平面直角坐标系和极坐标 教师版.doc

平面直角坐标系和极坐标为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一 平面直角坐标系平面直角坐标系的建立：为了确定平面上点的位置：在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；以两直线的交点O作为原点；选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图1-2-1）图1-2-1这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。2. 平面上点的坐标建立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就可以确定了，方法是这样的：由P点分别作y轴和x轴的平行线，交点分别是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，我们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），这样的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。反过来，易知任意一对实数（a，b），都可以确定平面上的一个点.由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P，我们可以得到唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（a，b）。就是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间建立了一一对应得关系。我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。根据数轴上有向线段的数量，可以理解第I象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II象限内的是（，+），第III象限内的是（，），第IV象限内的是（+，）。坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（，0）。同理，在y轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，）。二 极坐标极坐标是另外一种重要的坐标法，有些几何轨迹题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标系来得简单，在数学分析中经常用到。在平面的直角坐标系中，是以一对实数来确定平面上一点的位置，现在叙述另一种坐标，它对平面上的一点的位置虽然也是用有序实数对来确定，但这一对实数中，一个是表示距离，而另一个则是指示方向。一般来说，取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系。平面上一点P的位置，可以由OP的长度及其xOP的大小决定，这种确定一点位置的方法，叫做极坐标法。具体地说，假设平面上有点P，连接OP，今设OP=，又xOP=. 和的值确定了，则P点的位置就确定了。叫做P点的极半径，叫做P点的极角，叫做P点的极坐标（规定写在前，写在后）。显然，每一对实数决定平面上一个点的位置。今以的值可为任何的正的或负的值（依逆时针方向转动所成的角规定为正，顺则为负），又为处理上便利起见，也可以是负的值，如图1-2-2，OC为角的终边，规定在OC上度量的数为正，而在OC的相反方向，即OC的延长线上度量的数为负，如图1-2-2中，若点P的坐标为，则点P的坐标为。图1-2-2 ，的值照上面这样扩大之后，则在极坐标系中，一点的坐标有无穷的实数对。例如，在图1-2-2中，可以看到，点P的坐标一般写为，也可以写成，又P的坐标可以是.也可以是.图1-2-3极坐标与直角坐标系的关系如图1-2-3所示，将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为（x，y），在极坐标系下的坐标为, 则有下列关系成立：即另外还有下式成立：.例1.2 给出极坐标系中点P=（2，）的直角坐标。解： 由上面的讨论知：故点P的直角坐标为（1，）.极坐标方程的形式为. 在极坐标里，从，的每一组对应的值作为点的坐标，并且标出这些点，然后用平滑的曲线依次连结这些点，所得到的曲线就称为这个极坐标方程的曲线。反过来，称这个方程为这个曲线的极坐标方程。例1.3 试作曲线.显然表示的是一条直线。例1.4试作曲线.