第四章：数学创新案例研究(合).doc

371第四章：新课程下高中数学创新案例研究第四章： 新课程下高中数学创新案例研究第一节：借助电脑工具对一数学问题的探究与发现在数学学习中，利用数学应用软件“几何画板”可以帮助更深入地理解数学知识，有利于探索数学内部深层次的规律。看下面的问题： 一、探究规律问题： “设点P是抛物线上任意一点，经过点P的切线与双曲线相交于点M、N，求线段MN的中点Q的轨迹”。 按着题目的要求，完成了上面给出的问题，得出Q点的轨迹是抛物线，（求解过程略）。下面思考一下能否也用“几何画板”来演示得出轨迹的过程呢？可以进行一下尝试，为了具有一般性，将上题中的改为，把改成（）。按上面用“几何画板”作抛物线轨迹的方法，我们得出了的轨迹，但却不能作出抛物线中所要求的切线，这是为什么呢。思索中无意拖动各个相关点，当拖动点D（准线上的动点）时意外发现，作图中所用到的线段的中垂线像是该抛物线的切线。于是我们得出以下规律：（一）、规律一：设点P是抛物线上任意一点， 、分别是抛物线的焦点与焦点关于原点的对称点，j是准线，D是过P作j的垂线与j 的交点，则线段DF的中垂线就是 上过P点的切线。继续完成其它的作图过程后，又对各个几何元素进行了分析讨论，对得出的轨迹利用“几何画板”演示，拖动其它一些相关点，并借助“几何画板”的计算工具和其它有关功能，又发现了以下两个规律： （二）、规律二：设点P是抛物线上任意一点，经过点P的切线与双曲线（）相交于点M、N，线段MN的中点Q的轨迹形状与的取值无关，轨迹的范围与有关。（三）、规律三：设点P是抛物线上任意一点，经过点P的切线与双曲线（）相交于点M、N，线段MN的中点Q的轨迹（抛物线的一部分）方程为，且恒有。二、借助“几何画板”的探究过程（一） 确定中的值与焦点F（图形1）图1打开几何画板（几何画板4.07中文版）“新绘图”，建立坐标轴，在y轴的正半轴上取一点F，“度量”点F的坐标，分离F的纵坐标“”，计算“2”，用文本编辑工具将“2=”改为“p=”（如图形1）。（二） 作出的图象探究图象上过点P切线（图形2） 作点F关于轴的对称点。过点作y轴的垂线（直线j），在直线j上任意取一点D，过点D作直线j的垂线（直线k），作线段DF的垂直平分线（直线m），则直线k与直线m交于点P，作出点P的轨迹，即抛物线（图形2）。拖动点D可观察DF中垂线m的情况，根据m的变化规律，于是我们猜想：m就是经过点P的抛物线的切线，由此探究出“规律一”（见图形2）。（三）画出的图象（图形3）隐藏没用的线与点，在轴的负半轴上取一点G，过点G作轴的垂线（直线n），在直线n上取一点H，“度量”点H的坐标，分离点H的纵坐标，用文本编辑工具把点H的纵坐标改为n，隐藏直线n，隐藏点H的坐标。 在轴上任意取一点I分离出点I的横坐标“”，计算“”。 先后选择“”、“”，绘制出点J（，） ，从而作出函数y=即（）的图象。（见图形3） （图形3）（四）求出切线与双曲线交点，做出两个交点中点的轨迹（图4）“度量”点P的坐标。 因为直线m的方程为= x，与（图形4）xy=n联立，得到=0，解，计算，和，绘制点，点必定在双曲线上，计算，和，绘制点，点N必定在双曲线上。作出线段MN的中点Q的轨迹，Q的轨迹是一条抛物线的一部分（见图4）。在图4的结论中可以发现，Q点的轨迹是开口向下的抛物线的一部分，不会是全部，我们在几何画板的窗口中，托动D点可以很容易理解。