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第十五讲导数的概念及运算,教材知识整合回归教材,如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,此时对于每一个x(a,b),都对应着一个确定的导数f(x),从而构成了一个新的函数f(x),称这个函数f(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数,简称导数,也记作y,即,注意:(1)在利用定义求函数y=f(x)在x=x0处的导数时,要注意x趋向于0,而不是等于0;(2)并不是所有的函数都有导数;(3)导函数f(x)与原来的函数f(x)有相同的定义域(a,b),且导函数f(x)在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值f(x0).,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是函数在(x0,f(x0)处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).在解题时注意区分曲线在点P处的切线和曲线过点P的切线,前者P为切点;后者点P可以是切点也可以不是.一般曲线的切线与曲线可以有两个或两个以上的公共点.,3.常见函数的导数及运算法则,设u=v(x)在点x处可导,y=f(u)在点u处可导,则复合函数fv(x)在点x处可导,且f(x)=y(v)u(x).,基础自测,1.(2011贵州摸底)曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A.30 B.45C.60 D.120解析:y|x=1=31-2=1.答案:B,2.设f(x)=xlnx,若f(x0)=2,则x0=( )A.e2 B.eC.D.ln2,解析:由f(x0)=2lnx0+1=2,x0=e.答案:B,解析:设切点P(x0,y0),y|x=x0=2x0+2,由题意得02x0+21,-1x0-.答案:A,4.(2011山东模拟)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-2)x的导函数是f(x),且f(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( )A.y=-2x B.y=3xC.y=-3x D.y=4x解析:由f(x)=3x2+2ax+(a-2),f(x)为偶函数,a=0,即f(x)=3x2-2,故f(0)=-2,曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-2x.答案:A,答案:0,重点难点突破题型一利用导数的定义解题,点评 利用导数的定义是解决此类问题的关键.,变式1:利用定义求y=x2的导数.,【例2】 求下列函数的导数:(1)y=(3x3-4x)(2x+1);(2)y=x2sinx;(3)y=3xex-2x+e;(4),解 (1)解法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,y=24x3+9x2-16x-4.解法二:y=(3x3-4x)(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)2=24x3+9x2-16x-4.(2)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.,(3)y=(3xex)-(2x)+(e)=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xexln3+3xex-2xln2=(ln3+1)(3e)x-2xln2.,点评 深刻理解和掌握导数的运算法则是解决此类问题的关键.求复合函数的导数,其一般步骤是:分清复合关系,适当选定中间变量,正确分解复合关系;分层求导,弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数,即分解(复合关系)求导(导数相乘).,解析:由导数的运算法则可知.,答案:B,题型二导数的几何意义【例3】 已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.,解 (1)f(2)=23+2-16=-6,点(2,-6)在曲线上.f(x)=(x3+x-16)=3x2+1.在点(2,-6)处的切线的斜率:k=f(2)=322+1=13.切线的方程为y=13(x-2)+(-6).即y=13x-32.,点评 求切线方程时,要注意看点(x0,y0)是否在曲线上,且要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别.,变式3:(2010新课标全国卷)曲线在点(-1,-1)处的切线方程为( )A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=-2x-3 D.y=-2x-2,解析:y|x=-1=2,切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.答案:A,解题方法拾遗从近两年的高考试题来看,求导公式和法则导数的几何意义是高考的热点,曲线的切线是热点中的热点,在复习中一定要注意曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别.,【例4】 已知直线y=kx+1与y=x3+ax+b切于点(1,3).(1)求k,a,b的值;(2)求直线与曲线的公共点.,考向精测,1.(2011山东模拟)曲线y=2x-x3在x=-1处的切线方程为( )A.x+y+2=0 B.x+y-2=0C.x-y+2=0 D.x-y-2=0解析:y=2-3x2,曲线在x=-1处的切线的斜率为y|x=-1=-1,切点坐标为(-1,-1),切线方程为y+1=(-1)(x+1),即x+y+2=0.答案:A,2.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为x-2y+1=0则f(1)+2f(1)的值是( )A. B.1C. D.2解析:(1,f(1)在直线x-2y+1=0上,1-2f(1)+1=0,f(1)=1,又f(1)=,故f(1)+2f(1)=1+2 = 2.答案:D,教师备课资源,1.(2011陕西模拟)设曲线y=xn+1(nN+)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2010x1+log2010x2+log2010x2009的值为( )A.-log20102009 B.-1C.log20102009-1 D.1,解析:由y=xn+1得y=(n+1)xn,则在点(1,1)处切线的斜率k=n+1,切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xnlog2010x1+log