 t 的单位是秒 求 物体在 t 5 秒时的瞬时速度及物体在一段时间 5 5 t 内相应的平均速度 解析 S 1 t t2 S 1 t t t t 2 1 t t2 2t t t t 2 即 21 S tt t 21v ttt 5 11vt 即在 5 5 t 的一段时间内平均速度为 t 11 米 秒 v t S 00 limlim 21 21 tt S ttt t 即 v 5 2 5 1 11 物体在 t 5 秒时的瞬时速度是 11 米 秒 例 4 利用导数的定义求函数 y 在 x 1 处的导数 1 x 解析 y 111 1 11 x xx y x 1 1 11 xx 0 lim x y x 0 11 lim 21 11 x xx 例 5 已知函数 f x 求函数 f x 在点 x 0 处的导数 2 1 sin0 00 xx x x 解析 由已知 f x 0 即 f x 在 x 0 处有定义 y f 0 x f 0 2 1 sinx x 0 即 f 0 0 y x 1 sinx x 0 lim x y x 0 1 limsin x x x 函数 f x 在 x 0 处导数为 0 例 6 已知函数 f x 判断 f x 在 x 1 处是否可导 2 1 1 1 2 1 1 1 2 xx xx 解析 f 1 1 2 000 1 1 1 1 1 2 limlimlim 1 1 2 xxx x y x xx 00 1 11 1 1 2 limlim 2 xx x y xx 00 limlim xx yy xx 函数 y f x 在 x 1 处不可导 例 7 已知函数 y 2x3 3 求 y 解析 y 2x3 3 y 2 x x 3 3 2x3 3 6x2 x 6x x 2 2 x 3 6x2 6x x 2 x 2 y 6x2 y x 0 lim x y x 例 8 已知曲线 y 2x3 3 上一点 P P 点横坐标为 x 1 求点 P 处的切线方程 和法线方程 解析 x 1 y 5 P 点的坐标为 1 5 利用例 7 的结论知函数的导数为 y 6x2 y 6 曲线在 P 点处的切线方程为 y 5 6 x 1 1 x 即 6x y 1 0 又曲线在 P 点处法线的斜率为 6 1 曲线在 P 点处法线方程为 y 5 x 1 即 6y x 31 0 6 1 例 9 抛物线 y x2在哪一点处切线平行于直线 y 4x 5 解析 y 0 lim x y x 22 0 lim2 x xxx x x 令 2x 4 x 2 y 4 即在点 P 2 4 处切线平行于直线 y 4x 5 例 10 设 mt 0 f x 在 x0处可导 求下列极限值 1 2 00 0 lim x f xm xf x x 00 0 lim x x f xf x t x 解析 要将所求极限值转化为导数 f x0 定义中的极限形式 1 00 0 lim x f xm xf x x 00 0 0 lim x f xm xf x mm fx m x 其中 m x0 2 00 0 lim x x f xf x t x 00 0 0 11 lim x x f xf x t fx x tt t 其中 1 0 x t 例 11 设函数 f x 在 x 1 处连续 且 求 f 1 1 lim2 1 x f x x 解析 f x 在 x 1 处连续 f 1 1 lim x f x 而又 2 0 1111 lim lim 1 lim 1 lim0 11 xxxx f xf x f xxx xx f 1 0 f 1 将x 换成 x 1 01 1 1 1 limlim2 1 xx fxff xf xx 即 f 1 2 例 12 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 通过点 1 1 且在点 2 1 处与直 线 y x 3 相切 求 a b c 的值 解析 由 y 0 lim x y x 22 0 lim2 x a xxb xxcaxbxc axb x 由函数在点 2 1 处与直线 y x 3 相切 2a 2 b 1 又函数过点 1 1 2 1 a b c 1 4a 2b c 1 由三式解得 a 3 b 11 c 9 例 13 