显然表示的是一个以2为半径的圆周。例1.5试给出曲线在直角坐标系下的方程. 解 因为，故曲线可以写为：即又，故有：即：显然该方程表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周。第三节空间直角坐标系在平面几何中通过平面的解析几何，将数与形紧密地连接起来，用代数的方法研究平面几何，起到了非常良好的效果本章将用类比法，用代数的方法研究立体几何为此必须建立类似于平面的直角坐标系概念在我们生活的三维空间中，取一个平面将之分割为两部分，在此平面上建立一个直角坐标系，这里表示轴，表示轴O表示，轴的共同原点过作平面的垂线（为垂足），作为新的数轴，叫做轴并与x,y轴拥有相同的长度单位，这样我们就得到空间中两两互相垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴：轴，轴, 轴，这就形成了我们所谓的空间直角坐标系相同的原点O叫做空间直角坐标系的原点从立体几何可以知道，轴与轴也唯一的决定了一个平面，称为平面同样轴与轴也唯一的决定了一个平面,叫做平面这三个平面都叫做坐标面这三个轴都叫做坐标轴(如图1-3-1)显然三个坐标面将空间分成八个部分每个部分叫做卦限，其中，含三个坐标轴的正半轴的卦限叫做第一卦限，记为I其余依次叫做第二卦限，第三卦限，第四卦限，第五卦限，等等记为II，III，IV，V等， 如图1-3-1图1-3-1另外我们注意到，在直角坐标系的形成过程中，我们实际上可以看到，轴是由轴绕原点逆时针旋转而得到的而此时过原点O且垂直于面的轴，虽然仅有一条，但是z轴的正方向却有两种选择如图1-3-2的选择，称为右手系另外一种选择得到的坐标系叫做左图1-3-2手系不失一般性我们以后仅考虑右手系所以我们的空间中就多了直角坐标系确定了坐标系之后，对于空间中的任意一点，作面的垂线仅一条，仅交面于一点，则对应于平面的坐标也仅有一个不妨记为，这时的距离也是一定的，若当从点指向点时，与轴正方向相同，则记为，否则认为是负的，记为 所以任意一点就有唯一的三个数反之任意给定三个数，当作为面的点时，根据z的正负，以上面的逆推可以唯一得到空间一点，因此空间的点与有序数组建立了这样的一一对应关系称分别为点的横坐标，纵坐标，竖坐标常记点为或推论1 过点分别垂直于轴的平面与三个坐标轴的交点坐标也分别是推论2 坐标面上的：面上点的坐标为,面上点的坐标为，面上点的坐标为推论 坐标轴上点的坐标分别是：轴上点的坐标是，轴上点的坐标是，轴上点的坐标是图1-3-3设空间中两个点和，则两点的距离为事实上分别过点作三个坐标轴的垂直平面，这些平面围成了一个以为对角线的长方体（如图1-3-3）长方体的三个棱长分别是，由长方体对角线的长度公式知：这就是空间中两点的距离公式在实数轴上，实数表示一个点在平面中，两个数的数组表示一个点，在三维空间中三个数的数组表示一个点一般的，个有序数组表示维空间的点，并用表示维空间特别地，为实数轴表示平面的二维空间就是后面主要讨论的三维空间向量及其应用我们知道三维空间的点，对应一个有序数组反之亦然从另外一个角度来看，对任意一个这样的有序数组，唯一地表示一个以原点为起点，点为终点的有向线段反过来，任意一个以原点为起点，为终点的有向线段，则可以唯一地对应一个有序数组，所以有向线段与点以及数组之间建立了一一对应在力学等学科中，常用有向线段表示一个既有大小又有方向的量，如力，速度等等我们称既有大小又有方向的量叫做向量因此，我们也把形如的有序数组称为的向量为了与点的坐标相区别，我们常把向量记为称为向量的坐标表示并且把由从原点到点所确定的有向线段，也叫做向量，叫做向量的分量同时，把空间中某向量平移后所得到的有向线段认为是同一个向量所以若空间中有起点到终点所得到的有向线段，可以看成是一个向量，此向量经过平移后将点置于原点，易得此向量可表示为，通常记为特别，当为原点时，即.当已知一向量的起点和终点时，一般用上方带有箭符“”的小写字母表示，如等.一般情况下，对应一个向量，对应一个向量，这时， 向量 即是由，所决定，并令因为的分量由的分量相应地减去的分量即得与的差特别地原点O所对应的向量，称为零向量，记为那么对于两个向量的差，记为，显然所表示的向量与的关于原点对称再进一步地有，可以证明， 所对应的向量在，所确定的平面上并且与以，为相邻边的平行四边形的对角线所确定的向量是同一个向量如图1-4-1图1-4-1因此我们有理由称为加上的和从而有（）即两向量相加等于对应分量相加向量的加法满足交换律，结合律即对于任意的向量，有；对于任意的向量，有特别地，设点，那么相似地，若记，那么，那么所以我们可以定义向量与数的乘积如下：定义1.3 