浅谈“循环矩阵”的性质及应用.doc

毕业论文(设计) 题 目: 浅谈“循环矩阵”的性质及应用学 院: 数理与信息学院学生姓名: 鲍亨忠学 号: 080601114专 业: 数学与应用数学(师范类)班 级: B08数学指导老师: 王小双起止日期: 2012.02.13-2012.05.08 2012年 5月10日浙江海洋学院本科毕业论文摘要本文在对已有文献进行深入讨论和研究, 分析和总结. 对矩阵中一类重要的矩阵-循环矩阵, 从定义出发继续深入研究循环矩阵的性质, 并且运用矩阵的对角化方法求解循环矩阵的伴随矩阵, 逆矩阵, 以及行列式的表达式, 利用范德蒙矩阵的性质对循环矩阵的一个定理给出了推广, 并得到广义循环矩阵的性质, 即广义循环矩阵(二重循环矩阵)和循环矩阵, 随之对循环矩阵的性质和应用加以最大限度的推广. 并进行进一步的讨论. 关键词: 循环矩阵;逆矩阵; 行列式; 对角化; 广义循环矩阵: 范德蒙矩阵; 循环矩阵.Discussion on properties and applications of Circulant matricesAbstractIn this paper, in-depth discussion of the existing literature and research, analyze and summarize an important class of matrix in the matrix - the circulant matrix, further definition of the nature of the research cycle matrix, and the use of the matrix diagonalization method for solving circulant matrix adjoint matrix, inverse matrix, as well as the determinant of expression, the nature of the Vandermonde matrix, the circulant matrix of a theorem given a promotion, and the nature of the generalized circulant matrix, the generalized circulant matrix (2 cyclic matrix) and the cycle matrix, followed by the nature and application of the circulant matrix to maximize the promotion and further discussion. Keywords: Circulant matrix; Inverse Matrix; Determinant; Iagonalization; Generalized Cycle; Vandermonde Matrix; Circulant Matrix. 目录摘要IAbstractII1 前言12. 循环矩阵的基本概念及性质32.1 基本概念32.2 循环矩阵的性质32.3循环矩阵的对角化73循环矩阵的推广103.1 广义循环矩阵103.2 循环矩阵143.3 反循环矩阵17小结21参考文献22致谢2322 1 前言循环矩阵的概念是于1885年首先提出来的, 自提出以来, 直到1950-1955年, Good等人才开始分别对循环矩阵的逆, 行列式及其特征值进行了相应地研究1-2. 目前有关循环矩阵的问题依然是大家喜欢和热爱研究的一个热点.自1950年以来, 循环矩阵被数学界高度重视, 发展迅速, 各种新的循环矩阵概念也被相继提出, 已有十几种: 如向后循环矩阵, 循环布尔矩阵, -(块)循环矩阵, 循环矩阵, 向后(对称)循环矩阵, 块循环矩阵等等5-7. 许多数学工作者对它进行了大量研究, 得出很多成果. 