福建省建瓯市芝华中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题.docx

福建省建瓯市芝华中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 考试时间：120分钟 分值：150一、选择题，每题5分共60分，每题只有一个答案符合要求。1若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A B C D2.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A B C D3某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分(如图)，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为() A20,2 B24,4 C25,2 D25,44、已知双曲线的离心率,且与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D. 5设命题(其中为常数)，则“”是“命题为真命题”（ ）A充分不必要 B必要不充分 C充分且必要 D既不充分也不必要6为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系设其回归直线方程为x.已知xi225，yi1 600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为() A160 B163 C166 D1707、若命题:函数的单调递增区间是,命题:函数的单调递增区间是,则()A. 是真命题 B. 是假命题 C. 是真命题 D. 是真命题8.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，N是BC的中点，试用a，b，c表示.（ ）A. abc. B. abc. C. a-bc. D. a-bc.9.设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2， P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为 ( )（A） （B） （C） （D）10正四棱锥SABCD中，SAAB2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()A B C D11.已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）A5 B8 C.2 D.112. 已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）A B C. D. 二、填空题，每题5分，共20分。 13命题：的否定为_ .14. 直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成角为 15.过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程 16.已知1(ab0)，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为_三、解答题，第17题10分，18-22每题12分，共70分。17.（本题10分）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。()求椭圆C的方程；()直线平行于直线OA，且过点（0，t）,若直线与椭圆C有公共点，求t的取值范围。18.（本题12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD=1 (1)证明：平面PQ平面DCQ； (2)证明：PCBAQ19.（本小题满分12分）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|8.()求抛物线C的方程；()设直线LMN，且在y轴上的截距为2，L与抛物线交于K,G两点，求面积。20.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD2，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD ，求二面角APBC的余弦值21、设分别为双曲线的左、右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程;（2）已知直线与双曲线的右支交于两点,且在双曲线的右支上存在点,使,求的值及点的坐标.22.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值1若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()ABCD【答案】B【解析】设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A).2.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()ABCD【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P.故选C3某班一次测试成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分(如图)，根据图中的信息可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为() A20,2B24,4C25,2D25,4【答案】C【解析】由频率分布直方图可得分数在50,60)内的频率是0.008100.08，又由茎叶图可得分数在50,60)内的频数是2，则被抽测的人数为25.又由频率分布直方图可得分数在90,100内的频率与分数在50,60)内的频率相同，则频数也相同，都是2，故选C4、已知双曲线的离心率,且与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程是()A. B. C. D. 答案：C5设命题(其中为常数)，则“”是“命题为真命题”（ ）A充分不必要 B必要不充分 C充分且必要 D既不充分也不必要【答案】B【解析】若命题为真，则对任意，恒成立，所以，即.因为，则“”是“命题为真”的必要不充分条件，选.6为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系设其回归直线方程为x.已知xi225，yi1 600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为() A160B163C166D170【答案】C【解析】xi225，xi22.5.yi1 600，yi160.又4，160422.570.回归直线方程为4x70.将x24代入上式得42470166.故选C7、若命题:函数的单调递增区间是,命题:函数的单调递增区间是,则()A. 是真命题 B. 是假命题 C. 是真命题 D. 是真命题选D.8.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，N是BC的中点，试用a，b，c表示.A. abc. B. abc. C. a-bc. D. a-bc.【解析】N是BC的中点，abababc.9.设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2， P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为 ( )（A） （B） （C） （D）解析：法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m， 故离心率e.选（D）法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)选（D）10正四棱锥SABCD中，SAAB2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()ABCD选C解析建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得A(1，1,0)、C(1,1,0)、B(1,1,0)、S(0,0，)(2，2,0)，(1，1，)，(1，1，)设平面SBC的一个法向量n(x，y，z)，则，令z，得x0，y2，n(0,2，)设直线AC与平面SBC所成的角为，则sin|cosn，|.11.已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是A5 B8C.2 D.1解析设圆心为C，则C(0,4)，半径r1，设抛物线的焦点F(1,0)，据抛物线的定义知，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线距离之和为|PQ|PF|PC|1|PF|PC|PF|CF|11.答案D12. 已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）A1 BC. D. 解析：设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线，（3,0），直线的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，=.13命题：的否定为_.【答案】【解析】由题全称命题的否定为特称命题，所以的否定为.故答案为：14. 直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成角为 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，cos，.，60，即异面直线BA1与AC1所成角为60.15.过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是，又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为。解法二：设直线与椭圆的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，所以，又A、B两点在椭圆上，则，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A()，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-)，因为A、B两点在椭圆上，所以有，两式相减得，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为。16.已知1(ab0)，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为_解析设P(x0，y0)，不妨设y00，则k10，k20，|k1|k2|k1k2.又1，a2xy，|k1|k2|.0y0b，当y0b时，|k1|k2|的最小值为1，e21，e.答案17.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。()求椭圆C的方程；()直线平行于直线OA，且过点（0，t）,若直线与椭圆C有公共点，求t的取值范围。17.解()依题设椭圆C为，且右焦点F（-2，0），解得，又，故椭圆C的方程为。4分另解：设椭圆方程为.又椭圆C经过点A(2,3)，,化简整理得，解得=12或=-3(舍去）.所以所求椭圆的方程为.4分(设：为，由，解得，6分.18.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD=1图4(1)证明：平面PQ平面DCQ；(2)证明：PC平面BAQ.解析：【答案】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1，0)，所以0，0，即PQDQ，PQDC且DQDCD故PQ平面DCQ. (2)根据题意，(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，故有0，0，所以为平面BAQ的一个法向量又因为(0，2,1)，且0，即DAPC，且PC平面BAQ，故有PCBAQ19.（本小题满分15分）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|8.()求抛物线C的方程；()设直线LMN，且在y轴上的截距为2，L与抛物线交于K,G两点，求的面积19解：()由题可知F(，0)，则该直线方程为yx，代入y22px(p0)，得x23px0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x23p.|MN|8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，抛物线的方程为y24x. 5分() 20.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD2，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD ，求二面角APBC的余弦值解析(1)证明：因为DAB60，AB2AD2，由余弦定理得BD，从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.又ADPDD，所以BD平面PAD.故PABD.(2)如图，以D为坐标原点，设AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐 标系Dxyz.则A(1,0,0), B(0，0)，C(1 ，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0).(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)cosm，n.由图可知二面角APBC为钝角故二面角APBC的余弦值为.21、设分别为双曲线的左、右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程;（2）已知直线与双曲线的右支交于两点,且在双曲线的右支上存在点,使,求的值及点的坐标.19答案及解析：答案：1.双曲线的渐近方程为,焦点为,焦点到渐近线的距离为,又,双曲线的方程为.2.设点由得: ,有又点在双曲线上, ,解得,点在双曲线的右支上,此时点.22.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF