分形及渗流理论在材料科学中的应用

分形及渗流理论在材料科学中的应用 1990年联赶学学掇(理工版)l9钳第7卷，第l2期lournl ofShenzhen Unlvrslty(SclenceEaglneerlng)Yo17，No12I新学科介龆1分形及渗流理论在材料科学中的应用王建国应用化学象)摘囊拳文介绍了研究无蝇凝浆体系的重鲁理论工具一分形厦淳液理论的基毒辣理，并举例分析评述7分开j置渗沆在材料科学中的盅用关锫词分形，渗漉，复合材料1导言材料科学是建立在自然科学基础土f综台刷科学按照公认的分燕力法，通常特材料分成盒堀材料、高分子材斟与无机非材械这些材料曲微结构而吉出于金属品格和岛分功能-闭的组成特证致使其I周期j有序性这种周期性与有序性惜给研究工作带来很k使利；郴对而青，具有无觎无序龇壤体徽结构特征的无机非金属材料的研究通砖则较为困难材料P学鞠基率任务社是要建材料微结构与性能曲关系，于是有必要发展新的理论研究工具米描述无规无序凝聚体，五年来关于无序系统与无规凝聚过程及行为”l。 研究己成为现代凝聚态物理学的一地点课题【基础理论或应用基础研究的作用在于为来来发展提供技术储备而理皓r扣突破琅决于新构思与新概念的形成，嗣l表明了现有技术与未来技术发展及新思想、新概念的重要作用对于规凝聚津暴而青，形硬渗流就这样曲新概念2分形原理及其应用21分形愿理几何学的研究对象是物体的形状自然界的物体形状是极不规则的，如曲折舶河流与海岸线，起伏不奉戈乎l的年1月i5日收到图1新概念肋重要意义第l2期王建日形捷渗巍理论在材料科学巾的应丹l8平的山脉，变幻无常的浮云，这些物悻的共同特点是极不规则、极不光滑雨经典几何学剧是以光滑的或规则的几何形状为其研究对象，这反映了人类在认识的初级阶段对自然物体的一种近似的认识或对自然物体中规则部分的一种抽象以经典几何学为基础进行描述的几何对象都具有整数维数零维的点；一维的线二维的面三维的体许多情况下这样做并不妨碍我们得出非常符合实际的宅，但隧着人类认识的逐步发展与科学技术的进步，这种把不规则物体形状加以规则化然詹进行处理的方法已不能满足需求，于是在70年代中期出观了分数维几何学(fractal geometry)在分数维几何学中物体的维教可以不是整数分数维数最早可以追溯到本世纪初的大数学家fhausd。 小但近十几年来分数维几何学的发展及广泛应用主要归功于数学家BBMandelbrot的不懈努力为了定义分数维数，需讨论”特征尺室与无标虚性的概念特征长度、特征时间等特征尺度概念依赖于所描述的物体或过程，饲如描述星球何的匪离要甩光年，描述地球上的距离要用米或公里，而描述原子问距要用埃，这是因为不同尺度上的物理规律可艟不一样，即描述各种现象的物理规律强烈地依赖于体系的特箍长度许多物理学规律实际上只是特定尺度层次上的规律，但是实际上还存在另一些现象，它们是由各种不同特征尺度层次上体系特征共同作用下产生的，或者这些现象所依赖的特征尺度范围特别广，以致可以称为“无标度现象”，这种性质就称为无标度性”，无标度性常常带来研究上韵极大困难，例如物理学中的护变与湍流就是两个著名的例子无标发性在物体形状中的表现就是所谓自相似曲线(selfsmilar curve)如图2所示蓿将其中的构造过程无限度进行可知A、B两点阔距离将趋于无穷，此对若用不同的尺度来观察该睦线，看到的图形将相同(图3)这就是元标度性，或称白干似性下面给出分数维曲线曲分数维鼗约定义设某分维内线的生成线是由N条等长直线接成莳折线段，若生成绂两淌距离与迷些直线段曲长度之比为1r，刚遮条舟维曲线扮维数D(区别于拓朴维数DT)D=igNflg (1)_乜泼式可知图2中绘出曲线的分维D=15设想有一张绘制得十分精确的海岸线地图，如用耐脚规来测量海岸线长度，所得长度与步数11及每步步长r关，如果设曲线满足自相似性，则澳I得的长度将随r的无限减少而趋于无穷大，面测量步数n。 