在线性代数中, 循环矩阵是一种特殊形式的矩阵, 它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果. 由于可以用离散傅立叶变换快速解循环矩阵, 所以在数值分析中有重要的应用.近年来, 循环矩阵类已不断指引着应用数学和矩阵理论领域中的一个非常积极的和重要的研究和学习方向. 而它之所以会吸引数学学者和工作者如此大的兴趣和孜孜不倦的追求, 是因为循环矩阵是一类具有特殊结构, 并且有良好性质的矩阵, 而且也是非常重要的矩阵. 同时它也是应用非常广泛的一类矩阵, 比如在编码理论、理论物理、分子的轨道理论、数理统计与概率、图象数学处理、固态物理、计算结构等很多的方面应用都比较广泛. 同时循环矩阵的逆和特征值问题, 在物理方面的力学振动系统设计, 分子结构理论, 线性多变量控制理论及数值分析等领域中也频繁闪现. 对循环矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分, 且日益成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向. 基于这类矩阵有许多良好的性质和结构, 很有必要对其进行推广并探讨其特殊结构、特殊性质、各种各样的多项式表示形式极小多项式、非奇异性、特征多项式、对角化、谱分解、特征值、逆阵、自反逆、 群逆及逆的各种快速算法等. 目前由于循环矩阵的理论还不是很完善, 而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的, 数学工作者对循环矩阵的研究仍在不停的继续着. 其中循环矩阵的逆矩阵求法是多国数学工作者研究的一个热点.本文在对文献1-8进行深入讨论和研究的基础之上分析总结, 对于矩阵系统中一类非常重要的矩阵-循环矩阵, 又一次从最基本的定义出发详细地综合了以往对循环矩阵的相关研究及结论, 并在其基础上对于以往的结论进行重新证明, 同时继续研究循环矩阵的各种性质. 并且利用矩阵对角化的方法来研究和学习循环矩阵的伴随矩阵, 逆矩阵, 以及行列式的表达方式; 利用范德蒙矩阵对循环矩阵的一个定理给出了推广, 并得到二重循环矩阵(广义循环矩阵）的性质, 即广义循环矩阵(二重循环矩阵)和循环矩阵的相应性质, 随之对循环矩阵的应用性质和进行进一步的讨论.2. 循环矩阵的基本概念及性质2.1 基本概念定义2.1 复数域上形如 (2.1)的矩阵, 称为阶的循环矩阵.定义2.2 设数域上矩阵,由于, ,其中是单位矩阵, 称矩阵为基本循环矩阵. 2.2 循环矩阵的性质性质2.1 令, 则矩阵都是循环矩阵且是线性无关的.证明 从上可知显然是循环矩阵. 下面只要证它们是线性无关的即可. 设, 则因此, 所以是线性无关的.性质2.2 任意的阶循环矩阵(如(2.1)式) 都可以由线性表出, 即.从上可知如果令, 则. 称为阶循环矩阵的生成多项式.性质2.3 设都是数域上阶循环矩阵, 数, 那么也都是阶循环矩阵. 注 性质3表明循环矩阵对于通常的矩阵的加法 数乘矩阵以及矩阵的转置运算都是封闭的. 这里就不加证明了.性质2.4 设都是数域上阶循环矩阵, 那么它们的乘积也是数域上的阶循环矩阵, 并且, 即循环矩阵的乘积仍然是循环矩阵.证明 设,全为阶循环矩阵, 不妨设, 其中, .则,其中. 由于, 所以,其中 , . 所以乘积也是数域上的阶循环矩阵, 并且, 即循环矩阵的乘积仍然是循环矩阵.由性质2.4可得, 如果阶循环矩阵是可逆矩阵, 那么推出性质2.5 若是阶循环矩阵, 且是可逆, 那么也是循环矩阵. 证明 设其中(为待定系数)使得, 即可证明循环矩阵为可逆的循环矩阵. 设 则 由于, 则有下列方程组成立 （2.2）它的系数矩阵为(表示的转置矩阵). 由于可逆, 其中, 由克莱姆法则知, 方程组中有且仅有唯一的解, 即唯一存在, 从而这样的就是的逆矩阵, 且也是循环逆矩阵.推论2.6 设是阶可逆的循环矩阵, 则的伴随矩阵也是循环矩阵.证明 因为是阶可逆的循环矩阵, 所以, 因此由性质2.5知, 是循环矩阵. 