导数基础知识专项练习

高中数学试卷第 1 页 共 12 页 导数专项练习导数专项练习 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 2121 小题 共小题 共 105 0105 0 分分 1 函数 f x x3 x 在点 x 1 处的切线方程为 A 4x y 2 0 B 4x y 2 0 C 4x y 2 0 D 4x y 2 0 2 已知直线 y x 1 与曲线 y ln x a 相切 则 a 的值为 A 1 B 2 C 1 D 2 3 已知曲线 y 2x2 1 在点 M 处的瞬时变化率为 4 则点 M 的坐标是 A 1 3 B 1 4 C 1 3 D 1 4 4 若函数 y f x 的导函数 y f x 的图象如图所示 则 y f x 的图象可能 A B C D 5 已知函数 f x x3 ax2 x 1 在 上是单调递减函数 则实数 a 的取值 范围是 A B C D 6 已知函数 f x x在区间 1 2 上是增函数 则实数 m 的取 值范围为 A 4 m 5 B 2 m 4 C m 2 D m 4 7 设点 P 是曲线上的任意一点 点 P 处切线的倾斜角为 则角 的取值范围是 A B 0 C D 8 函数 y f x 导函数 f x 的图象如图所示 则下列说法正确的是 A 函数 y f x 在 0 上单调递增 高中数学试卷第 2 页 共 12 页 B 函数 y f x 的递减区间为 3 5 C 函数 y f x 在 x 0 处取得极大值 D 函数 y f x 在 x 5 处取得极小值 9 已知 y b 6 x 3 在 R 上存在三个单调区间 则 b 的取值范围是 A b 2 或 b 3 B 2 b 3 C 2 b 3 D b 2 或 b 3 10 函数在 R 上不是单调增函数则 b 范围为 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 11 已知函数 f x 的定义域为 a b 导函数 f x 在 a b 上的图象如图所示 则函数 f x 在 a b 上的极 大值点的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 12 已知曲线 C y x3 x2 4x 1 直线 l x y 2k 1 0 当 x 3 3 时 直线 l 恒在曲线 C 的上方 则实数 k 的取值范围是 A k B C D 13 曲线 y 2lnx 上的点到直线 2x y 3 0 的最短距离为 A B 2 C 3 D 2 14 已知函数 f x x alnx 当 x 1 时 f x 0 恒成立 则实数 a 的取值范围是 A 1 B 1 C e D e 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 共小题 共 20 020 0 分分 22 函数 f x 的图象在 x 2 处的切线方程为 2x y 3 0 则 f 2 f 2 23 已知函数 f x x3 ax2 3ax 1 在区间 内既有极大值 又有极小值 则实数 a 的取值范围是 24 已知函数 f x ax3 x 1 的图象在点 1 f 1 处的切线与直线 x 4y 0 垂直 则 实数 a 25 曲线 y e 2x 1 在点 0 2 处的切线与直线 y 0 和 y x 围成的三角形的面积为 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 72 072 0 分分 26 已知函数 f x x3 ax2 bx a b R 若函数 f x 在 x 1 处有极值 4 1 求 f x 的单调递减区间 2 求函数 f x 在 1 2 上的最大值和最小值 27 已知函数 f x x2 lnx ax 1 当 a 3 时 求 f x 的单调增区间 高中数学试卷第 3 页 共 12 页 2 若 f x 在 0 1 上是增函数 求 a 得取值范围 28 已知函数 f x x3 x2 x a g x 2a x3 x R a R 1 求函数 f x 的单调区间 2 求函数 f x 的极值 3 若任意 x 0 1 不等式 g x f x 恒成立 求 a 的取值范围 29 已知函数 当 x 2 时 函数 f x 取得极值 I 求实数 a 的值 II 若 1 x 3 时 方程 f x m 0 有两个根 求实数 m 的取值范围 30 若函数 f x ax3 bx 4 当 x 2 时 函数 f x 有极值 1 求函数的解析式 2 求函数的极值 3 若关于 x 的方程 f x k 有三个零点 求实数 k 的取值范围 答案和解析答案和解析 答案答案 1 B 2 B 3 C 4 C 5 B 6 D 7 B 8 D 9 D 10 D 11 B 12 B 13 A 14 D 15 C 16 D 17 A 18 A 19 D 20 D 21 A 22 323 0 9 24 125 26 1 f x 3x2 2ax b 