设曲线 y sinx 在点 A 处切线倾斜角为 求 tan 的值 6 2 1 4 解析 y sinx y sin x x sinx 2cos x sin 2 x 2 x y 0 lim x y x 000 2cos sinsin 222 limlim cos limcos 2 2 xxx xxx x x xx x x 即 y sinx cosx 令在 A 点处切线斜率为 k cos tan 0 6 2 3 2 3 tan H 4 3 1 1tan 2 74 3 1tan3 1 2 例 14 设 f x 是定义在 R 上的函数 且对任何 x1 x2 R 都有 f x1 x2 f x1 f x2 若 f 0 0 f 0 1 证明 对任何 x R 都有 f x f x 解析 由 f x1 x0 f x1 f x2 令 x1 x2 0 得 f 0 f 0 f 0 又 f 0 0 f 0 1 由 f 0 1 即 00 0 1 limlim1 xx fxffx xx f x 000 1 limlim lim xxx f xxf xf x fxf xfx f xf x xxx 即 f x f x 成立 2 几种常见函数的导数 几种常见函数的导数 例 1 已知 f x x3 求 f x f 1 f 1 f 0 5 解析 f x x3 f x 3x2 f 1 3 f 0 5 3 0 5 2 0 75 f 1 1 0 说明 导函数与函数在某点处导数要弄清区别与联系 后者是导函数的某 一函数值 因此在求函数某一点处导数时可先求导函数 再直接求导函数值 例 2 已知曲线 y x2上有两点 A 1 1 B 2 4 求 割线 AB 的斜率 在 1 1 x 内的平均变化率 过点 A 处的切线斜率 kAT 点 A 处的切 线方程 解析 kAB 3 4 1 2 1 平均变化率 2 1 1 1 1 2 yfxfx x xxx y 2x y x 1 2 即点 A 处的切线斜率为 KAT 2 点 A 处的切线方程为 y 1 2 x 1 即 2x y 1 0 说明 通过本例搞清割线斜率 区间上平均变化率 某点处切线斜率与某 点处的导数之间的区别与联系 再次验证了导数与平均变化率之间的关系 y 0 lim x y x 例 3 利用导数定义和导数公式两种方法求曲线 y 在点 P 1 1 处的切线倾斜 1 x 角及该点处的法线方程 解析 解法一 f x y f 1 x f 1 1 x 1 1 11 x xx y x 1 0 lim x y x 0 1 lim1 1 x x 即在点 P 处斜率为 k 1 倾斜角为 135 法线方程 y 1 x 1 即 x y 0 解法 二 y f x y f x y x 1 1 1 x 2 1 x 即在点 P 处切线斜率为 k 1 以下同法 一 说明 求导致方法有两种 一种是利用导致定义法求导数 第二种用导数 公式 要注意题目要求 若无声明 用最简单的方法即可 例 4 已知曲线 y 上的一点 P 0 0 求过点 P 的切线方程 3 x 解析 由 y y 在 x 0 处导数不存在 由图形知 3 x 3 32 1 3 x x 过 P 点的切线方程是 x 0 例 5 设曲线 y cosx 在 A 点处的切线倾斜角为 求 cot 的值 6 2 3 4 解析 y cosx y sinx x 时 k sin tan 6 6 2 1 2 1 cot 4 1 1 11tan1 2 1 1tan3 tan 1 42 例 6 求曲线 y x3在点 3 27 处的切线与坐标轴所围成的三角形面积 解析 y x3 y 3x2 y x 3 27 曲线 y x3在点 3 27 处的切线方程为 y 27 27 x 3 即 y 27x 54 其与 x 轴 y 轴交点分别为 2 0 0 54 切线与坐标轴围成的三角形面积为 S 2 54 54 2 1 例 7 在抛物线 y x2上取横坐标为 x1 1 及 x2 3 的两点 作过这两点的割线 问该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线 解析 已知两点 A 1 1 B 3 9 割线斜率为 kAB 4 y 2x 令 y 2x 4 得 x 2 即在点 2 4 