再拖动H点，使n的值变化，发现虽然形状变化，但发现动点Q的轨迹形状没变，只见抛物线的缺口有变化，由此可以得出文章开始给出的“第二个规律”：线段MN的中点Q的轨迹形状与的取值无关但轨迹的缺口，即轨迹的范围与有关。拖动F点、H点与D点反复观察发现，Q点的轨迹自始至终是开口向下，因而我们想，即然在图形中所涉及的两条曲线都是抛物线，且一条开口向上，另一条是开口向下，并用同一个顶点，那么它们的重要的元素焦点与顶点的距离有没有特殊的关系呢？于是，我们将Q的方程设为，借助几何画板中的对象上的点功能，取曲线Q上的一点C，再度量出它的坐标，利用计算功能，算出值，再一次用计算，得出=8，于是借用“几何画板”探究出“第二个规律”：MN的中点Q的轨迹（抛物线的一部分）方程为，恒有三、证明命题的正确性 证明规律一：由作图过程与图4，设点D（），F（0，则DF的斜率，DF中垂线m的斜率，又由导数知识：得，导数：，则函数在P点的导数为，即抛物线在该点切线的斜率为，又因为直线m过点P，所以直线m是抛物线的切线。证明规律二、规律三：由图4知抛物线上经过P（）的切线方程为， 与联立，消去y，得=0 设Q的坐标为（x，y），由于点Q是MN的中点，所以=，由，得，代入得，得而，点P在抛物线上，即有，显然， 由方程根的判别式0，得，于是有。则的取值满足：n0时，；nsx=sx/12 sx =1.5416667 -sy=sy/12 sy =2.8491667 -b=(sxy-12*sx*sy)/(sx2-12*sx*sx) b = 1.2088696 -a=sy-b*sx a =0.9854927 因而结论正确.经过以上的分析，说明我的猜想应该是正确的，但还没有证明，肯请专家赐教，并肯求哪个高手帮助解决。图1ABO,.CC第四节：“鼓集”、“缺集”及其应用我们知道可以用三角形、圆、平形四边形、梯形等图形来表示集合，这就是所说的“文氏图法”只因为可以用这些图来表示集合，是因为这些图可以看成是由点形成的集合。我的眼睛一亮，发现三角形有这样的特点：若两个点都在三角形中，则连接这两个点的线段上所有的点都在这个三角形中。于是我又考查了很多图形，它们都有这个特点，我怀着浓厚的兴趣，对这类图形进行了简单的探讨.ABCDM图2一、有些图形可以证明有这样的性质例、 证明圆具有这样的性质：证明：如图（），设圆心为，半径为，若，两点在圆内，则rr设C是任意一点，和(图)中必有一个不小于直角，不妨设则在中，r即: CO,所以O,满期足上面的性质。二、有些图形可以证明没有这样的性质空间四边形表示的集合不具有这样的性质例、若、四个点不在一个平面上（图2），则空间四边形表示的集合不具有这样的性质。证明：（分析）若证明命题成立，只需在和两个平面中找到两个点使这两点连的线段中至少有一个点不在中，图3也不在中即可因此可以考察由、连的线段，在上取 （图2）异于的点，若在中，则所有点都在所在的平面中，所以与、不在一个平面上得出矛盾。所以命题正确三、为了进一步探讨给出两个定义鼓集的定义：对于表示集合的图形中的任意两点、，若线段上的每一个点都属于，则这个图形表示的集合就叫鼓集缺集的定义：对于表示集合的图形中至少有两点、，所连的线段中有不属于的点，则这个图形表示的集合叫缺集常见的鼓集有：三角形，圆，平行四边形，梯形，空间四边形，正方体，球体等下面各图（图3）表示的集合表示的都是缺集：规定：空集与一个点的集合是鼓集，容易说明：线段、直线都是鼓集四、两种集合的运算情况鼓集运算情况：若A、B均是鼓集，则A也是鼓集，A不一定是鼓集证明：若A=，这时命题显然成立，若A，设点M、N属于集合A，则M、N（A）则M、NA，因为A是鼓集，线段MNA，MNB，所以MN A，所以A是鼓集后一部分略缺集运算情况：若A、B至少有一个是缺集，则A、 A不一定是缺集，也不一定是鼓集五、鼓皮的定义将包含一个表示集合M所在图形的最小的图形表示的鼓集N叫鼓皮一个集合M的鼓皮，记成是：，思考下面图形鼓皮是什么图形：CBDA图4图5 CABDE图6正方体的鼓皮应是本身，四边形ABCD的鼓皮应是三角形ABC。