依题意有 f 1 0 f 1 4 即得 4 分 所以 f x 3x2 4x 7 3x 7 x 1 高中数学试卷第 4 页 共 12 页 由 f x 0 得 x 1 所以函数 f x 的单调递减区间 1 7 分 2 由 1 知 f x x3 2x2 7x f x 3x2 4x 7 3x 7 x 1 令 f x 0 解得 x1 x2 1 f x f x 随 x 的变化情况如下表 由上表知 函数 f x 在 1 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 故可得 f x min f 1 4 f x max f 1 8 13 分 27 解 1 当 a 3 时 f x x2 lnx 3x f x 2x 3 由 f x 0 得 0 x 或 x 1 故所求 f x 的单调增区间为 0 1 2 f x 2x a f x 在 0 1 上是增函数 2x a 0 在 0 1 上恒成立 即 a 2x 恒成立 2x 2 当且仅当 x 时取等号 所以 a 2 当 a 2时 易知 f x 在 0 1 上也是增函数 所以 a 2 28 解 1 f x x3 x2 x a f x 3x2 2x 1 2 由 1 可知 当时 函数 f x 取得极小值 函数的极小值为 当 x 1 时 函数 f x 取得极大值 函数的极大值为 f 1 a 1 3 若任意 x 0 1 不等式 g x f x 恒成立 高中数学试卷第 5 页 共 12 页 即对于任意 x 0 1 不等式 a x2 x 恒成立 设 h x x2 x x 0 1 则 h x 2x 1 x 0 1 h x 2x 1 0 恒成立 h x x2 x 在区间 0 1 上单调递增 h x max h 1 2 a 2 a 的取值范围是 2 29 解 I 由 则 f x x2 2ax 6 因在 x 2 时 f x 取到极值 所以 f 2 0 4 4a 6 0 解得 II 由 I 得 且 1 x 3 则 f x x2 5x 6 x 2 x 3 由 f x 0 解得 x 2 或 x 3 f x 0 解得 x 3 或 x 2 f x 0 解得 2 x 3 f x 的递增区间为 2 和 3 f x 递减区间为 2 3 又 要 f x m 0 有两个根 则 f x m 有两解 分别画出函数 y f x 与 y m 的图象 如图所示 由图知 实数 m 的取值范围 30 解 1 f x 3ax2 b 由题意知 解得 所求的解析式为 f x x3 4x 4 2 由 1 可得 f x x2 4 x 2 x 2 令 f x 0 得 x 2 或 x 2 因此 当 x 2 时 f x 有极大值 当 x 2 时 f x 有极小值 3 由 2 知 得到当 x 2 或 x 2 时 f x 为增函数 当 2 x 2 时 f x 高中数学试卷第 6 页 共 12 页 为减函数 函数 f x x3 4x 4 的图象大致如图 由图可知 31 解 1 复数 z 是纯虚数 则由 得 即 a 0 2 若复数 z 是实数 则 a2 3a 2 0 得 a 1 或 a 2 3 在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限 则 即 解得 a 0 或 a 2 解析解析 1 解 f x x3 x f x 3x2 1 容易求出切线的斜率为 4 当 x 1 时 f x 2 利用点斜式 求出切 线方程为 4x y 2 0 故选 B 首先求出函数 f x 在点 x 1 处的导数 也就是切线的斜率 再利用点斜式求出切线 方程 本题比较简单 主要应用导数的几何意义 求出切线方程 2 解 设切点 P x0 y0 则 y0 x0 1 y0 ln x0 a 又 x0 a 1 y0 0 x0 1 a 2 故选项为 B 切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程 又曲线切点处的导数值是切线斜 率得第三个方程 本题考查导数的几何意义 常利用它求曲线的切线 3 解 y 2x2 1 y 4x 令 4x 4 则 x 1 y 3 点 M 的坐标是 1 3 故选 C 求导函数 令其值为 4 即可求得结论 本题考查导数知识的运用 考查学生的计算能力 属于基础题 4 解 由 y f x 可得 y f x 有两个零点 x1 x2 且 0 x1 x2 当 x x1 或 x x2时 f x 0 即函数为减函数 当 x1 x x2 时 f x 0 函数为增函数 即当 x x1 函数取得极小值 当 x x2 函数取得极大值 故选 C 根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性即可 本题主要考查函数图象的判断 结合函数单调性 极值和导数之间的关系是解决本题 的关键 5 解 f x x3 ax2 x 1 f x 3x2 ax 1 高中数学试卷第 7 页 共 12 页 要使函数 f x 在 上是单调递减函数 则 f x 0 恒成立 即 