高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)

慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 1 慧诚教育慧诚教育 20172017 年秋季高中数学讲义年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习必修一第一章复习 知识点一 集合的概念 1 集合 一般地 把一些能够 对象看成一个整体 就说这个整体是由这些对象 构成的集 合 或集 通常用大写拉丁字母 A B C 来表示 2 元素 构成集合的 叫做这个集合的元素 通常用小写拉丁字母 a b c 来表示 3 空集 不含任何元素的集合叫做空集 记为 知识点二 集合与元素的关系 1 属于 如果 a 是集合 A 的元素 就说 a 集合 A 记作 a A 2 不属于 如果 a 不是集合 A 中的元素 就说 a 集合 A 记作 a A 知识点三 集合的特性及分类 1 集合元素的特性 2 集合的分类 1 有限集 含有 元素的集合 2 无限集 含有 元素的集合 3 常用数集及符号表示 名称非负整数集 自然数集 整数集实数集 符号NN 或 N ZQR 知识点四 集合的表示方法 1 列举法 把集合的元素 并用花括号 括起来表示集合的方法叫做列举法 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 2 2 描述法 用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法 知识点五 集合与集合的关系 1 子集与真子集 定义符号语言 图形语言 Venn 图 子集 如果集合 A 中的 元素 都是集合 B 中的元素 我们就 说这两个集合有包含关系 称 集合 A 为集合 B 的子集 或 真子集 如果集合 A B 但存在元素 且 我们 称集合 A 是集合 B 的真子集 或 2 子集的性质 1 规定 空集是 的子集 也就是说 对任意集合 A 都有 2 任何一个集合 A 都是它本身的子集 即 3 如果 A B B C 则 4 如果 AB BC 则 3 集合相等 定义符号语言 图形图言 Venn 图 集合相等 如果集合 A 是集合 B 的子 集 A B 且 此时 集合 A 与集合 B 中的元素 是一样的 因此 集合 A 与集合 B 相等 A B 4 集合相等的性质 如果 A B B A 则 A B 反之 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 3 知识点六 集合的运算 1 交集 自然语言符号语言图形语言 由 组成的集合 称为 A 与 B 的交集 A B 2 并集 自然语言符号语言图形语言 由 组 成的集合 称为 A 与 B 的并集 A B 3 交集与并集的性质 交集的运算性质并集的运算性质 A B A B A A A A A A A B A B A B A B 4 全集 在研究集合与集合之间的关系时 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 那么就称这个集 合为全集 通常记作 5 补集 文字语言 对于一个集合 A 由全集 U 中 的所有元素组成的集 合称为集合 A 相对于全集 U 的补集 记作 符号语言 UA 图形语言 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 4 典例精讲典例精讲 题型一题型一 判断能否构成集合判断能否构成集合 1 在 高一数学中的难题 所有的正三角形 方程 x2 2 0 的实数解 中 能够构成集合的是 题型二题型二 验证元素是否是集合的元素验证元素是否是集合的元素 1 已知集合 ZnZmnmxxA 22 求证 1 3A 2 偶数 4k 2 kZ 不属于 A 2 集合 A 是由形如的数构成的 判断是不是集合 A 中的元素 ZnZmnm 3 32 1 题型三题型三 求集合求集合 1 方程组Error Error 的解集是 A Error Error B x y x 3 且 y 7 C 3 7 D x y x 3 且 y 7 2 下列六种表示法 x 1 y 2 x y x 1 y 2 1 2 1 2 1 2 x y x 1 或 y 2 能表示方程组Error Error 的解集的是 A B C D 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 5 3 数集 A 满足条件 若 a A 则 A a 1 若 A 求集合中的其他元素 1 a 1 a 1 3 4 已知 x y z 为非零实数 代数式 的值所组成的集合是 M 用列举法表示集合 M 为 x x y y z z xyz xyz 题型四题型四 利用集合中元素的性质求参数利用集合中元素的性质求参数 1 已知集合 S a b c 中的三个元素是 ABC 的三边长 那么 ABC 一定不是 A 锐角三角形B 直角三角形 C 钝角三角形D 等腰三角形 2 设 a b R 集合 1 a b a 则 b a 0 b a b 3 已知 P x 2 x k x N k R 若集合 P 中恰有 3 个元素 则实数 k 的取值范围是 4 已知集合 A x ax2 3x 2 0 1 若 A 是单元素集合 求集合 A 2 若 A 中至少有一个元素 求 a 的取值范围 5 已知集合 A 是由 0 m m2 3m 2 三个元素组成的集合 且 2 A 则实数 m 的值为 A 2B 3 C 0 或 3D 0 或 2 或 3 6 2016 浙江镇海检测 已知集合 A 是由 0 m m2 