详解：2013年上海市新知杯试题.doc

详解：2013年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题（考试时间：2013年12月8日9：00-11：00 满分150分）大罕(王方汉)一、填空题：（每题10分）1.已知,，则= .分析：结果式子是对称式，因此需要计算两数之和与两数之积+=，=，=.ABCDEFGHLJm1KIm2m3m4l1l 2l 3l 42.已知直线，直线，则 .分析：用割补法，把EHGF四条“边”上的三角形移到ABCD四个“角”上，它们的面积相等 =，=，=，=，2+=120，60.3.已知A90 ，AB=6，AC=8，E,F在AB上，且AE=2，BF=3，过E作AC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC的延长线于G，则GF= .ABCDEFG分析：GF在直角三角形AFG中，AF的长已知，关键是求AG图中有平行线，所以要用到平行线截得成比例线段定理解：在ABC中， ，=，而AC=8，,在AFG中， ，=，而，.在RtAFG中，=.4. 已知凸五边形的边长为,，为二次三项式，当或者x=+时，当时，当时，则= .分析： 为二次三项式，二次函数的图像是一条抛物线，,是（凸）五边形的边长，不妨把这条抛物线画成开口向上的，如图不妨设+，依题有：+（=5是没有作用的），这说明抛物线的对称轴是直线：,又，a1a2+a3+a4+a5x=(a1+a2+a3+a4+a5)/2xOyp(q)在x轴上，点与点是关于对称轴对称的两点，即，=05. 已知一个三位数是35的倍数，且各个数位上的数字之和为15，则这个三位数是 .分析：数字之和为15，这说明该三位数一定是3的倍数，又因为该数是35的位数，所以它一定是105的倍数，经检验735是唯一解6. 已知关于x的一元二次方程对于任意实数a都有实数根，则m的取值范围是 .分析:原方程对于任意实数a都有实数根即对于任意实数a都成立，注意到要求的是m的取值范围，而右边有最小值0，故只须，7. 已知四边形ABCD的面积为2013，E为AD上一点，BCE,ABE,CDE的重心分别是G1,G2,G3，那么G1G2G3的面积为分析：三角形三条中线的交点称为重心重心的基本性质是：重心到一边中点的连线长等于所在中线的据此，过点G1作BC的平行线，交BA于M，G1是BCE的重心，BM=BA，过点G2作BC的平行线，交BA于N，G2是ABE的重心，NA=BA，过点G2作BA的平行线，交AD于P，G2是ABE的重心，AP=AE，过点G3作BA的平行线，交AD于Q，G2是CDE的重心，DQ=DE，而G1G2G3的G2G3边上的高=,ABCDG3G2G1ABCDG3G2G1EEMNPQG1G2G3的面积=四边形ABCD的面积=.8.直角三角形斜边AB上的高CD=3，延长DC到P，使得CP=2，过B作BFAP，交CD于E，交AP于F，则DE= .ABCDEFP分析：本题涉及到直角三角形斜边上的高，就要考虑射影定理，即，直角边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；本题涉及到两个角的两边分别垂直，就要考虑到这两个角相等；既然有角相等，就要考虑相似三角形DBE=P，DBE =PAD，ADPEDB，二、解答题：（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）9已知BAC=90，四边形ADEF是正方形且边长为1，求+的最大值分析：本题需从结论入手，如果按常规通分，那是死路一条于是考虑用特殊变形注意到正方形边长为1，即DE=EF=1，代入到前两项的分子中，就成为比例式不妨一试：+=+=+=1+，因此，欲求+的最大值只需求BC的最小值而=这里需要用基本不等式和()吗？ABCDEF试一试：(等号当且仅当取得)，(等号当且仅当取得)，等号取得的条件是一致的！只需要证实是常数即可考查含有和的两个三角形，即BDE和EFC，它们是相似的！于是，BDEEFC，+=8， ，当且仅当时等号成立，此时+，+的最大值是10.已知是不为0的实数,求解方程组: 分析：可考虑两式相减，得：，似乎越走越远可考虑两式直接相乘，仍然得不到有益结果将两式化成如下形式： 再将两式相乘，得，注意到，立即可得：，代入（1）得：，这是很漂亮的结果！乘胜前进：由可得，或11已知，,为整数且+=2013，求的最小值分析：既然且,为整数，那么我们就从试起，没有发现适合的当时，取=-1,=1,，则有 +=-1+(-1)+1+1+2013=2013, =（-1）(-1) 112013=2013,以下证明时没有适合条件的不妨设,分两种情况：当,均为正整数时：由=2013知，,均为2013的正约数，注意到2013=31161，欲+=2013且，则671，所以=671或2013，经验算，n=2,3,4均不可能；当,中有负整数时：由=2013且可知，其中有且只有两个负数，即0若n=4时，且= 2013，则2013=+=+2013，所以= -(+)这时2013的正约数是另外两个负约数的和的绝对值，经检验是不可能的；若n=4，且2013，即0671，则无法使得+=2013成立；若，则由0和+=2013知，2013，这时2013的正约数是另外两个负约数的和的绝对值，经检验是不可能的；若，由0知+02013，也是不合要求的综上可知，的最小值为512已知