管理学中的数学方法.doc

引论：数学规划（Mathematical Programming）简介数学规划研究的是在变量（决策变量decision variables）满足一些等式和不等式限制的条件下，求函数（也可为多个，称为目标函数objective function）的最大值（或最小值）的问题，其中约束条件往往用约束函数（constraint function），来表示。有时也可写成集合约束的形式，令，称为可行集或可行域（feasible region），中的点称为该数学规划的可行点或可行解（feasible solution）.上述数学规划常被记为l 数学规划的分类：可行域（决策变量）：无约束优化，约束优化 离散最优化，连续最优化，整数规划，混合整数规划函数（目标、约束）性质：线性规划，非线性规划，二次规划（目标函数是二次函数，约束函数是线性函数）单目标规划，多目标规划其他：动态规划，随机优化，模糊优化例1. 投资问题1资金10亿，投资于8中证券，期望收益率分别为，投资最低期望收益率为，证券收益率的协方差矩阵为，由Markowitz投资组合理论，投资组合（portfolio）的风险是，于是，使该组合投资风险最小的数学规划模型为：这是一个二次规划。例2. 投资问题2资金10亿，可建8个工厂，分别需投资，投资时间内的收益分别为，求最佳的投资方案。l 决策变量：决策变量的处理方法：转为整数，加入约束条件l 约束条件：l 目标函数： 总收益最大 总利润最大 利润率最大这是一个整数规划例3. 仓库选址个市场，位置分别为，对某种指定货物的需求量分别为现在要建个仓库，第个仓库可存储该指定货物个单位，请确定仓库的位置，使各仓库对各市场的运输量与路程的乘积之和为最小。l 决策变量：，仓库的位置，仓库到市场的运输量，l 目标函数：其中为仓库到市场的距离l 约束条件：仓库容量 市场需求 运输量非负 ，这是一个非线性规划。l 数学规划的标准形式： l 定义：给定，若使得对任意的有，则称为的最优解（optimal solution），为的最优值，最优解集记为.第1章 无约束优化问题一、数学基础1. 维欧式空间称分量为实数的全体维列向量的集合为维欧式空间。l 向量的坐标令称为中的坐标系，坐标原点为.由于，故可以将中的向量视为坐标系中的点，为点在坐标轴上的坐标（），这样，我们可以通过坐标定义中的向量之间的运算。l 向量的运算设，定义（1）向量加法：（2）向量减法：令，则（3）数与向量的乘积：（4）向量的乘法（内积）：l 运算性质：（1）加法结合律：（2）加法交换律：（3）乘法（内积）交换律：（4）乘法分配率：l 向量的长度称为中向量的长度（模）l Cauchy-Schwarz不等式：若，则证明：考虑关于实变量的一元二次函数故其判别式 ，从而，即.练习：利用Cauchy-Schwarz不等式证明三角形不等式：提示：利用向量长度的定义与向量的运算性质。l 向量的夹角由Cauchy-Schwarz不等式，若，则，故可令，称为向量的夹角，则有.为锐角，此时称向量互相垂直为钝角l 中点的邻域若，称为点的邻域。2. 多元函数的导数：梯度与海赛（Hesse）矩阵l 元实值函数 ，l 称向量为在处的梯度向量（gradient），它可以被理解为多元函数在处的一阶导数。l 称矩阵为在处的海赛矩阵，它可以被理解为多元函数在处的二阶导数，也常常被简记为若的每个分量函数在处都连续，则称在处一阶连续可微。若的每个分量函数在处都连续，则称在处二阶连续可微。若在处二阶连续可微，则是对称阵。例1. 若为实对称阵，求（1）线性函数（2）二次函数的梯度和Hesse矩阵。解：（1），故，（2）令，故，故从而，.3. 多元函数的泰勒展开式l 一个简单多元复合函数的求导若函数的偏导数存在且连续，单变量函数具有一阶连续导数，考虑关于的简单多元复合函数，其关于的导数为：例2若一阶连续可微，求一元函数的一阶和二阶导数。解：令，则，故从而定理1. 给定函数，（1）若在点的某个邻域内一阶连续可微，则存在使得.（2）若在点的某个邻域内二阶连续可微，则存在使得.证明：（2）当时，令，则在上连续，在内二阶连续可微，且，于是，有一元函数的泰勒公式可知存在使得，即.类似地，也有：定理2. 给定函数（1）若在点的某个邻域内一阶连续可微，则.（2）若在点的某个邻域内二阶连续可微，则.4. 矩阵的正定和半正定性设是一个对称矩阵，若对任意的有，则称是一个正定矩阵；若对任意的有，则称是一个半正定矩阵。对于矩阵，其前行和前列的公共部分构成的矩阵的行列式称为的阶顺序主子式。（），记为.结论：正定半正定负定 负正定二、无约束规划问题问题：l 无约束规划问题的最优解的类型：设，（1）若存在的邻域，使得，则称为的局部最优解，若，则称为的严格局部最优解；（2）若对任意的，有，则称为的全局最优解，若对任意的，有，则称为的严格全局最优解。l 一阶必要条件定理3. 设一阶连续可微，为的一个局部最优解，则.证明：对于任意的，由于为的局部最优解，存在使得当时有，于是，令，则由罗必达法则可知，有，这个对任意的成立，故必有.注意，定理3仅是必要条件，而非充分条件，即梯度为的点并不一定是局部最优解。例3. 考虑 则，在处显然有，但是不是局部最优解，因为对于任意的，有.满足的点称为函数的稳定点或驻点，这些点可能成为函数的极大点或极小点，也可能不是极值点。不是极值点的稳定点称为函数的鞍点。l 二阶必要条件定理4. 设二阶连续可微，为的一个局部最优解，则且半正定。证明：只需证明半正定。对于任意的，由于为的局部最优解，存在使得当时有，另一方面，记，则，此时有二阶泰勒展开式，从而可得，在上式两端同时除以并令，可得，这个对任意的成立，说的就是半正定。例4. 考虑则，方程有两个解和，此时，由，不是半正定矩阵，故仅有可能为最优解！l 二阶充分条件定理5. 设二阶连续可微，且，正定，则为的一个严格局部最优解。证明：任取，令，则，记，则，此时有二阶泰勒展开式，由，故.下面只