3m 2 三个元素构成的集合 且 2 A 则实数 m 题型五题型五 判断集合间的关系判断集合间的关系 1 设 则 M 与 N 的关系正确的是 Zk k xxM 4 1 2 Zk k xxN 2 1 4 A M N B NM C D 以上都不对NM 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 6 2 判断下列集合间的关系 1 A x x 3 2 B x 2x 5 0 2 A x Z 1 x 3 B x x y y A 3 已知集合 M x x m m Z N x x n Z P x x p Z 试确定 1 6 n 2 1 3 p 2 1 6 M N P 之间的关系 题型六题型六 求子集个数求子集个数 1 已知集合 A x ax2 2x a 0 a R 若集合 A 有且仅有 2 个子集 则 a 的取值构成的集合为 题型七题型七 利用两个集合之间的关系求参数利用两个集合之间的关系求参数 1 已知集合 A 1 2 m3 B 1 m B A 则 m 2 已知集合 A 1 2 B x ax 2 0 若 B A 则 a 的值不可能是 A 0B 1 C 2D 3 3 设集合 A x 2 x 5 B x m 1 x 2m 1 1 若 B A 求实数 m 的取值范围 2 当 x Z 时 求 A 的非空真子集个数 3 当 x R 时 不存在元素 x 使 x A 与 x B 同时成立 求实数 m 的取值范围 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 7 题型八题型八 集合间的基本运算集合间的基本运算 1 下面四个结论 若 a A B 则 a A 若 a A B 则 a A B 若 a A 且 a B 则 a A B 若 A B A 则 A B B 其中正确的个数为 A 1 B 2 C 3D 4 2 已知集合 M x 33 则 M N A x x 3 B x 3 x 5 C x 30 则 S T A 2 3 B 2 3 C 3 D 0 2 3 5 下列关系式中 正确的个数为 M N N M N M N M N N 若 M N 则 M N M A 4B 3 C 2D 1 6 设 U 0 1 2 3 A x U x2 mx 0 若 UA 1 2 则实数 m 7 2016 唐山一中月考试题 已知全集 U x x 4 集合 A x 2 x4 B x 6 x 6 求 A A B 和 B B A 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 10 知识点一 函数的有关概念 知识点二 两个函数相等的条件 1 定义域 2 完全一致 知识点三 区间的概念及表示 1 一般区间的表示 设 a b R 且 a b 规定如下 定义名称符号数轴表示 x a x b 闭区间 x a x b 开区间 x a x b 半开半闭区间 x aa x x a x x a 符号 a a a a 知识点四 函数的表示方法 函数的三种表示法 解析法 图象法 列表法 知识点五 分段函数 如果函数 y f x x A 根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围 有着不同的 那么称这样的函数 为分段函数 分段函数是一个函数 分段函数的定义域是各段定义域的 值域是各段值域的 知识点六 映射的概念 设 A B 是两个 如果按某一个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的 在集合 B 中都有 确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 知识点七 函数的单调性 1 增函数 减函数 设函数 f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说函数 f x 在区间 D 上是增函数 当 x1f x2 那么就说函数 f x 在区间 D 上是减函数 2 函数的单调性 若函数 f x 在区间 D 上是增 减 函数 则称函数 f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 区间 D 叫做 f x 的单调区间 3 单调性的常见结论 若函数 f x g x 均为增 减 函数 则 f x g x 仍为增 减 函数 若函数 f x 为增 减 函 数 则 f x 为减 增 函数 若函数 f x 为增 减 函数 且 f x 0 则为减 增 函数 1 f x 知识点八 函数的最大值 最小值 最值 类别 最大值最小值 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 条件 1 对于任意的 x I 都有 2 存在 x0 I 使得 1 对于任意的 x I 都有 2 存在 x0 I 使得 结论M 是函数 y f x 的最大值M 是函数 y f x 的最小值 性质 定义在闭区间上的单调函数 必有最大 小 值 知识点九 函数的奇偶性 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 12 1 函数奇偶性的概念 偶函数奇函数 对于函数 f x 的定义域内任意一个 x 都有 条件 f x f x f x f x 结论函数 f x 是偶函数函数 f x 是奇函数 2 性质 1 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称 2 奇函数在对称的区间上单调性相同 偶函数在对称的区间上单调性相反 3 在定义域的公共部分内 两个奇函数之积与商 