图5中两个圆的并形成的鼓皮，应是两个圆与两圆的外公切线围成的几何图形表示的集合（注意：正方体的鼓皮不是正方体的外接球）（证明略）下面给出图4中四边形ABCD的鼓皮是三角形ABC的证明过程：证明：若还有一个图形ABCE， （图5）E是三角形内部的一点，（如图6）表示的集合是ABCD的鼓皮，则集合ABCE应包含集合ABCD且是一个鼓集，下面设ABCE是鼓皮， 集合ABCE应包含集合ABCD显然，下面因为ABCE是一个鼓集，所以在ABCE内任取两点，不妨设A、C两点，所以线段AC也应在ABCE内，同理：三角形AEC的所有的点都在ABCE中，所以ABCE实质上就是ABCE与三角形AEC的合成图形，即是三角形ABC六、鼓皮的一个实际应用有了以上的知识可以很简单地解决很多数学问题，请看下面的例题：例：平面上任意给定个点，其中任意三点不共线，则可选出四点，这四点能构成一个凸四边形的顶点证明：设这点为，考虑这点的鼓皮，有以下三种情况：（） 鼓皮为凸五边形，则其中任意点可以构成四边形图7（） 鼓皮为凸四边形，比如是凸四边形，则此点即为所求（） （3）鼓皮为三角形，设，在中（如图7）则直线，只能与三角形的两条边相交（注意，三角形的边是指线段，）比如与边，相交，则为凸四边形此题看似简单，但不用鼓皮的内容是不容易解出的第五节：对空间图形“含括”的认识及其应用 在中学数学教材中，接触到线段、直线、四边形、圆、正方体、球等各种几何图形。这些图形都可以看作是由点构成的，若将这些点视为一个集合的元素，则可以将这些图形表示成不同的集合。分析这些集合的关系，从表示集合的图形关系中就会很容易得到，研究图形之间关系对进一步认识集合特别有用。一、分析以下几组图形F1F图2第一组：F1F图1第二组：（图3） （图4）图5FF1F1F图6第三组：分析第一组图形，它们有共同的特点：（1）、图形F上的每一个点都在图形F1上。（2）、图形F表示的集合是图形F1表示集合的子集。（3）、图形F表示图形的面积（或体积）不大于图形F1表示图形的面积（或体积）。为了研究问题方便，先给出以下定义：（一）、定义一： “含括”：在空间有两个图形F、F1，若图形F中的每一个点都在图形F1上，则叫做图形F1含括图形F，图形F1叫做图形F的含括，容易知道图形F的含括不唯一。分析第二组图形有以下特点：1、图形F上的点或属于图形F1或属于图形F2或属于图形F3。 2、图形F表示的集合是其余几个集合并集的子集。3、图形F的面积不大于其余几个图形面积的和。由此得出定义二：（二）、定义二： “协作含括”：在空间有若干个图形F、，F1、F2、F3，若图形F的点在图形F1中、或在图形F2中、或在图形中F3中，则叫做图形F被图形F1、F2、F3构成的整体图形协作含括。分析第三组图形：两个图形中的点没有直接的关系，但其中一个图形经过平移、旋转、或对称变换，能够与第二个图形有含括关系，因而有下面的定义：（三）定义三： “可含括”：若一个图形F经过平移、旋转、或对称等变换能够被另一个图形含括，则叫做图形F被另一个图形“可含括”。