f x 3x2 ax 1 0 恒成立 a2 4 3 1 a2 12 0 解得 即实数 a 的取值范围是 故选 B 求函数的导数 函数 f x 在 上是单调递减函数 则 f x 0 恒成立 解不等式即可 本题主要考查导数的应用 要求熟练掌握导数与函数单调性 极值 最值之间的关 系 6 解 函数 f x x 可得 f x x2 mx 4 函数 f x x在区间 1 2 上是增函数 可得 x2 mx 4 0 在区间 1 2 上恒成立 可得 m x x 2 4 当且仅当 x 2 时取等号 可得 m 4 故选 D 求出导函数 利用函数的单调性 推出不等式 利用基本不等式求解函数的最值 推 出结果即可 本题考查函数的导数的应用 考查最值的求法 基本不等式的应用 考查转化思想以 及计算能力 7 解 y 3x2 tan 0 故答案选 B 先求函数的导数的范围 即曲线斜率的取值范围 从而求出切线的倾斜角的范围 本题考查导数的几何意义 直线的倾斜角与斜率 8 解 由函数 y f x 导函数的图象可知 当 x 1 及 3 x 5 时 f x 0 f x 单调递减 当 1 x 3 及 x 5 时 f x 0 f x 单调递增 所以 f x 的单调减区间为 1 3 5 单调增区间为 1 3 5 f x 在 x 1 5 取得极小值 在 x 3 处取得极大值 故选 D 利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断 本题考查函数的单调性及极值问题 本题以图象形式给出导函数 由此研究函数有关 性质 体现了数形结合思想 9 解 若 y b 6 x 3 在 R 上存在三个单调区间 只需 y x2 2bx b 6 0 有 2 个不相等的实数根 即只需 4b2 4 b 6 0 解得 b 2 或 b 3 高中数学试卷第 8 页 共 12 页 故选 D 问题转化为只需 y x2 2bx b 6 0 有 2 个不相等的实数根即可 本题考查了函数的单调性问题 考察二次函数的性质 是一道基础题 10 解 y x3 bx2 b 2 x 3 y x2 2bx b 2 f x 是 R 上的单调增函数 x2 2bx b 2 0 恒成立 0 即 b2 b 2 0 则 b 的取值是 1 b 2 y x3 bx2 b 2 x 3 在 R 上不是单调增函数 实数 b 取值范围是 b 1 或 b 2 故选 D 三次函数 y x3 bx2 b 2 x 3 的单调性 通过其导数进行研究 故先求出导数 利 用其导数恒大于 0 即可解决问题 本题考查函数的单调性及单调区间 利用导数解决含有参数的单调性问题 属于基础 题 11 解 导函数 f x 在 a b 上的图象如图所示 由函数取得极大值点 x0的充要条件是 在 x0左侧的导数大于 0 右侧的导数小于 0 由图象可知 函数 f x 只有在点 A C 处取得最大值 而在 B 点处取得极小值 而在点 O 处无极值 故选 B 导函数 f x 在 a b 上的图象如图所示 由函数取得极大值点 x0的充要条件是 在 x0左侧的导数大于 0 右侧的导数小于 0 即可判断出结论 本题考查了函数取得极大值在一点 x0的充要条件是 在 x0左侧的导数大于 0 右侧的 导数小于 0 考查了数形结合思想方法 推理能力与计算能力 属于中档题 12 解 命题等价于 x 在 3 3 内 x 2k 1 0 恒成立 即 k 设 y y 3 x 1 x 所以函数 y 在 3 1 内 y 递减 1 3 内递增 所以 x 1 y 取最小值 所以 k 故选 B 将已知条件当 x 3 3 时 直线 l 恒在曲线 C 的上方 等价于 x 在 3 3 内 高中数学试卷第 9 页 共 12 页 x 2k 1 0 恒成立 构造函数 通过求导数 判断出函数的单调 性 进一步求出函数的最值 求函数在闭区间上的最值 一般的方法是求出函数的导函数 令导函数为 0 判断出 根左右两边的导函数值 求出函数的极值及区间两个端点处的函数值 选出最值 13 解 设与直线 2x y 3 0 平行且与曲线 y 2lnx 相切的直线方程为 2x y m 0 设切点为 P x0 y0 y 斜率 2 解得 x0 1 因此 y0 2ln1 0 切点为 P 1 0 则点 P 到直线 2x y 3 0 的距离 d 曲线 y 2lnx 上的点到直线 2x y 3 0 的最短距离是 故选 A 设与直线 2x y 3 0 平行且与曲线 y 2lnx 相切的直线方程为 2x y m 0 设切点为 P x0 y0 利用导数的几何意义求得切点 P 再利用点到直线的距离公式即可得出 本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离 点到直线的距离公式 属于中 档题 14 解 f x 1 当 a 1 时 f x 0 在 1 上恒成立 则 f x 是单调递增的 则 f x f 1 1 恒成立 则 a 2 当 a 1 时 令 f x 0 解得 x a 令 f x 0 解得 1 x a 故 f