c，即prnr=kr一式中k为常数，d即海岸线的分维维数圜2分形曲线的生代过职箨圳大学学搬(理工脏】990立=mt显撒链放大倍数固3不同放大倍数时物体的自相似性测定的总长度、总面积或总体积随着基本量测单元的减少而趋于无穷大的特性为许多实际物系所具备，如超细粒聚集体，各种凝聚物系的表面，山脉外形大气湍流晶体表面，催化剂结构等重要应用领域由上述分析可知，分维d是以指数形式出现在指数函数中的，即它是物系物理性质在相当宽的特征尺度范围内，以非线性(指数)变化规律的速率表达，类似于函数的导数，我们完全可以想象选种变化速率正是物系曲本质特征，深刻地反映了物系的显微结构分形结构通常有三类；确定形分形，即通过生成元素进行无限次构造生成的几何形体；统计分形即用统汁力学公式表达元素集合集团的结掏形成的分形不规则分形，介于之问，不完全符合自相似性的高度无规几何体22分形原理在材料研究中的应用长期以来，在对具有无定形显微结构特在的非品材料或其它的复杂物系的研究中，如何确定物系物理性质的表现参数常常成为一个困难的问题，在对金属、高分子等具有内部周期重复微结构材料的研究中，通常的研究思路是采用先进的分析仪器或其它手段对材料的某区域结构进行透彻的分析，然后从得到的局部微结构性能来推冽作用机理与解释物系的整体性质，这种方法是以无数个局部的简单加台就是整体的假设为前提的，而该前提又须建立在微观物系性质的线性变化关系之上，但这只是一种近似实际上过多的理论简化与特定的实验条件的影响常使所研究的局部难以代表整体中的局部，而众多的局部性质可能以复杂的组台方式(如非线性)影响整体性匝，这样通过局部的研究对整体外推就难免出现偏差所以有必要用系统的观点，从综合的角度建立物性参数来把握材料微结构的整体特征与宏现物性的关系，而分形结掏的分数维数正是这样的物理量，从本质上看分维正是物系性质的无标度性(或称标度不变性)的几何特征这正是分维在无规与无序体系的性质描述中得到广泛应用的原因221分维在粉体表面开j貌厦表面姐糙度分析中应用细颗粒表面形貌和粗糙表面的粗糙度与表面形成过程密切相关，并对颗粒的物性影响很大例如烟尘颗粒在不同形成条件下生或的表面形貌将产生不同的聚集性质，从而影响除尘的效果对在流体中运动的颗粒，不商裘面形貌将产生不同的挟液(气)量从而具有不同的运动性能表面粗糙度对物体曲麝削能光反射性能及外观等影响更为人们所熟知，此外颗粒的聚集体的流动性质、表断眨活性都受到表面形貌的影响分数维数作为一个表面粗糙度指标，已得到广泛应用，图4表明不吲葭面粗糙度对应的分数维数图5是第l2期王建国务jj及渗流理论在橱栉学i p的应用采用变步长行走测颗粒周长法得到表面分维的示意图作者曾用该法测定了微细颗粒的扫描电镜(sem)显微照片的轮廓蹦的分数维数并得到了有意义的结果厂圈4作为粗缱度指数的分维胃蓝5变步长行走往分绽步睦222分彤在材料断裂分析中的压在材料的力学性质及断裂行为研究中，断口分析历来是一个重要的研究方法，大多数材料的断口均呈现一种高度不规则几何形貌，由于缺乏定量的方法来描述断口特征过去大都集庸定性的方法，诸如研究断口表观面积等对=f断口形貌也只能大致区分为脆性，韧性或问于其中的混合形式按照分形原理分析，断裂过程中从特征尺度为埃的原子问键结合到特征尺度为厘米的宏观结构单元问的结合均被破坏，标度范围约达8个数量级，所以断裂过程为典型的无标度性现象，实际上人们早就发现材料中裂纹的扩展是呈z字形的，并且在大的z字形通道上又套有小z字形通逋，即具备典型的分形特征bbmandebcot等人首次将分形几何用于描述断h特征，他们采用横截岛法(slit