处切线平行于这一割线 3 函数和 差 积 商的导数 函数和 差 积 商的导数 例 1 求下列函数的导数 y 3x2 xcosx y y xtanx y tan x x 2 cosx 1 1 1 x 解析 y 6x cosx xsinx y 2 22 tan tan sectanxxxxxxx xx y y sin2 cos xx x 2 cossin cos sin2 sin cos xxxxxxx x 2 sin cos2 cos xxx x y y 1 1 11 x xx 22 11 1 1 xx 例 2 已知函数 f x x3 7x 1 求 f x f 1 f 1 5 解析 f x x3 7x 1 y f x 3x2 7 f 1 4 f 1 5 4 1 注意 导函数与导数的区别与联系 函数在某一点的导数是导函数在这一 点处的函数值 例 3 已知函数 y x3 ax2 a 的导数为 0 的 x 值也都使 y 值为 0 求常数 a 3 4 的值 解析 y 3x2 2ax 令 y 0 则 3x2 2ax 0 x1 0 x2 a 3 2 当 x 0 时 y 0 a a 0 即 a 0 满足条件 3 4 当 x a 时 y 0 得 a 0 或 a 3 3 2 32 844 2793 aaa 检验知 a 3 不满足条件 常数的值为 0 例 4 曲线 y x2 4x 上有两点 A 4 0 B 2 4 求 割线 AB 的斜率 kAB 过点 A 处的切线斜率 kA 点 A 处的切线方程 解析 割线 AB 的斜率 kAB 2 40 24 y 2x 4 y x 4 4 即 kA 4 过 A 点的切线方程为 y 0 4 x 4 即 y 4x 16 例 5 已知 F x f x g x 就下列两种情形判断 F x 在 x x0处是否可导 f x 在 x x0处可导 g x 在 x x0处不可导 f x g x 在 x x0处均不可导 解析 F k 在 x x0处不可导 假设 F x 在 x x0处可导 由 F x f x g x g x F x f x f x 在 x x0处可导 g x 在 x x0处可导 与条件 g x 在 x x0处不可 导矛盾 F x 在 x x0处不可导 F x 在 x x0处不一定可导 如设 f x sinx g x cosx 则 f x g x 在 x 0 处均不可导 1 x 1 x 但 F x f x g x sinx cosx 在 x 0 处可导 另 若 g x tanx 上 在 x 0 处不可导 1 x F x f x g x sinx tanx 在 x 0 处也不可导 2 x 例 6 曲线 y x3 x 1 上求一点 P 使过 P 点切线与直线 y 4x 7 平行 解析 y x3 x 1 3x2 1 由过 P 点切线与直线 y 4x 7 平行 令 3x2 1 4 得 x 1 当 x 1 时 y 1 此时切线为 y 1 4 x 1 即 y 4x 3 与直线 y 4x 7 平行 P 点坐标为 1 1 当 x 1 时 y 3 此时切线为 y 3 3 x 1 即 y 4x 1 也满足 条件 P 点坐标为 1 3 综上得 P 点坐标为 1 1 或 1 3 例 7 证明 过抛物线 y a x x1 x x2 a 0 x1 x2 上两点 A x1 0 B x2 0 的切线倾斜角互补 解析 y 2ax a x1 x2 即 k1 a x1 x2 即 k2 a x2 x1 1 12 x x ya xx 1 21 x x ya xx k1 k2 两切线倾斜角互补 例 8 已知曲线 y f x 及 y f x sinax a 0 其中 f x 0 且为可导函数 求 证 两曲线在公共点处彼此相切 解析 由 f x f x sinax f x 0 sinax 1 ax 2k k Z 2 x 设曲线交点 x0 y0 即 x0 2 2 k a 2 2 k a 又两曲线 y1 f x y1 f x y1 f x sinax y2 f x sinax a cosx f x 0 10 x x yfx 0 2000 sin 2 cos 2 22 x x yfxkaf xkfx k1 k2 即两曲线在公共点处相切 例 9 已知直线 y kx 