培优训练之《直线与圆的位置关系、切线》专题

第 1 页 共 12 页 直线与圆的位置关系 切线直线与圆的位置关系 切线 培优训练培优训练 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 12 小题 小题 1 2013 杨浦区二模 O 的半径为 R 直线 l 与 O 有公共点 如果圆心到直线 l 的距离为 d 那么 d 与 R 的大 小关系是 B A d RB d RC d RD d R 考点 直线与圆的位置关系 菁优网版权所有 专题 探究型 分析 直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可 解答 解 直线 l 与 O 有公共点 直线与圆相切或相交 即 d R 故选 B 点评 本题考查的是直线与圆的位置关系 即判断直线和圆的位置关系 设 O 的半径为 r 圆心 O 到 直线 l 的距离为 d 当 d r 时 直线 l 和 O 相交 当 d r 时 直线 l 和 O 相切 当 d r 时 直线 l 和 O 相离 2 2014 嘉定区一模 已知 O 的半径长为 2cm 如果直线 l 上有一点 P 满足 PO 2cm 那么直线 l 与 O 的位置 关系是 D A 相切B 相交C 相离或相切D 相切或相交 考点 直线与圆的位置关系 菁优网版权所有 分析 根据直线与圆的位置关系来判定 判断直线和圆的位置关系 直线 l 和 O 相交 d r 直 线 l 和 O 相切 d r 直线 l 和 O 相离 d r 分 OP 垂直于直线 l OP 不垂直直线 l 两种情 况讨论 解答 解 当 OP 垂直于直线 l 时 即圆心 O 到直线 l 的距离 d 2 r O 与 l 相切 当 OP 不垂直于直线 l 时 即圆心 O 到直线 l 的距离 d 2 r O 与直线 l 相交 故直线 l 与 O 的位置关系是相切或相交 故选 D 点评 本题考查直线与圆的位置关系 解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小关系完 成判定 3 2013 宝应县二模 在平面直角坐标系中 以点 3 5 为圆心 r 为半径的圆上有且仅有两点到 x 轴所在直 线的距离等于 1 则圆的半径 r 的取值范围是 D A r 4B 0 r 6C 4 r 6D 4 r 6 考点 直线与圆的位置关系 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 根据题意可知 本题其实是利用圆与直线 y 1 和直线 y 1 之间的位置关系来求得半径 r 的取值 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 2 页 共 12 页 范围 根据相离时半径小于圆心到直线的距离 相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得 r 的范围 解答 解 根据题意可知到 x 轴所在直线的距离等于 1 的点的集合分别是直线 y 1 和直线 y 1 若以点 3 5 为圆心 r 为半径的圆上有且仅有两点到 x 轴所在直线的距离等于 1 那么该圆与直线 y 1 必须是相交的关系 与直线 y 1 必须是相离的关系 所以 r 的取值范围是 5 1 r 5 1 即 4 r 6 故选 D 点评 解决本题要认真分析题意 理清其中的数量关系 看似求半径与 x 轴之间的关系 其实是利用 圆与直线 y 1 和直线 y 1 之间的位置关系来求得半径 r 的取值范围 4 2014 张家港市模拟 如图 O 与 Rt ABC 的斜边 AB 相切于点 D 与直角边 AC 相交于点 E 且 DE BC 已知 AE 2 AC 3 BC 6 则 O 的半径是 D A 3B 4C 4D 2 考点 切线的性质 圆周角定理 相似三角形的判定与性质 射影定理 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 延长 EC 交圆于点 F 连接 DF 则根据 90 的圆周角所对的弦是直径 得 DF 是直径 根据射影定 理先求直径 再得半径 解答 解 延长 EC 交圆于点 F 连接 DF 则根据 90 的圆周角所对的弦是直径 得 DF 是直径 DE BC ADE ABC 则 DE 4 在直角 ADF 中 根据射影定理 得 EF 4 根据勾股定理 得 DF 4 则圆的半径是 2 故选 D 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 3 页 共 12 页 点评 此题要能够通过作辅助线 把直径构造到直角三角形中 熟练运用相似三角形的性质 圆周角定 理的推论以及射影定理和勾股定理 5 2013 青岛 直线 l 与半径为 r 