x 在 1 a 上单调递减 在 a 上单调递增 所以只需 f x min f a a alna 0 解得 x e 综上 a e 故选 D 由 f x 0 对 x 1 上恒成立可分 a 1 和 a 1 来讨论转化为函数的最小值 大于等于 0 的问题来求解 本题考查函数的导数以及利用导数求函数的单调区间和极值问题 考查了利用函数的 导数讨论含参数不等式的恒成立问题 求参数的取值范围 主要转化为函数的最值问 题利用导数这一工具来求解 15 解 z 1 2i 则 i 故选 C 利用复数的乘法运算法则 化简求解即可 本题考查复数的代数形式混合运算 考查计算能力 16 解 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i i z i 高中数学试卷第 10 页 共 12 页 则复数 z 的实部与虚部之和 0 故选 D 利用复数的运算法则 共轭复数的定义 实部与虚部的定义即可得出 本题考查了复数的运算法则 共轭复数的定义 实部与虚部的定义 考查了推理能力 与计算能力 属于基础题 17 解 复数对应的点的坐标为 3 1 位于第一象限 故选 A 利用复数代数形式的乘除运算化简 求得复数所对应点的坐标得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的代数表示法及其几何意义 是基础 题 18 解 由 1 3i z i 3 得 故选 A 由 1 3i z i 3 得 然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查了复数代数形式的乘除运算 是基础题 19 因为 i 所以 i2016 i4 504 i4 1 20 解 由 1 i x yi 2 得 x y x y i 2 即 解得 2x yi 2 i 故选 D 把已知等式变形 然后利用复数相等的条件求得 x y 的值 则答案可求 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查了复数相等的条件 是基础的计算题 21 解 复数 它是纯虚数 所以 a 2 故选 A 复数的分子 分母同乘分母的共轭复数 化简后它的实部为 0 可求实数 a 的值 本题是基础题 考查复数的代数形式的混合运算 考查计算能力 常考题型 22 解 由已知切点在切线上 所以 f 2 1 切点处的导数为切线斜率 所以 f 2 2 所以 f 2 f 2 3 故答案为 3 先将 x 2 代入切线方程可求出 f 2 再由切点处的导数为切线斜率可求出 f 2 的 值 最后相加即可 本题主要考查导数的几何意义 即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜 率 23 解 求导函数 f x 3x2 2ax 3a 高中数学试卷第 11 页 共 12 页 函数 f x x3 ax2 3ax 1 在区间 内既有极大值 又有极小值 4a2 36a 0 a 0 或 a 9 故答案为 0 9 先求导函数 根据函数在区间 内既有极大值 又有极小值 故导函数为 0 的方程有不等的实数根 可求实数 a 的取值范围 本题的考点是函数在某点取得极值的条件 主要考查学生利用导数研究函数极值的能 力 关键是将问题转化为导函数为 0 的方程有不等的实数根 24 解 由 f x ax3 x 1 得 f x 3ax2 1 f 1 3a 1 即 f x 在 x 1 处的切线的斜率为 3a 1 f x 在 x 1 处的切线与直线 x 4y 0 垂直 3a 1 4 即 a 1 故答案为 1 求出原函数的导函数 得到 f x 在 x 1 处的导数 再由 f x 在 x 1 处的切线与直 线 x 4y 0 垂直 得到 f x 在 x 1 处的导数值 从而求得 a 的值 本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程 考查了两直线垂直的条件 斜率之积为 1 是基础题 25 解 y e 2x 1 y 2e 2x 切线的斜率 k y x 0 2 且过点 0 2 切线为 y 2 2x y 2x 2 切线与 x 轴交点为 1 0 与 y x 的交点为 切线与直线 y 0 和 y x 围成的三角形的面积为 s 1 故答案为 先对函数 y e 2x 1 求导 求出 y 在 x 0 处的斜率 根据点斜式求出切线方程 再利用 面积公式进行求解 此题利用导数研究曲线山的点的切线 注意斜率与导数的关系 此题是一道基础题 26 1 首先求出函数的导数 然后令 f x 0 解出函数的极值点 最后根据导数判 断函数的单调性 从而求解 2 由 1 求出函数的单调区间 可以运用导数判断函数的单调性 从而求出函数 f x 在 1 2 上的最大值和最小值 此题主要考查多项式函数的导数 函数单调性的判定 函数最值 函数 方程等基础 知识 考查运算求解能力 推理论证能力及分析与解决问题的能力 难度较大 27 1 求单调增区间 先求导 令导