与曲线 y x3 3x2 2x 相切 求 k 的值 解析 由 y 3x2 6x 2 k 又由 kx x3 3x2 2x 3x3 6x2 2x x3 3x2 2x 即 2x3 3x2 0 得 x1 0 或 x2 k 2 或 2 3 4 1 4 复合函数的导数 对数函数与指数函数的导数 复合函数的导数 对数函数与指数函数的导数 例 1 函数 y sinx2 是由函数 y u v 三个 2 3 函数复合而成 解析 答案分别为 y u u sinv v x2 2 3 例 2 求下列函数的导数 y x2 2x 3 y y y sinx2 2 5 4x e 32 axbxc 1 3 y ln x y x3lig3x y y xn x R n R 2 1x cos5 sin2 x x 解析 y x2 2x 3 y 3 x2 2x 2 2x 2 6 x 1 x2 2x 2 y y 8x 8x 2 5 4x e 2 5 4x e 2 5 4x e y y 2ax b 32 axbxc 3 1 2 2 3 axbxx y sinx2 y cosx2 2x 1 3 3 1 2 2 3 sin x 2 22 3 2 cos 3 sin xx x y ln x y 2 1x 22 12 1 12 1 x xxx 2 1 1x y x3lig3x y 3x2 lig3x x3 lig3e 3x2lig3x x2lig3e x2lig3 ex3 1 x y cos5 sin2 x x y 22 cos5 sin2 cos5 sin2 5sin5 sin22cos5 cos2 sin2 sin2 xxxxxxxx xx y xn y n xn lnln xnnx ee ln 1 nx en x 1 x 1n nx 说明 本例集中训练常见函数求导公式 导数的四则运算法则 复合函数 的求导法则等 这些要反复熟记 例 3 求函数 f x 的导数 22 0 xaxbaxb xaxb 解析 f x 2 0 xa xbxbxaaxb xaxb f x 2 2 0 xa xbxabaxb xaxb 例 4 若 f x x ln x 5 g x ln x 1 解不等式 f x g x 解析 f x 1 g x 由 f x g x 有 1 5x 1 1x 1 即 x 5 或 x5 所以 不等式 f x g x 的解集为 5 说明 求导数有关问题时还要注意原函数定义域 例 5 证明 可导奇函数的导数是偶函数 解析 法一 定义法 设 f x 为可导奇函数 则 f x f x f x 00 limlim xx fxxfxf xxf x xx f x 0 lim x f xxf x x 即 f x f x 导函数为偶函数 法二 复合函数求导法 设 f x 为可导奇函数 则 f x f x 两边对 x 求导 得 f x f x 即 f x f x f x f x f x 为偶函数 即命题成立 同理可证 可导偶函数的导数是奇函数 例 6 石头落在平静水面上 产生同心波纹 若最外一圈波半径增大速度总是 am s 问在 b 秒末波扰动水面积的增大速度是多少 解析 设 b 秒末最外一圈波纹的半径为 R 则 R ab S R2 又 R a S R ab 2 R R t R ab 2 a2b 即 b 秒末波扰动水面积的增大率为 2 a2b m2 s 例 7 将水注入锥形容器中 其速度为 4 米 3 分 设锥 形容器的高为 8 米 顶口直径为 6 米 求当水深为 5 米 时 水面上升的速度 如图 解析 设注入水 t 分钟后 水深为 h 米 由相似三角形对应过之比可得水面直径为h 米 4 3 这时水的体积温 V h 2 h 由于水面 3 1 8 3 3 3 64 h 高度 h 随时间 t 而变化 因此 h 是 t 的函数 h h t 由此可得水的体积关于时 间 t 的导数为 V t V h h t V t 32 39 6464 tt hhhh 由假设 注水的速度为 4 米 3 分 Vt 4 即 h t 2 9 64 t hh 2 4 64 9 h 当 h 5 米时 水面上升的速度为 h h 5 米 分 256 225 5 函数的单调性和极值 函数的单调性和极值 1 求函数 y ex x 1 