的 O 相交 且点 O 到直线 l 的距离为 6 则 r 的取值范围是 C A r 6B r 6C r 6D r 6 考点 直线与圆的位置关系 菁优网版权所有 专题 探究型 分析 直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可 解答 解 直线 l 与半径为 r 的 O 相交 且点 O 到直线 l 的距离 d 6 r 6 故选 C 点评 本题考查的是直线与圆的位置关系 解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆半径大小 关系完成判定 直线 l 和 O 相交 d r 6 2013 徐汇区二模 在 ABC 中 AB AC 2 A 150 那么半径长为 1 的 B 和直线 AC 的位置关系是 B A 相离B 相切C 相交D 无法确定 考点 直线与圆的位置关系 菁优网版权所有 分析 过 B 作 BD AC 交 CA 的延长线于 D 求出 BD 和 B 的半径比较 即可得出答案 解答 解 过 B 作 BD AC 交 CA 的延长线于 D BAC 150 DAB 30 BD AB 2 1 即 B 到直线 AC 的距离等于 B 的半径 半径长为 1 的 B 和直线 AC 的位置关系是相切 故选 B 点评 本题考查了直线与圆的位置关系的应用 主要考查学生的推理能力 7 2014 天津 如图 AB 是 O 的弦 AC 是 O 的切线 A 为切点 BC 经过圆心 若 B 25 则 C 的大小 等于 C A 20 B 25 C 40 D 50 考点 切线的性质 圆心角 弧 弦的关系 菁优网版权所有 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 4 页 共 12 页 专题 几何图形问题 分析 连接 OA 根据切线的性质 即可求得 C 的度数 解答 解 如图 连接 OA AC 是 O 的切线 OAC 90 OA OB B OAB 25 AOC 50 C 40 故选 C 点评 本题考查了圆的切线性质 以及等腰三角形的性质 已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切 点 8 2014 无锡 如图 AB 是 O 的直径 CD 是 O 的切线 切点为 D CD 与 AB 的延长线交于点 C A 30 给出下面 3 个结论 AD CD BD BC AB 2BC 其中正确结论的个数是 A A 3B 2C 1D 0 考点 切线的性质 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 连接 OD CD 是 O 的切线 可得 CD OD 由 A 30 可以得出 ABD 60 ODB 是等边 三角形 C BDC 30 再结合在直角三角形中 300所对的直角边等于斜边的一半 继而得到 结论 成立 解答 解 如图 连接 OD CD 是 O 的切线 CD OD ODC 90 又 A 30 ABD 60 OBD 是等边三角形 DOB ABD 60 AB 2OB 2OD 2BD C BDC 30 BD BC 成立 AB 2BC 成立 A C DA DC 成立 综上所述 均成立 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 5 页 共 12 页 故答案选 A 点评 本题考查了圆的有关性质的综合应用 在本题中借用切线的性质 求得相应角的度数是解题的 关键 9 2014 眉山 如图 AB AC 是 O 的两条弦 BAC 25 过点 C 的切线与 OB 的延长线交于点 D 则 D 的 度数为 D A 25 B 30 C 35 D 40 考点 切线的性质 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 连接 OC 根据切线的性质求出 OCD 90 再由圆周角定理求出 COD 的度数 根据三角形内 角和定理即可得出结论 解答 解 连接 OC CD 是 O 的切线 点 C 是切点 OCD 90 BAC 25 COD 50 D 180 90 50 40 故选 D 点评 本题考查的是切线的性质 熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键 10 2014 长春 如图 在平面直角坐标系中 点 A B 均在函数 y k 0 x 0 的图象上 A 与 x 轴相切 B 与 y 轴相切 若点 B 的坐标为 1 6 A 的半径是 B 的半径的 2 倍 则点 A 的坐标为 C 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 6 页 共 12 页 A 2 2 B 2 3 C 3 2 D 4 考点 