进一步可得定义四：（四）定义四： “可协作含括”：若一个图形F经过不移、旋转、或对称等变换能够被图形F1、F2、F3形成的整体图形含括，则称F1、F2、F3可协作含括图形F。容易得出以下有用的结论：1、若两个表示集合的图形是“含括”关系，则两个集合是包含关系。2、“协作含括”中被含括的图形表示的集合是其它几个图形表示集合的并集的子集。3、任何一个图形含括图形本身。4、图形F含括图形E，图形E含括图形G，则图形F含括图形G。5、若图形F的面积（体积）大于图形E的面积（体积），则图形E不能含括图形F。6、直径为d的图形,不能被直径小于d的图形含括。（注：图形中任意两点间的距离最大值为图形的直径）。7、两个具有含括关系的图形表示的集合，两个图形的面积虽然不一定相等，但因为它们表示的集合都是无限集，两个集合表示的元素个数是一样的（由无限的含义可以理解）。二、重要结论看下面的例子：例1 在图7中，已知在平面上有一个图形F，点O，M是图形F中的任意一点，且r是定值，且OMr，证明图形F被以O为圆心r为半径的圆含括。证明：设点M是平面中的任意一点，且OMr，则M在以O为圆心以r为半径上的圆的内部，又因为M是任意的点，则F中的每个点都在以O为圆心以r为半径上的圆的内部。由含括的定义可得图形F被以O为圆心r为半径的圆含括。FMO图7由此可得以下定理：（一）、定理一： 如果能在图形F所在平面上找一点O，使得图形F中的每一点与点O的距离不大于定长r，则图形F可被以点O为圆心以r为半径的圆所含括。用类比的方法，可有以下推论。（二）、推论一： 如果能在空间找到一点O，使得空间图形F中的每一点与O的距离都不大于定长r，则图形F可被以O为球心，以r为半径的球所“含括”。例2 已知点A、点B是两个定点，是定角，图形F中的每个点都在线段AB的同侧，且对线段AB的视角不小于，求证：图形F被以AB为弦对AB视角等于的弓形G含括。证明：以AB为弦，定角为圆周角做弓形图G， 图8GG设点M是图形F中的任意一点，连AM、BM，由已知AMB，延长BM交弧与点N，连AN，则ANB=，若M在BN的延长线上，AMB矛盾，在NB的延长线上，图形F不在AB的同侧，则M必在线段BN内部，而BN在弓形内部，M又在NB上，所以点M也在弓形内部，所以图形F被弓形图“含括”。由此得出以下定理：（三）、定理二： 对于两定点A、B，及定角，若图形F中的每一点都在线段AB同侧，且对A、B视角不小于，则图形F被以AB为弦，对AB视角等于的弓形含括。用类比的方法，我们马上可以推出空间图形的相同结论：（四）、推论二： 在平面上有两个定点A、B及定角（），若图形F中的每一点都在过A、B两点的平面同侧，且对AB的视角不小于，则图形F被以AB为直径的圆为底，轴截面对应的弓形圆周角为的球缺的几何图形含括。图9下面给出该推论的证明：证明：图10E图11L如图10，以AB为底面直径，轴截面对应的弓形中AB弦上的圆周角为做一个球缺F，设M是图形E中的任意一点，连AM，BM，由已知AMB，做平面AMB与球缺表面的交线弧AHB，弧AHB对应的圆周角为AHB，有AMBAHB，所以 AMBAHB，由定理二得点M一定在弓形图AHB中，同理可证其它点也在过AB的一个平面与球缺表面交线所形成的弓形图中，所以E中的任意一点都在F中，所以结论成立。对于以上得出的一系列的性质可以有很多应用：三、几个应用（一）、应用一： 与图形有关的实际应用题例3 有一个放了气的皮球，原皮球的半径为R，要设计一个球形容器装得下这个放了气的皮球，求这个容器的半径满足的条件。