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文档简介

第一章 函数、极限、连续1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1. 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2. 在(a,b)内，若，则单调增加若，则单调减少口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负例1 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数。于是。例2 设，则下列结论正确的是(A)若为奇函数，则为偶函数。(B)若为偶函数，则为奇函数。(C)若为周期函数，则为周期函数。(D)若为单调函数，则为单调函数。解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。证明 为奇函数，所以，为偶函数。例3 设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是(A) (B)(C) (D)解 ，单调减少于是xn+12，n+1=3, n=2 选(B)例3 设，则当x0时， 是的 ( )(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小解 选(C)二、有关两个准则准则1 单调有界数列极限一定存在。准则2 夹逼定理。例1 设，证明存在，并求其值。解 我， (几何平均值算术平均值) 用数学归纳法可知n1时， 有界。又当n1时， ，则单调增加。根据准则1，存在把两边取极限，得 (舍去) 得 ， 。口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。例2 求。解 令，则0xn0,b0常数，求解 先考虑它是“”型。令 令型=因此， 于是， 。口诀(8) 离散数列“洛必达”；先要转化连续型。五、求分段函数的极限例 求。解 口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。六 用导数定义求极限例 设曲线与在原点相切，求解 由题设可知， 于是 七 用定积分定义求极限公式： (连续)例1 求。分析 如果还想用夹逼定理中方法来考虑而， 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。解 =例2 求。解 而 由夹逼定理可知， 口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。八、求极限的反问题例1 设，求a和b.解 由题设可知，1+a+b=0再对极限用洛必达法则 例2、 设在(0，+)内可导， 0， 且满足，求解： 先用冪指函数处理方法再用导数定义 取， 于是这样 所以 再由，可知C=1，则1.3 连续一、连续与间断例1 设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为(A) (B)(C) (D)解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立 可用反证法：假若不然没有间断点，那么为两个连续函数乘积，一定连续故矛盾，所以一定有间断点例2 求的间断点，并判别其类型。解 ，考虑 可见为间断点,是可去间断点，其它皆为第二类间断点。二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论）例1 设在上连续，且，证明存在，使得证 令，则在上连续， ，根据介值定理推论，存在使，即证。例2 设在上连续，且，求
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