06 第六节 定积分的几何应用.doc

第六节 定积分的几何应用分布图示 面积表为定积分的步骤 定积分的微元法 直角坐标情形 例1 例2 例3 例4 参数方程情形 例5 极坐标情形 例6 例7 例8 圆锥 圆柱 旋转体 旋转体的体积 例9 例 10 例 11 例 12 例 13 平行截面面积为已知的立体的体积 例 14 例 15 内容小结 课堂练习 习题5-6 内容要点： 一、 微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式. 可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量（总量）表示为定积分的方法微元法，这个方法的主要步骤如下： (1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元 ； (2) 由微元写出积分 根据写出表示总量的定积分微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点： (1) 所求总量关于区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间, 则相应地分成许多部分量, 而等于所有部分量之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的; (2) 使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式，即使得. 在通常情况下，要检验是否为的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 所求曲边扇形的面积 三、 旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 所求旋转体的体积 四 、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 所求立体的体积 例题选讲： 直角坐标系下平面图形的面积例1（E01）求由和所围成的图形的面积.解 面积微元: 所求面积: 例2（E02）求由抛物线与直线所围成的面积.解 如图, 并由方程组解得它们的交点为选为积分变量, 则的变化范围是任取其上的一个区间微元则可得到相应面积微元从而所求面积例3（E03）求由和所围成的图形的面积.解 面积微元:所求面积: 例4 计算由曲线和所围成的图形的面积.解 面积微元: (1) (2) 所求面积:例5求椭圆所围成的面积.解 椭圆面积: 面积微元: 例6（E04）求双纽线所围平面图形的面积.解 面积微元:所求面积:例7（E05）求心形线所围平面图形的面积解 面积微元:所求面积:例8 求出和的图形的公共部分的面积（其中）.解 如图(见系统演示)，由对称性可知，所求面积为阴影部分面积的8倍，且线段在直线上. 令代入方程得其极坐标方程为于是所求面积可表示为例9（E06）连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形. 将它绕轴旋转构成一个底半径为高为的圆锥体, 计算圆锥体的体积.解 体积微元:所求体积:例10（E07）计算由椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解 如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆及轴所围成的图形绕轴旋转而成的立体 .取为自变量，其变化区间为任取其上一区间微元相应于该区间微元的小薄片的体积，近似等于底半径为高为的扁圆柱体的体积，即体积微元故所求旋转椭球体的体积为特别地，当时，可得半径为的球体的体积例11求星行线绕轴旋构成旋转体的体积.解 体积微元 :所求体积:例12计算由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.解 体积微元:所求体积:例13（E08）求由曲线 所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.解 画出草图,并由方程组解得交点为及于是,所求绕轴旋转而成的旋转体的体积所求绕轴旋转而成的旋转体的体积例14（E09）一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图5-6-18），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解 截面面积:体积微元: 所求体积:例15 求以半径为的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积.解 取底圆所在的平面为平面，圆心为原点,并使轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程为 过轴上的点作垂直于轴的平面,截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为于是所求正劈锥体的体积为即正劈锥体的体