三角形内接正方形的一个关系式及其应用.doc

三角形内接正方形的一个关系式及其应用-权威资料 本文档格式为WORD,若不是word文档,则说明不是原文档。 最新最全的 学术论文 期刊文献 年终总结 年终报告 工作总结 个人总结 述职报告 实习报告 单位总结 如果正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形称为此三角形的内接正方形.关于三角形的内接正方形问题，有一个应用广泛的关系式： 若三角形的一边长为a，这边上的高为h，则立在这边上的内接正方形的边长为aha+h. 证明 如图1，设ABC的内接正方形边长为x，BC=a，AD=h，则因为ORBC，所以AORABC，所以ORBC=AFAD，即xa=h-xh，所以x=aha+h.这一关系式即为北师大版义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第147页的例题. 利用这个关系式，可以解答三角形的内接正方形的有关问题，现以部分竞赛题为例说明如下. 例1 （1991年全国初中数学联赛试题）如图1，正方形OPQR内接于ABC，已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是S1=1、S2=3和S3=1，那么，正方形OPQR的边长是（ ） A.2 B.3 C.2 D.3 解 作 ADBC于D，交OR于F，设正方形OPQR的边长为x，则1=S1=12xAF，从而有AF=2x，同理可得BP=6x，QC=2x，于是BC=x+8x，AD=x+2x.所以由上述关系式得x=（x+8x）（x+2x）x+8x+x+2x，化简整理得x4=16，因为x为正，所以x=2，故选C. 点评 本题通过设内接正方形的边长为x，先利用三角形的面积公式，求得AF、BP、QC用x表示的分式，再运用三角形内接正方形的关系式列出一个分式方程，最后求得x，由于运用代数方法解决了几何问题，因而数形结合，问题也由繁变简了. 例2 （第五届美国数学邀请赛试题）如图2，ABC（C=Rt）的两个内接正方形DFCE、PQMN的面积分别是S1=441、S2=440，求AC+BC的值. 解 令BC=a，AC=b，AB=C，斜边上的高为h，则由上述关系式得S1=aba+b，S2=chc+h.注意到ab=ch，a2+b2=c2，即有S1=c2h2c2+2ch，而有c2+2ch=c2h2S1，于是S2=c2h2c2+2ch+h2=c2h2c2h2S1+h2=c2S1c2+S1，由此解得c2=S1S2S1-S2. 再注意到ad=S1（a+b），即有c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=（a+b）2-2S1（a+b），从而有c2+S1=（a+b-S1）2， 于是S1S2S1-S2+S1=（a+b-S1）2， 由此可解得ab=S1+S1S1-S2. 将S1=441，S2=440代入上式即得a+b=462，即AC+BC的值为462. 点评 本题比较复杂，如用常规方法求解，将很困难.然而两次运用了三角形内接正方形的关系式，结合三角形面积化简轻松求得结果.本题又是一道代数与几何融为一体的综合题，解题关键是通过数形结合方法直观解题，因而有明显的选拔功能和考查功能. 例3 （1986年美国第四届数学邀请赛试题）证明边长为2的正方形必不能被三边分别为3、4、5的三角形所覆盖. 证明 令ABC的边AC=3，BC=4，AB=5，则ACB=Rt，如图3可知，正方形DECF为内接于RtABC的最大正方形，设CE=x，由上述关系式得 x=343+4=127.因为1272，所以边长为2的正方形必不能被三边分别为3、4、5的三角形所覆盖. 点评 本题设计比较新颖，难度不太大，只要运用三角形内接正方形的关系式求得正方形边长127，再通过与已知正方形边长2比较就可以了. 例4 如图4，在锐角ABC中内接一正方形PQMN，试证明这正方形的面积不超过三角形ABC面积之半，（1978年广东省中学生数学竞赛题）. 证明 设ABC的底边BC=a，高AD=h，正方形边长为x，由三角形的内接正方形的关系式得xa+xh=1. 又SPQMN=x2，即xaxh=SPQMNah 所以由、知xa、xh是方程z2-z+SPQMNah=0的两个实数根. 所以0，即（-1）2-41SQPMNah0. 从而得SPQMNah4=12.12ah=12SABC， 即SPQMN12SABC. 点评 本题是一道几何与韦达定理，一元二次方程根的判别式构成的综合题.解题关键是先利用三角形内接正方形的关系式求得x=aha+h推出xa+xh=1，再由SPQMN=x2推出xaxh=SPQMNah，然后利用韦达定理的逆定理，利用、构造出一元二次方程z2-z+SPQMNah=0，最后应用根的判别式0得证，这种解题主法充分体现了构造法解题的科学性，符合新课程的理念要求，利于激发学生的学习数学的积极性，利于培养学生的创新和探索精神. 例5 如图5，正方形EFGH内接于ABC，设BC=ab（这是一个两位数），EF=C，三角形的高AD=d，已知a，b，c，d恰好是从小到大的四个连续正整数，试求ABC的面积，（1997年安徽省部分地区初中数学竞赛题） 解 由上述关系式得 1d+ 1 ab=1c，依题意有b=a+1，c=a+2，d=a+3， 则ab=10a+b=11a+1，所以1a+3+111a+1=1a+2.化简得（a-3）2=4， 所以a-3=2，a1=1，a2=5.当a=1时，SABC=12abd=12124=24； 当a=5时，SABC=12abd=12568=224. 点评 本题是一道几何与代数相结合的综合题，解题关键是先利用关系式写出1d+1ab=1c再结合b=a+1，c=a+2，d=a+3，通过化简变形求得a的值，最后求得SABC.这是一道创新的竞赛题，由于数形结合，因而符合新课程改革的理念要求. 综上所述可知，应用本文中的关系式解竞赛问题，其关键在于要从问题的实际出发，根据题设去灵活运用，通过教学实践，笔者认为，注意对学生进行课本内容的探 究应用的研究，有利于培养学生的思维品质，有利于调动学生学习的积极性，有利于提高学生的专题总结水平，有利于融会贯通所学过的几何代数知识，有利于培养学生研究数学的兴趣，有利于提高教与学的质量. 阅读相关文档:140例口腔颌面部恶性肿瘤临床病理分析 国内职教动态信息若干则 厄贝沙坦氢氯噻嗪治疗原发性高血压疗效观察 颅脑外伤术后应激性溃疡护理研究 结合Illustrator教学实例探讨直接教学模式 中职项目Access数据库的有效教学实践 藏药涂抹药的应用前景研究 白内障术前术后护理体会 数控系统数据备份与恢复单元教学设计案例研究 50例脑梗塞并肺部感染致气道阻塞病人的护理体会 电视节目低俗化的深层反思 截瘫患者临床护理体会 1例骨盆肿瘤切除及人工骨盆重建术的护理体会 浅谈