islanbmethod)测定了金属断口的分数维数，并发现马氏体时效钢的冲击能随断廿分形维数的增加而线性下降横截岛法是指通过将断口喷镀或屡渍曲疗法先将断口形貌掩没在界限清楚的两相中，然后对某一截面施行抛光即可得到岛湖图，再借助周长、面积关系即可求得断口分数维许多研究者【用这种方法研究了临界裂纹扩展力与分形维数的关系；探讨了不同工艺处理后的材料断口分形维数与断裂韧性的关系，还有人研究了双相钢疲劳裂纹扩展门槛值与断口分形维数的关系人们还发现岩石断口，如大理石断口，也是分形结沟，井得到直接拉伸条件下弹性应变能与拉伸强度之比随分形维数增加而降低的关系在三点弯曲试验中损伤断裂耗散能gf与分形维数也存在类似关系怍者曾将分形维数与临界渗流理论相结合，利用三点弯曲实验得到的荷载一位移关系，建立了硬化水泥浆体类多孔材料裂缝引发一扩展一断裂的分形渗流模型，测定了断口曲分数维数，求得j昕口的分数维数在21到23之问并随材料制备工艺呈台理的变化，依据所测分形维数可估计出真实断裂面积是表现断裂面积的620倍并由此计算了材料的热力学表面能223分形在无序系统中的应用无序系统的生长机制与行为是现代凝聚态物理学的重要分支，诸如无序材料的徽结构形成锗构弛臻，结柯变化的动力学过程，材料表明及相界面的行为，都可用分数维数来表达；在具有分形结梅特征的高度无规无序物系的生长模型中，无论是扩散限制凝聚圳大芋学五(理上j(dif faion limitedaggregation)艇型还是集团共聚(clustcr-cluster aggreation)摸型；以分形维数作为基本参量例如gese非晶薄膜的热退火过程；溅射nbge。 非晶薄膜的过程；硅微粒在无序薄旗中国凝聚；高分子旧凝聚过程；液体中的金属生长及离子束与固体薄膜相互作用中非晶亚稳台金相曲生之菩在对新近出现的高温Y-BaCu-O超导体的微观结构与超导电性关系的研究中微观结构的分形维数与超导性能也有密切的关系，时至今日分形原理作为表达无规几何形貌昀有力工县在材料的微结构表征中起着不可替代的作用3渗流理论及其应用31渗流现象与其理论在近几年发表约凝聚物理与无序系统的研究文献中渗流(1tcrcolaf ion)现象与渗流模型的研究越来越多如今渗流理论与临界相变理论相互促进，已成为研究具有随机几何性质昀极度无规系统付一个重要理论工具，它l钓应用已遍及物理、化学，材料、生物，天文每镇域圈6直观地表示了渗流现象及渗流理论的核心，两个极扳阃由一个足够太的导塌方格4嚼相连，一个破坏者用剪刀在网络上随肌地剪断一定数量的导线其目的是韧Il!两个掘扳间的连接，它需要剪断多少棍导线才能达到目蛆呢?