的单调区间 解析 y ex x 1 ex 1 由 ex 1 0 得 x 0 即函数在 0 上为增函 数 由 ex 1 0 得 x0 f x 在 0 1 上递增 当 x 1 2 时 y 0 得 x 即 y f x 在 内是 3 5 3 3 5 3 单调递增 同理 由 y 0 得 0 x 或 x 2 3 5 3 y f x 在 0 和 2 内都是单调递减 3 5 3 例 4 设 f x a 0 求 a 的范围 使函数 f x 在 0 上是单 2 1xax 调函数 解析 f x 当 x 0 时 0 1 2 1 x a x 2 1 x x a 0 且 f x 在 0 上是单调函数 则必有 f x 0 x 又函数在 0 1 上都有意义 2 a 1 a 2 2 a y lg 2 lg 2 10 11 lnlog lg 2 2 axax aaeaaa ax x a 由 y 0 得 lg0lg0 22 00 aa xx aa 若 0 a 1 则 lga0 则 x 2 与定义域 x 0 1 矛盾 2 x a 2 a 只有 a 1 此时 lga 0 0 x 2 10 时 f x 0 即 f x 在 0 上是递减函数 2 1 x x 又当 x 0 时 f 0 0 f x f 0 即0 时 g x O g x 也为减函数 又当 x 0 时 g x 0 g x g 0 ln 1 x x 0 即 ln 1 x x ln 1 1 x xx x 例 7 右图是函数 y x3 x2 5x 5 的图象 试结合 图形说明函数的极值情况 解析 f x 3x2 2x 5 3x 5 x 1 令 f x 0 得 x1 x2 1 3 5 x 和 x 1 是 f x 可能的极值点 3 5 又由图象可以看出 f 比它临近点的函数值大 f 1 比它临近点的函数 3 5 值要小 f f 1 分别是函数的极大值和极小值 除此之外 没有其它极值 3 5 点 例 8 设函数 f x ax3 bx2 cx 在 x 1 与 x 1 处有极值 且 f 1 1 求 f x 表达式 解析 f x ax3 bx2 cx f x 3ax2 2bx c x 由已加 f x 在 x 一 1 与 x 1 时有极值 f 1 f 1 0 又 f 1 1 解得 a b 0 c 320 320 1 abc abc abc 2 1 2 3 f x x3 x 2 1 2 3 例 9 已知 f x x2 c 且 g x f f x f x2 1 设 x g x f x 问 是否 存在实数 使 x 在 1 上是减函数 并且在 1 0 上是增函数 解析 由 f f x f x2 1 得 x2 c 2 c x2 1 2 1 得 c 1 x g x f x x4 2 x2 2 是连续函数 x 2x 2x2 2 由 x 在 1 上是减函数 且在 1 0 上是增函数 x x 1 1 0 4 即存在实数 4 使 x 满足条件 说明 本题若用函数单调性定义太繁 6 函数的最大值和最小值 函数的最大值和最小值 例 1 求函数 f x 5x 2的值域 34xx 解析 由得 f x 的定义域为 3 x 4 原问题转化为求 f x 在区 30 40 x x 间 3 4 上的最值问题 y f x 11 5 32 4xx 在 3 4 上 f x 0 恒成立 f x 在 3 4 上单调递增 当 x 3 时 ymin 15 当 x 4 时 ymax 20 2 77 函数的值域为 15 20 2 77 例 2 设 af a f 1 0 f x 的最大值为 f 0 b 1 2 3 又 f 1 f a a3 3a 2 a 1 2 a 0 2 1 2 1 f x min f 1 a 1 b a a b 1 2 3 2 36 2 6 3 例 3 若函数 f x 在 0 a 上单调递增且可导 f x 0 f x 0 f x x f x 0 0 在 0 a 上是增函数 2 f xfxxf x xx f x x 在 0 a 上最大值为 f x x f a a 例 4 设 g y 1 x2 4 xy3 y4在 y 1 0 上最大值为 f x x R 求 f x 表达式 求 f x 最大值 解析 g y 4y2 y 3x y 1 0 当 x 0 时 g y 0 g y