由此也是循环矩阵.2.3循环矩阵的对角化引理2.7 基本循环矩阵可以对角化.证明 由于 ,所以.从而它在复数域上有个不同的特征值, 即,.所以基本循环矩阵可以对角化.定理2.8 阶循环矩阵可以对角化.证明 设循环矩阵的生成多项式为.由于, 而矩阵可以对角化, 所以存在可逆阵, 使得其中,即为所有次单位根, 从而有 . 因此阶循环矩阵可以对角化.定理2.9 设循环矩阵如(2.1)式定义, 则循环矩阵可逆的充要条件是方程无单位根.证明 构造取,其中 ,.即为所有次单位根. 由于两两不同, 所以由范德蒙行列式的性质知矩阵是可逆的, 从而其中 因此只要.则, 即矩阵可逆. 即循环矩阵可逆的充要条件是方程无单位根.性质2.10 若是(2.1)所示的复数域上的阶循环矩阵, 设为的生成多项式那么的行列式 , 其中,是全部次单位根, 定理2.11 对于任何一个阶循环矩阵都存在一个阶循环矩阵, 使得与相似. 证明 由定理2.8可知阶循环矩阵可以对角化, 即存在可逆阵, 使得其中是矩阵的特征值. 若能得到的生成多项式, 则A就被唯一确定了. 为此令 . 即 其中. 显然方程组的系数行列式是范德蒙行列式. 由于两两不同, 从而此方程组的系数行列式不等于0, 则由克拉默法则知此方程组有唯一解. 从而的生成多项式被唯一确定. 此时,即, 从而,因此存在循环矩阵与矩阵相似.由定理2.8与定理2.9很容易就可以得到以下推论.推论2.12 任何一个循环矩阵在复数域上都与一个对角矩阵相似.3循环矩阵的推广第2部分主要是分析总结了循环矩阵的部分性质, 并对其性质进行了证明. 但在实际应用中还会遇到分块循环矩阵即准循环矩阵以及广义循环矩阵(二重循环矩阵)等等概念, 下面就讨论这些概念及其相应的性质.3.1 广义循环矩阵定义3.1 数域上的阶循环可以写成阶的分块矩阵,且有 ,其中为矩阵, 称矩阵为准循环矩阵.定义3.2 设数域上的准循环矩阵为, 如果每一个分块矩阵同时都是循环矩阵, 那么称此矩阵为广义循环矩阵.对于上面提到的广义循环矩阵, 利用广义范德蒙矩阵来求广义循环矩阵求行列式的计算方法. 定义3.3 设是阶单位的矩阵,都是阶方阵且两两可以交换, 令矩阵 (3.1)称矩阵为广义范德蒙矩阵. 它的行列式叫做广义的范德蒙行列式.为了能够证明下面的定理3.2首先证明接下来的引理.引理3.1 设矩阵如定义3.3所定义, 则矩阵行列式为.证明 用数学归纳法来证明: 当时, 由于,所以.而 ,所以. 即当时, 结论成立.假设当时, 结论也成立, 则当时, 由于两两可交换, 则 由以上等式可知, 两边同时取行列式且可由假设归纳得 即结论亦同时成立. 可由数学归纳法原理引理3.1对一切自然数都成立.定义3.4 设阶数量方阵,其中,即为所有次单位根. 称,为广义次单位根.定理3.2 阶广义循环矩阵可逆的充要条件是方阵确定的矩阵多项式无广义单位根. 证明 取, 其中如定义3.4所定义, 由于两两不同, 则由引理3.1可知可逆. 显然,其中为阶方阵. 因此以上等式通过矩阵可以表示为因此.其中矩阵 ,. 因此只要都不等于0, 则, 即矩阵可逆. 即循环矩阵可逆的充要条件是方程无广义单位根.可以得到以下推论, 推论中的代表的意义与定理3.2中相同.推论3.3 对于广义循环矩阵, 它的行列式为, 秩.推论3.4 广义循环矩阵相似于对角分块矩阵, 它的特征值是.3.2 循环矩阵循环矩阵与循环对称矩阵在应用数学与其它的学科都有很重要的用途, 本文将给出简单的性质及证明, 同时给出其相应的算法.定义3.5 记称为循环对称矩阵, 简记为, 其中表示循环对称矩阵的集合.定义3.6 数域形如矩阵称矩阵为循环矩阵. 简记为 其中表示循环矩阵的集合. 记并且约定当, (为单位阵).引理3.5 设则引理3.6 矩阵可逆当且仅当 其中称为的关联多项式.定理3.7 设,为的关联多项式,为的全部根(可以相等, ). 若可逆, 则其中是的最高次项系数. 证明 由定义3.5知: , 其中, 又为的根, 那么因为可逆, 由引理知道不是的根, 所以那么存在, 且这样就可以得到: 矩阵的逆矩阵为所求, 证毕.