这个篱单的例子涉及到渗滴理象的核一PI来韧辑连圣置分数，L电巍图6漆流现象心I达到某个临界点时(渗流阈值)，体系施长程连接性(fang-range cfln嘶-I，)发生急骤的变化从而导致体系宏观性质的奇异变化渗藏瑰象本质上是一种l蠕界理象即是一种祖变(二次相变或称连续招变)现象许多=相排列(复合)无趣体焉都存在这种由长程连缠性奇异变化而导致的体系宏观性质巨变因此都可以用渗流理论加以葺I窕，用渗流理论可以确定临界点的泣置及体系行为在临界点附近的发敬行为渗瀛概念是sRBroadbent和7MHammersley在5O年代初首次提出来的当时他们在为英国煤炭应用研究协会进行的用于煤矿的防尘面具的研究中，研究了由多孔的爝粒材料制成的具有随机分布的微小连通管道中气流的渗流问题，若微孔足够大气瀛分子可通过，予是由面具是否能有效地工作自然地提出了临界阈值的问题，这个问题徂容易推广到漉休在具有随机几何形貌的介质中的行为阊题由于渗流概念内核的深刻性。 它一出琨巷jj妓渗流理记矗材辑聃学中曲应川0】晓为物理学家们瞩目随着近3o年代采随机过程理论、蒙特卡罗模拟技术及计算机技术的进展，渗流理论已取褥了长足的进展特荆是它与热力学系统中临界相变理论的结合，使渗流理论成为现代物理学前沿一个很活跃能课题研究渗流模型的数学方法与热力学系统相四，渗流理论中用于描述系统的函数几乎可以同热力学系统中临界现象理论所用的函数相对应，但都简明得多，这就使它在解释临界现象时要比伊辛模型、xy模型海森堡模型容易得多在研究中可以用渗流理论中得出的结果来检验热力学系统中是否也存在这些结果；也可用渗流理论中求出的新结果来捡验热力学系统中是否存在这些结果从渗流的字面意义出发，可以直观地用流体在以一定几率随机连通的管道网络中的流动行为来理解渗流现象的微观过程在如图7所示的方格网中，设开启管道教与总管道敬口点键罄嘲7谤流集圄示意之比为p，幽j每根管道开启几率若考虑开关设在小方格中心，刚形成点渗流(site percolation)若将小方格边线考虑成设开关的管道，则形成键渗流(bond pereolalion)体系的宏观渗透为由相互贯通的管道网决定，其条件是p-pc对点渗流设总位点数为n糟某集团(duster)由s个位点紧接而成，则称为s集团可定义渗流函数为袅团大小分布函数n， D，(p)。 n(p)L p)pI(p)=s。 1,il sn，【p)上式中Ps(p)为体系出现s集团儿率鲫缝p增_太垒pc处时出现无穷犬集团即s一。 ，体系产生渗流相变肘每一格点有三种情它不腐予任何大小的集团，其儿串力q一卜p它属予死限太集团其凡率为p1，p为无穷夫渗流集团出现的儿率；它属于无疆大集团儿率为p1一p)即属于s集团由于每个s集睇中禽有漂圳大学攀撒(理】暖)l090毒s个格点所以任一格点属于s集团的几率ps(p)=sn，(p)由格点上的归一化条件l-p+p p+ps(p)=】可得po(p)=l一吉ps(p)-1一sn。 (f11相关长度(集团平均大小)lav(P)=(I)=(Maxl r一r Ji、j在集阿内)它是有限太小集团中i、j两格点间距离的最大值 (1)的平均值平均对所有集如进行张当于铁磁相变中的自旋相关函数是体系长崔相关性(连续性)的量度根据上述定义，在绘定了格子形式i，原则上就可以从n。 (P)的表达式得到P、Say、lay的表达式它们都是几率P的复杂的高阶多式，所谓临界渗流就是当ppc时，这些多项式都呈非线性发散的结果这样艟可以通过研究多项式来求出渗流阈值pc及其渗流函数在临界点附近的性质，但目前这些作只能对简单格子在s不太大的情况下进行，而对复杂的格子或接近于实际的s只能由数学家来探讨渗流函数的性质【。 