解法一 （转化为平面问题用定理二）：此问题是空间问题，根据题意可以转化为平面问题去思考，要想回答这个问题，只要考虑皮球充满气时的大圆，无论这个大圆，形状变曲到什么程度都能被所求的球容器所在的大圆所含括即可。M设图11所表示的曲线L是球充满气时大圆的一条曲线，在该曲线L上分别取点R、Q，使R、Q将线圈L分成等长两曲线，每段长为R，线段RQ的中点为G，M为曲线L上RmnQ任意一点，连MR、MQ，则有GM（MR+MQ）(曲线MmR+曲线MnQ)= (R)= ,由定理一，图形L被以为半径的圆含括，要想使球形容器能装得下这个放了气的球， 限于实际性况，容器半径不能恰与相等， 解法二 （直接在空间中思考用推论二）：图12 图13可考虑半球的情况，设半球F（如图12）是所求的容器，放了汽的球的一半是E，由推论二，要求F的半径，只要满足E中的任意点M，AMB即可，容易知道，当球皮高GH最大时能装得下，其余情况就能装得下，因而当GH等于所求球的半径r时，满足条件，这r是球皮大圆周长的一半，即r=，因而所制做的球形容器的半径应大于。容易用推论二证明该解法的正确性，证明过程略。（二）、应用二： 用以研究集合之间的关系例4 、分别以四边形ABCD的四条边为直径向四边形内作四个半圆，证明这个四边形表示的集合是四个半圆表示集合并集的子集。证明： 得证ABCD中的每一点 至少被某个半圆含括。用反证法，如图13。设存在一点P在以AB、BC、CD、DA为直径的圆外，根据定理二，APB，BPC，CPD，DPA均小于90，从而APBBPCCPDDPA360。与四角和应为周角相矛盾故P应被其中一半圆含括，即所作四个半圆含括ABCD，所以图形ABCD表示的集合是四个半圆表示集合的并集的子集。以上我对空间图形“含括”的基本知识，以及其在实际应用问题与探讨集合关系中的点滴认识，感觉有很多东西还没认识深刻，请同仁共同研究。第六节：竖式带余除法的创新表示与类余数在学习高一集合的时候，普通高中课程标准实验教科书人民教育出版社B版必修教材一1.1.2节中,练习B中有一个习题：用描述法表示“除以3余2的整数全体”的集合。答案是： 。按着这样的表示“”也符合上面式子要求，对此同学们百思不得其解，-1怎么会被3除也余2呢？在学习一个数除以另一个数的时候，我们在过去求余数问题时是用求商的竖式讲解的，这样可以非常直观地表述余数情况。形如的表示与竖式表示有怎样的关系呢？带着这样的问题我对带余除法进行了探索。一、探索带余除法的竖式与形如式子的关系。过去我们学习的竖式带余除法，都是在正整数集中进行的，而且要求余数要比除数小，看下面的例子：例1：求的余数与商解：列竖式： 的余数为2，商是10。它的含义是：，这个式子也可以从竖式除法式子中得到。实际上：从不难理解2=32-30=32-310移项得：32=310+2。同理，其它符合上述条件的，也能得出相同的结论，因此，我们有：（一）、结论一：在正整数集内，带余除法的竖式运算可以转化为形如的式子。在这里的是被除数，是除数，是余数，是商数。这样就非常容易地将竖式除法与代数式子统一起来，便于理解的含义。二、扩充各数据的适用范围，探索竖式带余除法与的关系。我们将除数，商数和余数都扩充为在整数集中取值，先分析一下文章开头的习题：用描述法表示集合“除以3余2的整数全体”。答案是： 。在这里将和的取值由原来的正整数集扩充为整数集。