有关一次函数和不等式

利用不等式 组 和一次函数解决方案问题利用不等式 组 和一次函数解决方案问题 楼底中学楼底中学 池景景池景景 设计方案问题是近几年来各地中考的热点问题 在有关方案问题中 根据问题中的条 件及相应条件下的结论给出进一步解释 预测 估计 判断 从而得出决策是这类试题的 题型特点 方案问题类型更多 主要为利用不等式 组 函数 统计等知识对实际问题进 行决策 方案问题不仅考查了学生对知识的驾驭能力 同时也考查了学生知识的延伸能力 和拓展能力 题目多以解答题为主 河北省方案问题多是利用一次函数和不等式 组 解 决实际问题 所占分值大约 12 分 下面略举几例加以说明 以期抛砖引玉 希望同学们能 悉心体会 掌握此类问题的一般的解题思路 一 不等关系容易确定一 不等关系容易确定 例 1 07 南充 某商店需要购进一批电视机和洗衣机 根据市场调查 决定电视机进 货量不少于洗衣机的进货量的一半 电视机与洗衣机的进价和售价如下表 类 别电视机洗衣机 进价 元 台 18001500 售价 元 台 20001600 计划购进电视机和洗衣机共 100 台 商店最多可筹集资金 161 800 元 1 请你帮助商店算一算有多少种进货方案 不考虑除进价之外的其它费用 2 哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多 并求出最 多利润 利润 售价 进价 解解 1 设商店购进电视机 x 台 则购进洗衣机 100 x 台 根据题意 得 解不等式组 得 x 1 100 2 18001500 100 161800 xx xx 1 33 3 1 39 3 即购进电视机最少 34 台 最多 39 台 商店有 6 种进货方案 2 设商店销售完毕后获利为 y 元 根据题意 得 y 2000 1800 x 1600 1500 100 x 100 x 10000 100 0 当 x 最大时 y 的值最大 即 当 x 39 时 商店获利最多为 13900 元 解题分析解题分析 此题不等关系非常明确 决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量 的一半 计划购进电视机和洗衣机共 100 台 商店最多可筹集资金 161 800 元 因 此不等式组容易确定 2 可以求出每种方案的利润 然后比较 得出最多利润方案及最 多利润 但最好是掌握建立函数关系 利用函数关系的增减性确定最多利润方案及最多利 润 这样即使在方案很多的情况下也能简便的得到结果 二 不等关系隐含二 不等关系隐含 一 有关消耗问题有关消耗问题 例 2 2007 山东青岛 某饮料厂开发了 A B 两种新型饮料 主要原料均为甲和乙 每瓶饮料中甲 乙的含量如下表所示 现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产 计划生 产 A B 两种饮料共 100 瓶 设生产 A 种饮料 x 瓶 解答下列问题 1 有几种符合题意的生产方案 写出解答过程 2 如果 A 种饮料每瓶的成本为 2 60 元 B 种饮料每瓶的成本为 2 80 元 这两种饮 料成本总额为 y 元 请写出 y 与 x 之间的关系式 并说明 x 取何值会使成本总额最低 解 设生产 A 种饮料 x 瓶 根据题意得 解这个不等式组 得 20 x 40 因为其中正整数解共有 21 个 所以符合题意的生产方案有 21 种 根据题意 得 y 2 6x 2 8 100 x 整理 得 y 0 2x 280 k 0 2 0 y 随 x 的增大而减小 当 x 40 时成本总额最低 解题分析 解题分析 在此题 1 中不等关系不明确 需要学生根据实际得出 A B 两种饮料 所耗费的甲种原料应不多于库存 2800 克 耗费的乙种原料应不多于库存 2800 克 由此确 定不等式组 获得方案 另外考查问题的角度是分别耗费甲 乙两种原料质量 千万不要 得出 28004020 40 30 28004020 xx xx 2 利用一次函数及增减性确定最佳方案 二 有关运输问题 二 有关运输问题 例 3 08 四川绵阳 绵阳市 全国文明村 江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨 桃子 12 吨 现计划租用甲 乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售 已知一辆甲种货 车可装枇杷 4 吨和桃子 1 吨 