于是人们现在通常是用实验测定渗流函数在临界点(p)附近的发敞性质，然后厢各种临界指数来描述渗流相变图8是渗流函数的典型变化特征32渗漉理论的应用一渗流现象作为一种几何相变，其实质越由微观层次的结佝单元的共阿作用而形成体系宏观性质急骤变化(一般表现为非线性甚至非连续变化)的长程台作现象(10ng rangcooperaf ivephenomena)所以渗流现象也是一种具有无标度性的过程，于是也与分形结构与分形维数密切相关这也是渗流理论之所以得到广泛应用的原因，表l给出了可以应用渗流理论进行研究的系统及涉及的变化此外在许多具有重要实际意义的问题中如癌细胞在生物体组织中的扩散，不稳定的化学夏应(椰链式反应)、枝化过程监露于灰生及腐蚀条件的生命线工程结构物安垒度等物系参数都可能具有渗流理论所描述的行为模式即在一定的条件下达到临界闭值而产生体系性晴的非线性突变，因而都可用渗流理论加以研究321渗流理论在微观复合材微结构表征中j应用宏观层次上的复合材料由于其优异柏力学性能已得到广泛应用，如今人们正试图在微观层次上将各具特色的材料元素复合在一起，以求获得具j连通甓分数；P渗流几率；I4t相关长度有特殊使用性能的材料，第二相可能以非均成核Sa t有限集团平均大小。 ，d导体游_流寨团比电争的形式生成点分散体系，网络分散体系或微泡分圈8渗流函数第12期王建国分形及渗流理论在材科辑学中的应用表1渗l旒理论应用系统或现象转变液体在多孔介质中的流动局部湿润#广泛湿润庆病在群体中的传播通讯网络或阻断网络导体-绝缘复合材料复合超导一金属材料非连续金属薄膜螺旋状星系中的星的随机形成核物质中的夸克表面上的氦膜绝缘体中金属原子分散物稀释的磁体高分子凝胶、硫化玻璃转变遏制流行分离连接绝缘体导体普通材料超导材料绝缘体金属jl传播传播禁闭非禁cjj普通材料超虢绝缘体金属顺磁体；铁磁体液体凝胶液体玻璃散体，这种两相微结构可随外界作用条件或两相比例变化，从而导致复台体系宏观性质的变化，当复合体系内部某相的长程连接性发生变化时，复合体系的宏观性质发生阶跃性或非线性变化，这种性质常常被人们利用来制备新器件或达到某种特殊的目的如无机非金属纳末级复台材料已成为新一代功能材料中最1人注目的新品种；其它如将超细金属粉末均匀混台在塑料中形成的特殊的磁性材料；将超细金属粉末均匀混台在橡胶中形成的行程开关材料或金属粉末高分子复台磁性材料；又如具有正温度系数(ptc)的掺杂batio材料，作为开关材料已在实际中得到广泛应用新一代的相变型光盘记录夼质1有可能完全改变目前的信息存储技术所有这些新材料，新器件的原理都在某种程度上与材料两相复合微结构中某相约渗流变化相，这样渗流理论就为我仉探索新材料的内部机制提供了一种概念框架，同时也为攒结构的研究提供了理论工具考虑如图9所示的两相复台材料在渗流闭值附近形成的u凡俺渗漶集团结构，对于如此复杂无规的几何形体，传统的研究方法至多是采用图像分析法测算两相比例，如果应用渗流理论，则可处理成划分得更细的格网上的点渗流(site percolation)集团，采用渗流函数对其进行数学分析，可得相关长度ep口l p-pc lv其中p为材料中某相所占体积分数或称格圈9达到渗流阌值肘出现的渗流集匝深剥大学学报(理工版)子网络中被该相占据的位点比例；pc为该相开始形成渗流状集团(连续网络)l的临界体积分数即渗流闽值v为临界指数，它描述渗流发生时的体系非线性行为，具有普适性，即对于同类的变化机制，v尹为常数例如对二维导体一绝缘体两相复合体系而言，在临界体积分数附近电导的临界指数为13到11，而二维多孔板的弹性常数在临界体积分数附近的临界指数却为35，说明这两个问题分属不同的普适属，因为对于电导而言，只有渗流集团的连通干网起传