孙宝中高中数学教学案例.doc

高中数学教学案例向量的减法运算淮阴区南陈集中学 孙宝中1教材分析本课选自普通高中课程标准实验教科书数学（苏教版）必修4第二章平面向量在引入向量的加法后，本课对向量的减法进行研究本章教材的定位在于：“数学地研究一种具有丰富的几何背景与物理背景的近代数学模型；学生通过本章的学习，经历向量模型的建构以及用向量方法解决某些简单的实际问题的过程，体会数学研究的一般方法和数学发生发展的特点，感悟向量是一种处理几何、物理等问题的有效工具，发展学生的运算能力和解决实际问题的能力”因此，本章的教学要始终围绕“展示对向量进行数学研究的过程”，即，建构刻画“既要考虑大小，又要考虑方向”的量的数学模型的（思维）过程与实数、函数等类似，本章是对另一种数学模型的研究因此，教材仍按照数学模型研究的一般程序，即，“建构模型研究模型应用模型”的顺序而展开这样不仅符合向量知识的发展过程，突出了数学的来龙去脉，而且可以唤起学生在实数、函数等章节的学习中获得的经验，有助于发挥学生在学习中的主动性，形成对数学完整的认识向量这一数学模型有它的特点向量既是代数的对象，又是几何的对象作为代数对象，向量象实数一样可以运算作为几何对象，向量可以刻画直线、平面以及夹角、长度、面积等几何对象向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，也就是说，向量集数形于一身，是数学中数形结合思想的典型体现因此，“向量的运算”自然地成为本章的教学重点，同时也是教学难点运算是向量的核心内容，也是学生不容易掌握的内容作为代数对象，向量可以用一个“符号”表示；作为几何对象，向量可以用有向线段表示在学习了向量基本定理以后，还可以用坐标来表示向量的每一种表示方法，都建立了一种语言从而，向量的运算也可以用不同的语言来表示这对于学生来说是一种全新的体验，理解上有一个突破从数学发展的历程来说，也是运算的一次飞跃因此，如何让学生根据已有经验并结合现实的原型，“自觉地构造”新的运算，重复一遍，“自觉地构造”！是教学成败的关键因此，本课的核心在于“向量减法”的意义建构 教学目标：（1）由实数的减法类比建构向量的减法；（2）不同语系中，向量减法的表示；（3）简单运用；（4）感知数学生长和发展的规律，感受人类思维和智慧的魅力。教学重点和难点：向量减法的意义建构2 教学过程2. 1 情境与问题S11：回顾 师：35 = 8 ，如果问“3加几等于8”，是什么问题？ 生：做减法83师：（板书） ？= 83 3？= 8，这里符号“”表示“定义”，或“其意义是”，或“换言之”（从具体的实数减法开始）师：用字母表示数，怎样写出实数减法的意义？生：（板演） x = ab bx = a。（抽象的实数减法的意义）师：注意实数的加法满足交换律，所以上式完整的书写应是：（板书）x = ab bx = a，或 x = ab xb = a。S12：问题师：我们已经学习了向量的加法，如果作一类比 ，怎样给出向量减法的意义？2. 2 向量减法的意义建构S21：类比，建构向量减法的“代数表示”生：（板演）b + x = a x = a - b（向量减法的意义）师：很好，但反过来写似乎更好（板书）x = a - b b + x = a（1）有无不同写法？生：（板演）x = a - b x + b = a（2）师：太好了，这是因为向量的加法满足交换律还有不同写法吗？生：师：有没有听说过实数的减法转化为实数加法的说法？生：减去一个数等于加上这个数的相反数师：如果也作一类比，向量式怎样写？生：x = a - b x = a + (-b)（3）师：（1）（2）（3）中哪一个作为定义呢？看看书怎么编写的？生：（1）作为向量减法的定义师：那么（2）（3）应当由（1）推出，这个推出的任务留给大家好吗？（课本有此内容，留作看书）S22：作图，建构向量减法的“几何表示”图1ab师：我们已经学习了向量加法的作图法“三角形法则”，其背景源于物理学中的“合位移”，通俗地说，“三角形法则”就是“接龙术”：一个向量“接着”另一个向量，于是生成新的向量既然向量的减法由向量的加法而来，那么，自然地就有下面的问题：“已知向量a, b（图1），怎样作出差向量a - b？”（即课本P62，例1），请大家思考几分钟准备板演 （这里向量差由代数形式转入几何形式的变化，其实是向量差从“形式建构”转入“意义建构”的本质探索） 生：（1）a - b = x a + (-b) = x（在a后“接着”(-b)就是x，图2（1）生：（2）x = a - b b + x = a（在b后“接着”x就是a，图2（2）生：（3）先作(-a)，再作(-a) + b，再作a - b，如图2（3）所示生：（4）a - b = x x + b = a（在x后“接着”b就是a，图（4）abxa-bxb-ax abx（1） （2） （3） （4）图2师：同学们作得实在太好了，我来简要点评一下首先，图（1）（3）差不多一致，但图（3）多了一步作“(-a) + b”，大家可知道她心里是怎么想的？要善解人意哟！其次，四张图都不同，但又都相同，其本质是同一张图，即向量加法的“基本三角形”，注意，有没有可能作不出三角形？最后，请大家组织一下词句，以文字语言来叙述每一种作法，并形成法则（下略）2. 3 “一即多”的“映射”练习aBbCDAcO图3例（课本P62，例2）如图3，平行四边形ABCD， = a， = b， = c，证明：b + c - a = 生：（1）如图4，b + c = （OCB）， + a = （OAB）生：（2）如图5，b + c + (-a) = (b + ) + c = + c（CDA）= （共线情形）生：（3）如图6，(b + c) - = - （DAO）= = a（OAB）图4图5OOABBbcaCbDCADAOOAB图6-abc生：（4）如图7，(b - ) + (c - a) = + = 0（DAO，OCD）生：（5）如图8，b + c = （DAO）， - a = - a = （OAB）图7图8图9DAODCObacDAOOABbcaOOABBbcaC生：（6）如图9，b + c = （OCB）， - a = （OAB）生：（7）b - a = （DCA，图5）， + c = + = = （共线情形）生：（8）c - a = c + (-a) = ，师：太好了！还有多少方案呢？可惜时间不允许我们继续，“喜笑怒骂皆成文”，不过大家注意到没有，所有这些方法的背后却有着一个共同的核心“基本三角形”，我们每一次找到“三角形”的感觉，哪简直就是找到了“回家”的感觉！仅此一招，除了识别与操作“基本三角形”，别无它招！“一即多”，“One is all”是之也2. 4 小结、布置作业今天学会了什么？会学了什么？课后请认真看书。思考：今天学习的数学是它自己长成的？还是我们发现的？发明的？课外作业：课本P63，练习No5，6；P66，习题9. 2，No43 反思与启示教育就是帮助您发现您身上存在的、但您未必意识到并完全运用的能力、才智和力量使您能过上一种更有活力和创造力的满意生活（人文主义）信任：教师要相信每个学生都能以自己的方式学好，否则，唯恐学生误入歧途，就容易填鸭式灌输真诚：教师是一个真诚的人，尊重学生，珍视学生，不把自己的感情强加给学生，与学生在感情上和思想上产生共鸣， 感受学生在接触新问题时的畏惧和踌躇，体验学生在解决问题时的成功和快活，理解学生偶尔的淡漠、探索的渴望和坚持不懈的辛劳移情：通过适当的媒介和渠道，把自己的感情因素转移到学生身上，有力地增添课堂气氛（人文主义）教学目标的多维度更多体现在围绕教学核心，引导和组织学生进行深度的活动这种引