切线的性质 反比例函数图象上点的坐标特征 菁优网版权所有 专题 数形结合 分析 把 B 的坐标为 1 6 代入反比例函数解析式 根据 B 与 y 轴相切 即可求得 B 的半径 则 A 的半径即可求得 即得到 B 的纵坐标 代入函数解析式即可求得横坐标 解答 解 把 B 的坐标为 1 6 代入反比例函数解析式得 k 6 则函数的解析式是 y B 的坐标为 1 6 B 与 y 轴相切 B 的半径是 1 则 A 是 2 把 y 2 代入 y 得 x 3 则 A 的坐标是 3 2 故选 C 点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式 以及斜线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 11 2014 海口一模 如图 AB 是 O 的直径 PA 切 O 于点 A PO 交 O 于点 C 连结 BC 若 P 36 则 B 等于 A A 27 B 30 C 36 D 54 考点 切线的性质 菁优网版权所有 分析 由 AB 是 O 的直径 PA 切 O 于点 A P 36 可求得 POA 的度数 又由圆周角定理 可求 得 B 的度数 根据等边对等角的性质 即可求得答案 解答 解 AB 是 O 的直径 PA 切 O 于点 A OA PA 即 PAO 90 P 36 POA 90 P 54 B POA 27 OC OB 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 7 页 共 12 页 BCO B 27 故选 A 点评 本题考查了切线的性质 圆周角定理以及等腰三角形的性质 注意掌握数形结合思想的应用是解 答本题的关键 12 2014 内江 如图 Rt ABC 中 ACB 90 AC 4 BC 6 以斜边 AB 上的一点 O 为圆心所作的半圆分别 与 AC BC 相切于点 D E 则 AD 为 B A 2 5B 1 6C 1 5D 1 考点 切线的性质 相似三角形的判定与性质 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 连接 OD OE 先设 AD x 再证明四边形 ODCE 是矩形 可得出 OD CE OE CD 从而得出 CD CE 4 x BE 6 4 x 可证明 AOD OBE 再由比例式得出 AD 的长即可 解答 解 连接 OD OE 设 AD x 半圆分别与 AC BC 相切 CDO CEO 90 C 90 四边形 ODCE 是矩形 OD CE OE CD 又 OD OE CD CE 4 x BE 6 4 x x 2 AOD A 90 AOD BOE 90 A BOE AOD OBE 解得 x 1 6 故选 B 点评 本题考查了切线的性质 相似三角形的性质与判定 运用切线的性质来进行计算或论证 常通过 作辅助线连接圆心和切点 利用垂直构造直角三角形 证明三角形相似解决有关问题 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 8 页 共 12 页 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 小题 13 2014 西宁 O 的半径为 R 点 O 到直线 l 的距离为 d R d 是方程 x2 4x m 0 的两根 当直线 l 与 O 相 切时 m 的值为 4 考点 直线与圆的位置关系 根的判别式 菁优网版权所有 专题 判别式法 分析 先根据切线的性质得出方程有且只有一个根 再根据 0 即可求出 m 的值 解答 解 d R 是方程 x2 4x m 0 的两个根 且直线 L 与 O 相切 d R 方程有两个相等的实根 16 4m 0 解得 m 4 故答案为 4 点评 本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式 熟知以上知识是解答此题的关键 14 2014 雅安 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 则直线 y x 与以 O 点为圆心 1 为半径的圆的位置 关系为 相切 考点 直线与圆的位置关系 坐标与图形性质 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 首先求得直线与坐标轴的交点坐标 然后求得原点到直线的距离 利用圆心到直线的距离和圆的 半径的大小关系求解 解答 解 令 y x 0 解得 x 令 x 0 解得 y 所以直线 y x 与 x 轴交于点 0 与 y 轴交于点 0 设圆心到直线 y x 的距离为 d 则 d 1 圆的半径 r 1 d r 直线 y x 与以 O 点为圆心 1 为半径的圆的位置关系为相切 