一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨 1 王灿如何安排甲 乙两种货车可一次性地运到销售地 有几种方案 2 若甲种货车每辆要付运输费 300 元 乙种货车每辆要付运输费 240 元 则果农王 灿应选择哪种方案 使运输费最少 最少运费是多少 解 解 1 设安排甲种货车 x 辆 则安排乙种货车 8 x 辆 依题意 得 4x 2 8 x 20 且 x 2 8 x 12 解此不等式组 得 x 2 且 x 4 即 2 x 4 x 是正整数 x 可取的值为 2 3 4 因此安排甲 乙两种货车有三种方案 原料名称 饮料名称 甲乙 A20 克40 克 B30 克20 克 2030 100 2800 4020 100 2800 xx xx 甲种货车乙种货车 方案一2 辆6 辆 方案二3 辆5 辆 方案三4 辆4 辆 2 方案一所需运费 300 2 240 6 2040 元 方案二所需运费 300 3 240 5 2100 元 方案三所需运费 300 4 240 4 2160 元 所以王灿应选择方案一运费最少 最少运费是 2040 元 解题分析解题分析 此题不等关系也不明确 应由实际可得车辆运送的枇杷和桃子重量不少于实际的 数量 三 有关派送问题 三 有关派送问题 08 重庆 27 10 分 为支援四川抗震救灾 重庆市三地现分别有赈灾物资ABC 100 吨 100 吨 80 吨 需要全部运往四川重灾地区的两县 根据灾区的情况 这DE 批赈灾物资运往县的数量比运往县的数量的 2 倍少 20 吨 DE 1 求这批赈灾物资运往两县的数量各是多少 DE 2 若要求地运往县的赈灾物资为 60 吨 地运往县的赈灾物资为吨 为CDADxx 整数 地运往县的赈灾物资数量小于地运往县的赈灾物资数量的 2 倍 其余的BDAD 赈灾物资全部运往县 且地运往县的赈灾物资数量不超过 25 吨 则两地的EBEAB 赈灾物资运往两县的方案有几种 请你写出具体的运送方案 DE 3 已知三地的赈灾物资运往两县的费用如下表 ABC DE 地A地B地C 运往县的费用 元 吨 D220200200 运往县的费用 元 吨 E250220210 为及时将这批赈灾物资运往两县 某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用 在DE 2 问的要求下 该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少 27 解 1 设这批赈灾物资运往县的数量为吨 运往县的数量为吨 1 分 DaEb 由题意 得 2 分 280 220 ab ab 解得 3 分 180 100 a b 答 这批赈灾物资运往县的数量为 180 吨 运往县的数量为 100 吨 4 分 DE 2 由题意 得 5 分 1202 2025 xx x 解得即 40 45 x x 4045x 为整数 的取值为 41 42 43 44 45 6 分 x x 则这批赈灾物资的运送方案有五种 具体的运送方案是 方案一 地的赈灾物资运往县 41 吨 运往县 59 吨 ADE 地的赈灾物资运往县 79 吨 运往县 21 吨 BDE 方案二 地的赈灾物资运往县 42 吨 运往县 58 吨 ADE 地的赈灾物资运往县 78 吨 运往县 22 吨 BDE 方案三 地的赈灾物资运往县 43 吨 运往县 57 吨 ADE 地的赈灾物资运往县 77 吨 运往县 23 吨 BDE 方案四 地的赈灾物资运往县 44 吨 运往县 56 吨 ADE 地的赈灾物资运往县 76 吨 运往县 24 吨 BDE 方案五 地的赈灾物资运往县 45 吨 运往县 55 吨 ADE 地的赈灾物资运往县 75 吨 运往县 25 吨 BDE 7 分 3 设运送这批赈灾物资的总费用为元 由题意 得w 220250 100 200 120 220 20 200 60210 20wxxxx 9 分 1060800 x 因为随的增大而减小 且 为整数 wx4045x x 所以 当时 有最大值 则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为 41x w 元 10 分 60930w 解题分析 解题分析 此题难点在第 2 3 问 其关键是把派送方案弄清 做题时 可以画表格 把派送情况分析清楚 如 2 赈灾物资派送方案情况如下表 地A地B地 C合计 运往县数量 吨 Dx 2x 60180 运往 E 县数量 吨 100 x 25 80 60 2