设为任意实数，即是分别乘以的每一个分量，即从而可以很容易证明：；对为实数有： ；若用表示有向线段的长度，那么即为点到原点的距离从而可得，,事实上，,，显然成立的几何意义如下：如，那么是以原点为起点，点为终点的有向线段, 而此是由线段或延长线上将扩大倍后得到的当时，显然是的关于原点对称的向量当时，就是零向量如上所示，对于两个向量、具有同一起点，他们的关系有共线；或者由和能唯一地确定一个平面在此平面上，以、为相邻的两边唯一地决定了一个平行四边形如图1-4-2图1-4-2如果垂直记为，我们有下面的结论：定理1.3 的充分必要条件是证明 如果，那么由、为相邻的两边所确定的平行四边形为矩形所以对角线向量与的长度是相同的即，而，展开之后，再化简得到：反之很容易得到，即平行四边形两对角线相等所以此平行四边形为矩形从而一般情况下，设，的夹角为，有时也记为，如，过作OA的垂线交OA于D点（如图1-4-3），那么，注意到，即图1-4-3若令，则，由定理知，故，即 为此，为了方便起见，定义为此对应分量乘积之和,即，这种运算被称为两个向量与的数量积，由此可得：所以有推论：的充分必要条件是如果与的夹角为零时，称平行于，记为,所以的充分必要条件是从数量积的定义可以看出它在物理上的应用一个物体在常力的作用下，沿直线从点移动到点，则力所做的功为，其中为与直线的夹角表示位移另外，数量积还有满足交换律、分配律定理1.4 1）若为任意两个向量，则；2）若为任意三个向量，则3）对于任意的常数，证明 只证明2）,设，那么得证对于向量、，它们的夹角为，称为在上的投影，记为设向量,求与三个坐标轴的夹角的余弦解 以一般的记号，记轴的正方向的单位向量分别为 ，（以后还要用到），并令它们与向量的夹角分别是，那么；从上面的例子可以很容易的看出：若称为的方向角时，则向量的方向角都满足：，并且，为方便起见，称为的方向余弦常用它们表示的方向即，且方向相同，以上的概念结果完全可以推广到中去，由读者自己推广向量积为了研究两向量的另外一种运算向量积，先介绍一下二、三阶行列式的定义.定义1.4 已知四个数，用记号（称为二阶行列式）表示数。当已知个数时，用（称为三阶行列式）表示这样一个数，一般情况下，已知个数，, 则称下面等号左边的记号为阶行列式，并有：例 1.7 求二阶行列式和三阶行列式解=；=下面从物理中的一个例子来引入两个向量的向量积设O为一根杠杆的支点，有一个力作用于这个杠杆L上的点处，力与OP的夹角为，那么有力学规定支点O的力矩是一个向量，它的模为，如图1-5-1图1-5-1而的方向垂直于与所决定的平面，满足由到的右手规则，即当大拇指与另外四个手指垂直时，这四个手指从以不超过的角转向握拳时，大拇指的指向即是的方向见图1-5-1可记要注意的是：与交换后可能改变的方向例与均不为零向量的指向是右手规则中从第一个向量转到第二个向量即由转到而对于而言，此向量的方向是由转到，正好与的方向相反不过两个模是相同的因此 定义1.5 设，为两个向量，称向量为与向量积，若的模为（），方向是右手规则中四指由转到时的大拇指的指向记为=由定义可知：对于任意的向量，有；若时，；设为一个向量，（）；为数，（）（）（）；，；对，有，；为了帮助记忆，当把看作数时，有设，和，求三角形的面积解：的面积下面介绍三向量， 的混合积及其几何意义：称数为此三个向量的混合积，且有由向量积和数量积的定义可以知道：图1-5-2这里为与的夹角，是与的夹角从几何上来说，是由，做为相邻的三个棱的平行六面体的体积（如图1-5-2）平面及其方程在立体几何中，点、直线、平面均为几何元素而一平面是由不共线的三个点唯一确定的设一个平面，过不共线的三个点，注意到立体几何中的定理：如果一直线垂直于一平面上的两条不同的相交直线，则垂直于平面上任何一条直线这条直线我们称为此平面的法线，与这条直线平行的向量我们称之为法向量显然就是平面的法向量一般情况下，设是平面的法向量平面过一点，点 是平面上任意一点，那么一定垂直与，即，所以有（1.6.1）即 （1.6.2）当记时，有（1.6.3）可以证明：空间中任意一点，如果，则一定在平面P上，就是说以为法向量的过的平面方程是反过来，已知一个形如（1.6.2）的方程，所有满足方程的点就形成了一个平面此平面经过点，法向量为（其中），称此为过点以为法向量的平面的点法式方程求过三点的平面方程解法一：设其方程形如（1.6.2），将，的坐标代入（1.6.2），得到关于的方程组从而可以得到平面的方程解法二：向量，那么就是法平面的法向量，故由（1.6.1）即点法式，得，即从（1.6.1）和(1.6.2)可知，(1.6.1)可化为(1.6.2)，而(1.6.2)也可以化为(1.6.1)例题：将平面化为点法式解 取平面上的一点，即有与原方程相减，即得这就是平面的点法式方程从平面的一般方程，可以得到如，则平面过原点如，则平面的法向量为，此法向量垂直与轴即平面平行于轴如，则法向量