分母不零 为偶函数 两个奇函数之和为奇函数 两个偶 函数的和 积与商为偶函数 一奇一偶函数之积与商 分母不为零 为奇函数 例 1 2016 年 10 月学考 函数 f x ln x 3 的定义域为 A x x 3 B x x 0 C x x 3 D x x 3 例 2 2016 年 4 月学考 下列图象中 不可能成为函数 y f x 图象的是 例 3 已知函数 f x Error 则 f f 3 f x 的单调递减区间是 例 4 2015 年 10 月学考 已知函数 f x g x ax 1 其中 a 0 若 f x 与 g x 的图象有两 x a x a 2 个不同的交点 则 a 的取值范围是 例 5 已知函数 f x Error 满足对任意的 x1f x2 求 a 的取值范围 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 13 例 6 2016 年 4 月学考改编 已知函数 f x 1 x 1 1 x 3 1 设 g x f x 2 判断函数 g x 的奇偶性 并说明理由 2 求证 函数 f x 在 2 3 上是增函数 例 7 2015 年 10 月学考 已知函数 f x ax a R 1 x 1 1 x 1 1 判断函数 f x 的奇偶性 并说明理由 2 当 a 2 时 证明 函数 f x 在 0 1 上单调递减 例 8 2016 年 10 月学考 设函数 f x 的定义域为 D 其中 a 1 1 x 1 a 2 1 当 a 3 时 写出函数 f x 的单调区间 不要求证明 2 若对于任意的 x 0 2 D 均有 f x kx2成立 求实数 k 的取值范围 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 14 一 选择题 1 函数 f x 的定义域为 1 2x 1 x 3 A 3 0 B 3 1 C 3 3 0 D 3 3 1 2 下列四组函数中 表示同一个函数的是 A y 与 y x 2x3 2x B y 2与 y x x C y 与 y x 1x 1 x 1 x 1 D f x x2 2x 1 与 g t t2 2t 1 3 若函数 y f x 的定义域为 M x 2 x 2 值域为 N y 0 y 2 则函数 y f x 的图象可能是 4 已知 f x 是一次函数 且 ff x x 2 则 f x 等于 A x 1B 2x 1 C x 1D x 1 或 x 1 5 设集合 A x 0 x 6 B y 0 y 2 从 A 到 B 的对应法则 f 不是映射的是 A f x y xB f x y x 1 2 1 3 C f x y xD f x y x 1 4 1 6 6 已知 f x 是奇函数 g x 是偶函数 且 f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 则 g 1 等于 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 15 A 4B 3C 2D 1 7 若函数 y ax 1 在 1 2 上的最大值与最小值的差为 2 则实数 a 的值为 A 2B 2C 2 或 2D 0 8 偶函数 f x x R 满足 f 4 f 1 0 且在区间 0 3 与 3 上分别递减和递增 则不等式 x f x 0 的解集为 11 若关于 x 的不等式 x2 4x a 0 在 1 3 上恒成立 则实数 a 的取值范围为 三 解答题 12 已知函数 f x 的图象经过点 1 3 并且 g x xf x 是偶函数 1 ax2 x b 1 求函数中 a b 的值 2 判断函数 g x 在区间 1 上的单调性 并用单调性定义证明 13 已知二次函数 f x ax2 2ax 2 b 在区间 2 3 上有最大值 5 最小值 2 1 求 f x 的解析式 2 若 b 1 g x f x mx 在 2 4 上为单调函数 求实数 m 的取值范围 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 16 答案精析答案精析 知识条目排查 知识点一 1 确定的不同的 全体 2 每个对象 知识点二 1 属于 2 不属于 知识点三 1 确定性 互异性 无序性 2 1 有限个 2 无限个 3 正整数集 有理数集 知识点四 1 一一列举出来 2 共同特征 知识点五 1 任意一个 A B B A x B x A A B B A 2 1 任何集合 A 2 A A 3 A C 4 A C 3 集合 B 是集合 A 的子集 B A 4 如果 A B 则 A B 且 B A 知识点六 1 属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 x x A 且 x B 2 所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素 x x A 或 x B 3 B A B A A A A A B 4 所有元素 U 5 不属于集合 A UA x x U 且 x A 题型分类示例 例 1 D 例 2 A A B 2 B 则 a 2 例 3 4 解析 全集 U 2 3 4 集合 A 2 3 UA 4 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 17 例 4 A A B A A B A 1 2 B 1 m 3 m 2 故选 A 例 5 B 由 B 中不等式变形得 x 2 x 4 0 解得 x2 即 B 4 2 A 2 3 A B 4 2 故选 B 例 6 C 图中的阴影部分是 M