导作用，而对弹性常数而言在变形过程中自由端或自由边可以对体系刚度产生贡献322渗流理论在多孔材料中的应用多孔材料在催化剂，固定化酶基体、分离膜方面也有重要应用，多孔材料的孔结构对于其性能具有决定性影响孔结拘包括孔隙率、孑l径分布及孔形貌三方面，大多数情况下上述多孔体都具有高度无规的几何特征过去多采用简化的方法将孔体系抽象为一系列圆柱形孔的组合并建立了相应的澳l试方法，用这样测得的孔参数与多孔体宏观物性建立关系时，常常因过于简化而失去意义，于是有必要寻找新的表达孔结构的参数作者曾将多孔固体处理成固体一孔隙两相复合体系，然后建立了孔隙的渗流模型，采用汞压入法(mecury intrusion)用得到的数据建立了渗流函数，求算了达到临界闽值(孔半径r)时所形成的孔网络渗流集团的分数维数，并发现孔网络的分维随多孔体制备工艺呈现台理的变化关系多孔体或者内部具有擞结构缺陷或损伤舶固体舶强度历来是人们研究的热点课题gf iffith公式是描述具有内部孔缝的固体材料强度的基本公式=eg=l其中a为扰拉强度e为弹性模量；g为断裂能；l为内部缺陷的长度翻1d是拉应力作用下的其有髓帆孔网络结构的多孔体的孔缝几何渗流模型的示意图，其中孔嗣都分用方格网络中的涂黑部分表示，当分格足够多对黑框的各种组合集团可以模拟出各种孔洞集团，设总格子敦为n，空洞占据的格点为n，贼每一位点为孔洞空间的几率p=n，很易得出p等于总孔率p一定的孔率p时，体系中形成一定的孔集团，材料的宏观参数如弹性模量e，断裂能g和作为gf if ith裂缝长度的孔洞集团长度平均值l都a一应力刳10多孔体曲孔箍几何藩流集团是孔集团即孔率的函数按照渗流理论，存在一十n，p=pc=n时所有孔缝集团连接起来形成整体，此时裂缝长度l趋近于发散到无穷大，e减少到0，即固相结构不舷传递应力。 若采用渗流函数与临界指数表示这种变化L=L。 (pc-p)一第12期王建国分形及渗硫理论在材料科学中的应用e=e(pcp)g2丫i。 (LL。 )其中L。 为基本格子尺寸，E为孔率为0时l匀弹模r)为孔缝集团的分维，丫|。 为材料表面热力学表面能，将上述基本参数代入G riffth公式(?”一u。 (PcP)-一D这就是建立在孔缝集团的分维及渗流模型基础上曲多孔体抗拉强度与孔结构理论关系，尽管导出过程中用到了G riffith关系，但由于引进了随机多孔网络的结构参数，因此避免了对结构的过多简化，式中各参数都有明确的物理意义并分别对应于结构的不同层次或侧面。 相当于周体的本征性质，它决定于多孔体基本结构单元闯的键作用力；P及P代表了总孔率及孔分布的影响，即强度随总孔率增大而呈幂函数下降，下降的速率则受孔网络参数制约比较上述理论关系与实用中早就知道fdBalshln经验公式a=a。 (1-p)l”】，可见它们在数学形式上的相似性，利用分维硬渗流模型可以明砖经验常数a。 及m的糖理意义和影响因素，这正是材料科学的任务之一分形及渗流的基本理论正在越多地被引入到不同的领域，在以无序无规性为微结构特征的无机非金属材料的研究与开发中它将起到更为重要的作用，此外它在开启研究思路及方法论方面曲重要意义也是不可忽视的参考文献1Family Fand LandauD PKmetits ofA ggregationand Gelattol1Elesevie rSotel itePublishi lgCompa ly，10l7(2Skal lyJCement Technologyia l0锄3)M andelbrot