2014年高考立体几何(解析版).doc

2014年高考真题立体几何汇编解析版16（2014江苏）(本小题满分14 分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点已知（1）求证：直线PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.（1）为中点 DEPA平面DEF，DE平面DEF PA平面DEF（2）为中点 为中点 ，DEEF， DE平面ABCDE平面BDE， 平面BDE平面ABC17.（2014山东）（本小题满分12分） 如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，是线段的中点. （I）求证：； （II）若垂直于平面且，求 平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.解：（）连接为四棱柱， 又为的中点，,为平行四边形又 （）方法一： 作,连接则即为所求二面角在中， 在中，, 方法二：作于点以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，设平面的法向量为 显然平面的法向量为显然二面角为锐角，所以平面和平面所成角的余弦值为18三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。（1）证明：为线段的中点；（2）求二面角的余弦值。解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：平面平面，设为的中点，连接， 于是， 所以平面因为，分别为线段，的中点，所以，又，故假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线从而平面，这与矛盾所以为线段的中点（2）以为坐标原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系，则，于是，设平面和平面的法向量分别为和由，设，则由，设，则所以二面角的余弦值17.（本小题满分12分）在平行四边形中，.将沿折起，使得平面平面，如图.（1） 求证：；（2） 若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.（17）（2014天津）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点.（）证明 ；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.（17）本小题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、直线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 满分13分.依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，.由为棱的中点，得.（）证明：向量，故. 所以，.（）解：向量，.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为.（）解：向量，.由点在棱上，设，.故.由，得，因此，解得.即.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.取平面的法向量，则.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.19 （2014湖南）（本小题满分12分）如图6，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形（I） 证明：（II） 若的余弦值19、（本小题满分12份）解：（I）如图（a），因为四边形为矩形，所以.同理。因为，所以。而，因此底面ABCD。由题设知，。故底面ABCD。（）解法I如图（a），过作于H，连接.由（I）知，底面ABCD，所以底面，于是.又因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形是菱形，因此，从而，所以，于是，进而。故是二面角的平面角。不妨设AB=2。因为，所以，。在中，易知。而，于是。故。即二面角的余弦值为。解法2 因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此。又底面ABCD，从而OB，OC, 两两垂直。如图（b），以O为坐标原点，OB,OC, 所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。不妨设AB=2.因为，所以，于是相关各点的坐标为：O(0，0，0)，.易知，是平面的一个法向量。设是平面的一个法向量，则即取，则，所以。设二面角的大小为，易知是锐角，于是。故二面角的余弦值为18（2014广东）（本小题满分13分）如图4，四边形为正方形，平面，于点，交于点.（1）证明：ABCDEFP（2）求二面角的余弦值。18.（）平面，又，平面，又，平面，即；（）设，则中，又，ABCDEFPxyz，由（）知，又，同理，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，又，所以，令，得，由（）知平面的一个法向量，设二面角的平面角为，可知为锐角，即所求20（2014安徽）(本题满分13分)如图，四棱柱中，底面.四边形为梯形，,且.过三点的平面记为，与的交点为。（）证明：为的中点；（）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；（）若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小。20（本小题满分13分） （）证：从而平面与这两个平面的交线相互平行，即故与的对应边相互平行，于是，即为的中点。（）解：如图，连接QA，QD。设，梯形ABCD的高为， 四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和， ，则。 ，图1 又， 故（）解法1：如图1，在中，作，垂足为E，连接 又，且 ，为平面和平面ABCD所成二面角的平面角。， 又梯形ABCD的面积为6，DC=2，于是，,故平面和底面ABCD所成二面角的大小为。解法2：如图2，以D为原点，分别为轴和轴正方向，建立空间直角坐标系。设因为，所以，从而，设平面的法向量为由得所以又平面ABCD的法向量所以故平面和底面ABCD所成二面角的大小为。17.（2014北京）（本小题14分） 如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥 中，为棱的中点，平面与棱分别交于点. （1）求证：； （2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并 求线段的长.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以。又因为平面PDE，所以平面PDE，因为平面ABF，且平面平面，所以。（）因为底面ABCDE,所以，.如图建立空间直角坐标系，则，, .设平面ABF的法向量为，则即令，则。所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,则。设点H的坐标为。因为点H在棱PC上，所以可设，即。所以。因为是平面ABF的法向量，所以，即。解得，所以点H的坐标为。所以19、（2014上海）（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积.19.解：由题得，三棱锥是正三棱锥侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形由题得，又三点恰好在构成的的三条边上，三棱锥是边长为2的正四面体如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于为中点，为的重心，底面，19（2014湖北）(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（1） 当时，证明：直线平面;（2） 是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19（2014江西）(本小题满分12分)如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.（1） 求证：（2） 若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.19. （2014辽宁）（本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，E、F分别为AC、DC的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.17. （2014陕西）（本小题满分12分）四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点.（I）证明：四