浅谈几何变换与辅助线.doc

浅谈几何变换与辅助线一 几何变换 1872年德国数学家教育学家克莱因建议几何学应按变换群分类，把几何学定义为在某种变换群下，研究图形的不变性质与不变量的一门学科。 按几何学的群论原则 , 每种变换群对应的一门几何学。等长变换和相似变换构成群G2,它对应初等几何学( 欧氏几何)；仿射变换群G1对应仿射几何学;射影变换群G对应摄影几何学。这三个群有 : G2 G 1 G 的关系 。 二 初等几何变换 初等几何就是在移动、相似变换群下研究图形的不变性质与不变量的几何学。初等几何变换只改变图形的位置和大小，不改变图形的形状。1.合同变换，若将一个图形F，经过某种变换而变为与自己合同的图形F，那么这种变换叫做合同变换或者移置，这种变换只改变图形位置。合同变换有下列三种：（1）平移、（2）旋转、（3）轴对称变换。2. 相似变换，若将一个图形F，经过某种变换变成与自己相似的图形F，那么这种变换称为相似变换，这种变换改变图形大小，不改变形状。位似变换是一种特殊的相似变换。三 中学大纲要求1. 通过具体实例认识平移和旋转，探索平移和旋转的基本性质。2. 在直角坐标系中，能写出已知顶点坐标的多边形沿一条坐标轴或依次沿两条坐标平移后顶点坐标，并知道对应坐标之间的关系，体会图形顶点坐标的变化。3. 了解图形位似的概念，知道利用位似把图形放大或缩小。4. 在直角坐标系中，探索将有一个顶点为原点，有一条边在横坐标轴上的多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时，所对应图形的位似关系。5. 让学生认识和欣赏平移与旋转在自然界和现实生活中的应用，进一步发展空间观念，感受图形变换的美学价值。四 几何变换与辅助线 几何变换就是采用运动的观点研究几何图形的性质，它在证明题、求轨迹、解作图等方面有着广泛的应用。 解证几何题，除少数简单题目外，一般都需要添加辅助线。有很多几何题的条件和结论分布在不同的图形里，位置分散，关系松懈，不容易发现它们之间的内在联系。因而需要将其中一部分元素移动，使条件集中便于推证，反之，若条件过于集中，也要使之分散。这种移动需要借助辅助线来实现,而辅助线的重要思维来源就是初等几何变换。1 平移 把图形F上的所有点沿着相同的方向移动相同的距离而得到的合同图形F，这一过程叫做平移。 例1 以ABC三中线为边构成ABC,又以ABC三中线为边，A”B”C”,求证ABC A”B”C”,相似比是4:3.引导：本题由于三角形三条中线相交于点G，要以三条中线构成三角形必须使其分散。G是重心，是三条中线的分隔点，有GD=AD，先考虑ABC的边，注意到CG是AB边上中线的，能否构造CGE与ABC相似，且相似比是2:3.做辅助线BG平移到CE,四边形BGCE是平行四边形。BDG+GDC=180，又BDG=EDC,故GDC+CDE=180，所以D D E三点共线，又平行四边形对角线互相平分，故GD=DE,GE=AD,因此CGE各边长等于ABC各边长的倍，因此CGE ABC，相似比是2:3，CD是CGE的中线，CD=BC,所以ABC一条中线等于BC，另外两边通过相同方法可以得到相同结论，得证。证明：将GB平移到CE，则BGCE是平行四边形，其对角线互相平分与点D，所以 GEC各边是 ABC各中线的，即相似。由于GEC的中线CD= CB,可见ABC的一条中线等于 BC,其他边方法类似，故得证。2 旋转 如果将图形F上各点绕一定点O旋转同一角度得到合同图形，这种变换叫旋转，O叫旋转中心，叫旋转角。当=180时的旋转叫半周旋转，也叫中心反射或中心对称旋转。 例2 设三角形是正三角形，P是三角形外任一点，求证PB+PCPA.引导：三条线段比较关系，要转化到同一三角形中，要证与的关系，应旋转，旋转多少度呢？有是正三角形，自然想到旋转60，构造出正三角形。证明：BPC绕点B逆时针旋转60成BPA ，连结PP。易知PB=PB, PBP=60，故PBP为等边三角形，PP=PB,PA=PC,在PPA中，PA+PPPA,即PB+PCPA。 3 轴对称变换 把图形F变换成关于定直线l成轴对称的图形的过程叫轴对称变换或轴反射，l叫反射轴。 例3 ABD=ACD=60，ADB=90-BDC,求证AB=AC引导：证明两边相等，考虑转化到同一三角形中，题目给出的都是角的关系，通过角证边。注意到条件ADB=90-BDC，自然可变式为ADBBDC=90，即2ADBBDC=180，是一平角，故延长CD至B，又注意到ADB=ADB，因此应轴对称变换，以AD为轴，做ADB的轴对称图形ADB证明：作ABD关于直线AD的对称图形ABD，由对称知AB=AB, ADB+ADB+BDC=180，C、D、B共线，又ABD=ABD=ACD=60，AC=AB,故AB=AC。4 位似变换 如果图形在变换时，使图形上任意一对对应点M和M满足：（1）点M和M的连线都经过定点S；（2） SM/SM=K,(K为非零常数)。 则称这种变换为位似变换，点M称为点M关于点S的位似点，定点S叫做位似中心，K叫做位似比或位似系数。K0时叫正位似，K0时叫反位似。在位似变换下的两个图形F和F称为位似形。5 相似变换 由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。一个图形经过相似变换得到的新图像叫相似形。此时位似变换中的位似比称为相似比。 例5 证明（托勒密定理）圆内接四边形中两对角线之积等于两双对边乘积之和。 引导：圆内接四边形有同弧所对圆周角相等的性质，要证明ABCD+ADBC=ACBD，注意到BD=BE+DE,即 ABCD+ADBC=AC（BE+DE），通过相似可得到此关系式，故目的是应该找相似。注意到ABD=ACD,故E点应该使BAE=CAD，这样可得到ABEACDABCD=ACBE.下一个式子是ADBC=ACDE,即需证明ADEACB。证明：如图，在圆内接四边形ABCD中，要证明ABCD+ADBC=ACBD.作射线AE交BD与E使BAE=CAD,又ABD=ACD，于是ABEACD,又BAC=EAD,ADE=BCA，得 ADEACB,ABCD=ACBE,ADBC=ACED,两式相加又BE+ED=BD得证。4 总结 中学平面几何千变万化，做辅助线