若取，则，也即是说-1除以3余数为2。这不符合原来正整数集范围内所说的常理，的确难以理解。过去学过的竖式除法涉及到的数都是正整数，对负数参与的竖式除法运算从没有涉及到，我对此进行了大胆的类比和猜想：“负数是否也适合于竖式带余除法的算理呢？”我尝试着按着正整数的算理对-1除以3进行了讨论，有：，将该式可以写成是得出：，得出：负数参与竖式运算也有同样的算理，这样就不难理解除以3余数是2的情况了。对于其它负数参与的竖式除法也是同理。因此我们得：（一）、结论二：负数也可以参与带余除法的竖式运算，竖式带余除法运算式可以转化为形如的式子。以上研究的是商与被除数是负数问题，下面再看一下余数也是负数的情况。例2：求-35除以34的商与余数解：-35除以34的竖式除法算式为：该式等价于得：，得出了，-35被34除得余数为-1。再看对于该竖式除法，相除的时候不上-1，而是上-2就得：。得出-35除以34得余数为33，这个结果可以从得到，即这样一个数除以另一个数的余数就是不确定的了，事实真的是这样吗？对此我参考了高中新课标选修教材，A版4-6初等数论部分，在这里带余除法的论述是这样的：（二）、定义一：设，为整数，且，则存在唯一的一对整数和使得将该式中的和分别叫做除以的商和余数，显然能被整除当且仅当=0。根据以上定义的说法，余数应该是正数且是唯一的。为了讨论问题方便，我将定义一进行了改造，得：（三）、定义二：设，为整数，且，则存在一对整数和使得将该式中的和分别叫做除以的类商和类余数，能被整除当且仅当=0。显然，在这种情况定义二的类余数不是唯一的。因此我们在求两个整数相除时，若得出余数不符合定义一的要求，应该设法转化为符合定义一的要求。（四）、结论三：在求余数的过程中，若得出的是类余数，则该类余数可以转化为定义一中所要求的余数。转化的方法如下：方法一：选择适当的整数，将的右侧加上再减去，即有得：或者例3：今天是星期三，天以后是星期几？解:= =3,由此可得类余数是-3,在这里我们做如下工作将3加上7减去7得下列式子: 3=3=3显然得余数是4, 由此得四天以后的一天是星期日。方法二：直接利用竖式除法连续上商进行转化例4：求-35除以34所得余数解：首先写竖式，先上-1得 再上一次-1得得：-35=34（-2）+33。所以余数是33。商是（-1）+（-1）=（-2）例5：求322除以-3所得余数解一：在竖式除法中首先上100得（实际上若熟练，容易看出该式直接上商-107即可，只所以这样做是为了说明要讲的问题） 很明显，在商的位置上上100得余数是不合适的，在这种情况下可以在商的位置上继续上其它的数，在这里我们再上-200得： 所以得出的商是几次连续上商的代数和：100-200-7=-107，余数是1。根据过去学的正整数范围内的算理，也可以根据被除数特点直接从高位一位数一位数的依次上数。法二： 在这里在被除数的百位上（-1），十位相当于上0，到个位上（-7）因而商就应该是：（-1），余数得1。因此我又得出以下结论：（五）、结论四：在列竖式带余除法时，若第一次上的商得出的余数不符合要求，可以连续上商数直至得出符合要求的余数，最后得出的商是几次连续所上商的代数和。应该注意一点：有负数的求商问题可以转化正数求商问题。例如：。但两个数的求余问题确不能这样转化。例如得余数是8，但就成了即有乘法又有除法的两种运算了也就谈不上余数问题了。以上是我对带余除法的点滴认识，肯请专家批评。