设为的关联多项式, 是的全部根(与可以相等, )则其中为的最高次项系数, 则由定理3.7可知若知道的关联多项式那么用矩阵乘法得到. 但是当方程的次数比较高时它的根就很难求得且次数大于或等于5时, 没有一般的求解表达式. 而当且为偶数时可以采取降阶的算法.设, 可以利用方块变为, 其中是阶矩阵且具有下面的性质: 1) , .2) 若可逆, 则也可逆.3) 若, 则, 即. 令其中为阶矩阵, 从而, 所以.因此.前述算法均可用计算机代数语言在微机上实现.3.3 反循环矩阵在上面讨论的-循环矩阵中当时即为反循环矩阵, 下面我们着重对它的对角化问题进行探讨. 定义3.7 复数域上形如的矩阵称为阶反循环矩阵.定义3.8 阶循环矩阵形如称为基本反循环矩阵. 由上定义我们可以验证, , .其中为阶单位阵, 由以上可知都为阶反循环矩阵.引理3.8 阶循环矩阵可以用基本反循环矩阵的方幂来线性表出. 反过来如果矩阵可以用基本反循环矩阵的方幂线性表示, 那么一定为反循环矩阵.证明 设阶循环矩阵形如定义3.6所示, 取则. 反过来也显然成立. 这样阶循环矩阵可由一个次数不高于的多项式唯一确定, 称为的生成多项式.引理3.9 基本反循环矩阵可以对角化.证明 由于,所以.从而它在复数域上有个不同的特征值, 即,.所以基本循环矩阵可以对角化.定理3.10 反循环矩阵可以对角化. 证明 由引理3.9可知基本反循环矩阵可以对角化, 即存在可逆矩阵, 使得进而可计算得到 .由上可以知, 任何复阶可逆矩阵可使得的方幂同时对角化. 由引理3.8知阶循环矩阵可用的方幂线性表示, 即取, 则. 所以 .因此反循环矩阵是可以对角化的.定理3.11 反循环矩阵必定和循环矩阵相似.证明 设为任一反循环矩阵, 的生成多项式为, 为一循环矩阵, 的生成多项式为. 则由定理3.10可知有一个可逆矩阵, 使得,而由矩阵相似关系的传递原理可知, 要使与相似, 只须与相似, 所以令,所以此方程组的系数组成的矩阵就是,而, 所以线性矩阵方程组存在的唯一解, 此时 故与相似.定理3.12 任一阶循环矩阵可对角化的充要条件是与某一阶反循环矩阵相似.证明 阶循环矩阵可以对角化的充要条件即存在可逆矩阵, 使,令考虑以下关于的线性方程组, 其中系数矩阵为, 由于, 所以存在唯一的. 而阶反循环矩阵是, 故由定理3.10知.即阶循环矩阵与阶反循环矩阵相似. 小结本文主要通过和导师的研究和讨论, 借鉴参考文献更加系统的了解和掌握循环矩阵的性质及其应用推广, 本文很系统的从循环矩阵的定义出发, 重新回顾了循环矩阵的性质并运用大学所学知识, 对循环矩阵的相关的性质进行了重新的证明, 然后推广循环矩阵的性质到广义循环矩阵, 循环矩阵等. 目的在于能更好地掌握和运用数学循环矩阵来解决实际的问题, 本论文反映出数学循环矩阵性质和应用的实际现状. 然后结合国内外的研究成果, 总结一些在我们的数学学习过程中应该注意的问题, 提出要点和方法, 为学习数学打下基础和铺垫.参考文献1 Dan Kalman and James E.White, Polynomial Equations and Circulant MatricesJ, The Mathematical Association of America, 2001.11(18), 821-8402 Philip Davis, Circulant MatricesM, Wiley, New York, 1979, 12-253 张盛虞, 关于循环矩阵的一些性质J, 赣南东南民族师范高等专科学校学报, 2006.12 第24卷第6期4 吴世轩, 循环矩阵的若干性质及应用J, 南方冶金学院学报, 2002年1月第23卷第1期5 徐春, 一类特殊矩阵的性质及求逆方法, 科技传播J, 2010.116 李天增, 王瑜, 循环矩阵的性质及求逆方法J, 四川理工学院学报(自然科学版), 2009 年8月第22卷第4期7 赵立宽, 岳晓鹏, 杜学知, 关于