P 的子集 不属于集合 S 属于集合 S 的补集 即是 IS 的子集 则阴影部分所表示的集合是 M P IS 故选 C 例 7 A A x 1 3x 81 x 0 x 4 B x log2 x2 x 1 x x2 x 2 x x2 A B x 2 x 4 2 4 考点专项训练 1 B 集合 A x 1 x 5 Z 为整数集 则集合 A Z 1 2 3 4 5 集合 A Z 中元素的个数是 5 故选 B 2 C 由 x2 5x 6 0 解得 x 3 或 x 2 又集合 A x 1 x 1 A B 故选 C 3 D 4 C 5 A UB 2 4 5 7 A UB 3 4 5 2 4 5 7 4 5 故选 A 6 A 因为全集 U 1 1 3 集合 A a 2 a2 2 且 UA 1 所以 1 3 是集合 A 中的元素 所以Error 或Error 由Error 得 a 1 由Error 得 a 无解 所以 a 1 故选 A 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 18 7 D A x x2 8x 15 0 3 5 B A B 或 3 或 5 若 B 时 a 0 若 B 3 则 a 1 3 若 B 5 则 a 1 5 故 a 或 或 0 故选 D 1 3 1 5 8 D 集合 A x x2 16 x x 4 或 x 4 B m 且 A B A B A m 4 或 m 4 实数 m 的取值范围是 4 4 故选 D 9 1 2 10 0 1 解析 A 1 a x x a x b 0 解得 x 0 或 a 或 b 若 A B 则 a 0 b 1 11 4 解析 全集 U x Z 2 x 4 2 1 0 1 2 3 4 A 1 0 1 2 3 UA 2 4 B UA 则集合 B 2 4 2 4 因此满足条件的集合 B 的个数是 4 12 1 解析 由 x2 x 0 解得 0 x0 A B a 1 13 3 解析 由 x 2 a 可得 2 a x0 A 2 a 2 a a 0 由 x2 2x 3 0 解得 1 x1 时 f x 递减 f x 在 1 上递减 例 4 0 1 解析 由题意得 f x Error 在平面直角坐标系内分别画出 0 a1 时 函数 f x g x 的图象 由图易得当 f x g x 的图象有两个交点时 有Error 解得 0 a 1 a 的取值范围为 0 a 1 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 21 例 5 解 由题意知 f x 为减函数 0 a 1 且 a 3 0 且 a0 a 3 0 4a 0 a 1 4 例 6 1 解 f x 1 x 1 1 x 3 g x f x 2 1 x 1 1 x 1 g x 1 x 1 1 x 1 g x 1 x 1 1 x 1 又 g x 的定义域为 x x 1 且 x 1 y g x 是偶函数 2 证明 设 x1 x2 2 3 且 x1 x2 f x1 f x2 1 x1 1 1 x1 3 1 x2 1 1 x2 3 2 x1 x2 x1 x2 4 x1 1 x1 3 x2 1 x2 3 x1 x2 2 3 且 x1 x2 x1 x20 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 22 x1 1 x1 3 x2 1 x2 3 0 综上得 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 函数 f x 在 2 3 上是增函数 例 7 1 解 因为 f x ax 1 x 1 1 x 1 ax 1 x 1 1 x 1 f x 又因为 f x 的定义域为 x R x 1 且 x 1 所以函数 f x 为奇函数 2 证明 任取 x1 x2 0 1 设 x1 x2 则 f x1 f x2 a x1 x2 x2 x1 x1 1 x2 1 x2 x1 x1 1 x2 1 x1 x2 a 1 x1 1 x2 1 1 x1 1 x2 1 x1 x2 a 2 x1x2 1 x o al 2 1 1 x o al 2 2 1 因为 0 x1 x22 0 x 1 x 1 2 a 2 x1x2 1 x o al 2 1 1 x o al 2 2 1 所以 a 0 2 x1x2 1 x o al 2 1 1 x o al 2 2 1 又因为 x1 x2f x2 所以函数 f x 在 0 1 上单调递减 例 8 解 1 单调递增区间是 1 单调递减区间是 1 2 当 x 0 时 不等式 f x kx2成立 当 x 0 时 f x kx2等价于 k 1 x x 1 a 2 设 h x x x 1 a Error 当 a 1 时 h x 在 0 2 上单调递增 所以 0 h x h 2 慧诚教育慧诚教育 中小学生课外辅导专家 23 即 0 h x 2 1 a 故 k 1 4 1 a 2 当 1 a 0 时 h x 在 0 上单调递增 在 1 上单调递减 在 1 2 上单调递增 1 a 2 1 a 2 因为 h 2 2 2a h 1 a 2 4 1 a 2 即 0 h 1 a 2 4 1 a 2 所以 a h x 2 2a 且 h x 0 当 0 a 时 因为 2 2a a 2 3 所以 k 1 4 1 a 2 当 a 1 时 因为 2 2a a 2 3 所以 k 1 a2 综上所述 当 a 时 k 2 3 1 4 1 a 2 当 a 1 时 k 2 3 1 a2 考点专项训练 1 A 要使函数有意义 则Error 即Error 故 31 后者为 x 1 或 x 1 定义域不同 在 D 选项中 两个函数是同一个函数