第七节：利用电脑工具探究“切垂关系”曲线的规律与应用在学习圆锥曲线的过程中，一次偶然的机会我借助数学应用软件几何画板在探究过程中发现了一类曲线有其特殊规律，并且应用广泛，下面做一论述供专家提出保贵意见。 一、“切垂关系”与“垂切关系”的定义 为了引出“切垂关系”与“垂切关系”的定义首先分析以下例子。例1、抛物线，定点O(0,0)，M(x0,y0) 为抛物线上任一点，过点M(x0,y0)作抛物线的切线为L,过点O作L的垂线m与L的交点为P，求交点P的轨迹。解：过点M(x0,y0) 的抛物线的切线为L,利用求导运算得L的斜率为，则L的方程为 (1)直线m为过定点O(0,0)与L垂直的直线。直线m的斜率为，直线m的方程为（2）又点M(x0,y0) 在抛物线上，即 （3）联立（1）、（2）、（3）解得直线L,m的交点p的坐标：利用几何画板得到P的轨迹（如图1，图2）。图2图1由此我们可以引入以下两个定义（图3）：（一）、定义一：切垂关系曲线若有一条曲线C，设M是平面曲线C上的任一点，O是平面内的一定点.，过M作曲线C的切线MT，再作OP垂直于MT，垂足为P。当M沿曲线C移动时，垂足P也画出一条曲线S，S就叫作曲线C关于O点的切垂关系曲线。（二）、定义二：垂切关系曲线若有一条曲线C与S，C是曲线S 关于O点的切垂关系曲线，则S叫做曲线C关于O点的垂切关系曲线。CS图3二、探究“切垂（垂切）关系”的曲线规律例2、 求抛物线关于其焦点O（0,1）切垂关系曲线：图4图5解：先设M(x0,y0)为抛物线上任一点，过点M(x0,y0) 的抛物线的切线为L,利用求导运算得L的斜率为，则L的方程为 (1)直线m为过定点O(0,1)与L垂直的直线。直线m的斜率为，直线m的方程为（2）又点M(x0,y0) 在抛物线上，即 （3）联立（1）、（2）、（3）解得直线L,m的交点p的坐标：利用几何画板得到P的轨迹（图4）（图5）例3、 双曲线关于其焦点O（5，0）的切垂关系曲线：图7图6解：先设M(x0,y0)为双曲线上任一点，过点M(x0,y0) 的双曲线的切线为L,利用求导运算得L的斜率为，则L的方程为 (1)直线m为过定点O(5,0)与L垂直的直线。直线m的斜率为，直线m的方程为（2）又点M(x0,y0) 在双曲线上，即（3）联立（1）、（2）、（3）解得直线L,m的交点p的坐标：得到P的轨迹，利用几何画板得出图形（图6）例4、.椭圆关于其焦点O（2，0）的切垂关系曲线：解：先设M(x0,y0)为上任一点，过点M(x0,y0) 的椭圆的切线为L,利用求导运算得L的斜率为，则L的方程为 (1) 直线m为过定点O(2,0)与L垂直的直线。直线m的斜率为，直线m的方程为（2）又点M(x0,y0) 在椭圆上，即（3）联立（1）、（2）、（3）解得直线L,m的交点p的坐标：得到P的轨迹由几何画板画出轨迹如（图7）经过以上讨论，并通过几何画板演示可探究出以下几个重要结论结论一：抛物线关于其焦点的切垂曲线是直线。结论二：椭圆和双曲线关于其焦点的切垂曲线都是圆。结论三：直线关于线外一点的垂切曲线是抛物线结论四：圆周关于圆内一点的垂切曲线是椭圆。结论五：圆周关于圆外一点的垂切曲线是双曲线。注：以上五个结论的证明过程，与以上例题求解过程基本相同，在这里五个结论的证明过程省略。三、尝试“切垂（垂切）”关系的应用（一）、尺规作圆锥曲线图形图3中的角OPM可以用直尺与圆规来实现，这就是尺规作图的本质。具体地说，让直角尺的一条直角边通过O点，另一条直角边与曲线C相切，这时直角顶点P就是C关于O点的切垂关系曲线S上的点，用这样的方式