故答案为 相切 点评 本题考查了直线与圆的位置关系及坐标与图形的性质 属于基础题 比较简单 15 2014 松江区三模 已知在 ABC 中 AB AC 13 BC 10 点 D E 分别是 AB AC 的中点 那么以点 D 为圆心 DE 为半径的圆与直线 BC 的位置关系是 相离 考点 直线与圆的位置关系 菁优网版权所有 分析 过点 A 作 AF BC 于点 F 根据勾股定理求出 AF 的长 再由点 D E 分别是 AB AC 的中点得 出 DE 是 ABC 的中位线 故可得出 DE 即 GF 的长 由此可得出结论 解答 解 过点 A 作 AF BC 于点 F AB AC 13 BC 10 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 9 页 共 12 页 BF BC 5 AF 12 点 D E 分别是 AB AC 的中点 DE 是 ABC 的中位线 DE BC 5 GF AF 6 5 6 D 与直线 BC 的位置关系是相离 故答案为 相离 点评 考查了等腰三角形的性质和勾股定理 三角形的面积 解题的关键是得到点 D 到直线 AC 的距 离 16 2012 路北区一模 如图 两个同心圆 大圆半径为 5cm 小圆的半径为 4cm 若大圆的弦 AB 与小圆有两个 公共点 则 AB 的取值范围是 6 AB 10 考点 直线与圆的位置关系 勾股定理 垂径定理 菁优网版权所有 分析 此题可以首先计算出当 AB 与小圆相切的时候的弦长 连接过切点的半径和大圆的一条半径 根据 勾股定理和垂径定理 得 AB 2 6 则若大圆的弦 AB 与小圆有两个公共点 即相交 此 时 AB 6 又大圆最长的弦是直径 10 则 6 AB 10 解答 解 当 AB 与小圆相切 大圆半径为 5cm 小圆的半径为 4cm AB 2 6cm 大圆的弦 AB 与小圆有两个公共点 即相交 6 AB 10 点评 此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长 再进一步分析相交时的弦长 综合运用了切线的性质 勾股定理和垂径定理 17 2014 自贡 一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与 O 等高 如图放置 O 与 BC 相切于点 C O 与 AC 相交于点 E 则 CE 的长为 3 cm 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 10 页 共 12 页 考点 切线的性质 垂径定理 圆周角定理 弦切角定理 菁优网版权所有 专题 几何图形问题 分析 连接 OC 并过点 O 作 OF CE 于 F 根据等边三角形的性质 等边三角形的高等于底边的 倍 已知边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与 O 等高 说明 O 的半径为 即 OC 又 ACB 60 故有 OCF 30 在 Rt OFC 中 可得出 FC 的长 利用垂径定理即可得出 CE 的长 解答 解 连接 OC 并过点 O 作 OF CE 于 F 且 ABC 为等边三角形 边长为 4 故高为 2 即 OC 又 ACB 60 故有 OCF 30 在 Rt OFC 中 可得 FC OC cos30 OF 过圆心 且 OF CE 根据垂径定理易知 CE 2FC 3 故答案为 3 点评 本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识 题目不是太难 属于 基础性题目 三 解答题 共三 解答题 共 2 小题 小题 18 2014 犍为县一模 如图在 Rt ABC 中 C 90 点 O 在 AB 上 以 O 为圆心 OA 长为半径的圆与 AC AB 分别交于点 D E 且 CBD A 1 判断直线 BD 与 O 的位置关系 并证明你的结论 2 若 AD AO 6 5 BC 2 求 BD 的长 考点 直线与圆的位置关系 直角三角形的性质 相似三角形的判定与性质 菁优网版权所有 分析 1 结论 BD 是圆的切线 已知此线过圆 O 上点 D 连接圆心 O 和点 D 即为半径 再证垂 直即可 2 通过作辅助线 根据已知条件求出 CBD 的度数 在 Rt BCD 中求解即可 解答 解 1 直线 BD 与 O 相切 1 分 证明 如图 连接 OD 太学教育 志存高远太学教育 志存高远 思于广博思于广博 锲而不舍 方能水滴石穿 锲而不舍 方能水滴石穿 数学专用资料数学专用资料 求知热线 求知热线 2816663 第 11 页 共 12 页 OA OD A ADO C 90 CBD CDB 90 又 CBD A ADO CDB 90 ODB 90 直线 BD 与 O 相切 2 分 2 解法一