概率统计简明教程（同济版）课件第4章

第四章 随机变量及其分布,重点,随机变量的概念,分布函数的概念,第一节 随机变量及分布函数,本章，将用随机变量表示事件，以便于采用高等数学的方法描述、进而研究随机现象。,在前面的学习中,我们用字母A、B、C.表示事件，并视之为样本空间 的子集；,若能将样本空间数量化,即用数字来表示试验的结果,将会带来很大的方便,更便于用数学方法和工具来研究随机现象。,有些随机试验的结果本来就可以用数量来表示.,（1） 在掷骰子试验中,结果用1,2,3,4,5,6来表示；,例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的,可规定: 用 1表示 “正面”，用 0 表示“反面”,有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化,例如,（2）抽样中出现的废品数,例 设箱中有10个球，其中有2个红球，8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。,取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白,特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了一个对应关系,如果用X表示抽得的红球数，则X的取值为0，1，2。此时， “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 X=2 “一红一白”= X=1, “两只白球”X=0,试验结果的数量化,随机变量的定义,随机变量,设随机试验的样本空间为，如果对于每一个样本点 ，均有唯一的实数 与之对应，称 为样本空间上的随机变量。,例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的,可规定: 用 1表示 “正面” ，用 0 表示“反面”,则,为简便起见，今后我们将事件,关于随机变量的研究，是概率论的中心内容。前面我们所学的随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点。,可以看出，随机事件这个概念是包容在随机变量这个更广的概念之内。如数学中常量与变量的区分那样，变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念。同样，概率论能从一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念就是随机变量。,某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.在0，1区间上随机取点，该点的坐标X.,X 的可能取值为 0,+),Y 的可能取值为 0，1，2，3，.,M,X 的可能取值为 0，1上的全体实数。,例,随机变量的实例,随机变量根据其取值方式的不同，通常分为两类：离散型随机变量与连续型随机变量。后面将分别进行讲述。,随机事件通常都可以用X的不同取值来表示.,“出现的点数大于2小于6”可表示为：3 X5,如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则,“出现偶数点”可表示为：X=2 X=4 X=6,“出现2点”可表示为：X=2,对于有关求随机变量的问题，通常要解决两点：,1、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？,2、随机变量取这些值以及随机变量属于数轴上任一集合S（即 ）或区间的概率是多少？,若解决了这两个问题（即对任 都知道），就说确定了随机变量X的概率分布。,例 设袋中装着标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球。从中任取一个，用X表示取得的球号，求X取任一数字的概率及 的概率。,解,X可能的取值为-1，2，3，根据古典概率计算公式:,一般地，X落在某区间 上的概率可以表示为：,因此，对于一切 ，只要算出概率 ，就能算出X落在任意区间 的概率了，也就相当于找到了X的概率分布。,因当 确定时，概率 就有确定的对应值，因而 是 的函数。记作：,称 为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。,本质上是一个累积函数。,例（前）设袋中装着标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球。从中任取一个，用X表示取得的球号，求X的分布函数。,解,X： -1， 2， 3,P：,x,x,x,x,当 时，,是不可能事件，,当 时，,当 时，,当 时，,为必然事件，,即,分布函数的性质：,(1),(3),(4),即分布函数是一个右连续函数。,引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。,练一练,已知 X 的分布律为,求X的分布函数，并画出它的图形。,第二节 离散型随机变量,重点,理解离散型随机变量及分布律的概念,会用分布律或分布函数的概念和性质计算有关事件的概率,随机变量的类型,离散型,非离散型,随机变量的所有取值是有限个或可数个,随机变量的取值不能一一列举,连续型随机变量,对于求离散型随机变量的问题，通常要解决两点：,1、在一道题目当中随机变量可能取些什么值？,2、随机变量取这些值的概率是多少？,设离散型随机变量 X 的所有可能取值是 x1,x2,xk,，而X 取值 xk 的概率为 pk,称以上为离散型随机变量X的分布律。,随机变量X的概率分布全面表达了X的可能取值以及取各个值的概率情况,其中,解,由于,由等比级数公式得,例 若离散型随机变量可能取的值为0、1、2、3、4，且其概率分布为 ，求 。,解,即,例 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示抽得的次品数，求随机变量X的分布律及X的分布函数。,解：X的可能取值为 0，1，2,=P(抽得的两件全为正品),P(X=1),P(X=2),=P(只有一件为次品),=P(抽得的两件全为次品),P(X=0),故X的分布律为,由此可得X的分布函数,对于离散型随机变量，,几种常见的重要分布,0-1分布,则称X的分布为0-1分布（两点分布）。,背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用0-1分布来计算。,如：抛硬币一次。,定义： 若随机变量X的分布律为:,例,设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型随机变量,则X服从0-1分布，其分布律为:,其中0 p 0, 则称X服从参数为的泊松分布,XP(),定义,服务台在某时间段内接待的服务次数X；交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y;矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目,体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。,实际问题中若干随机变量X是服从或近似服从 Poisson分布的,已知广州学院三饭堂一菜式西兰花炒牛肉，一勺西兰花中牛肉的数目X服从 的泊松分布，分别求（1）一勺西兰花中恰好有三片牛肉的概率；（2）一勺西兰花中牛肉不超过四片的概率。,例,解,查表,泊松定理,二项分布的泊松近似, 实际应用中：当n20,p0.05时， 即可用近似公式,其中 。,某人骑摩托车上街,出事故率为0.02，独立重复上街400次，求出事故至少两次的概率.,400次上街400重Bernoulii实验,记X为出事故的次数，则,P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1),结果表明，随着实验次数的增多，小概率事件总会发生的！,例,解,第三节 连续型随机变量,重点,掌握正态分布，了解均匀分布与指数分布,会用分布函数的性质计算有关事件的概率,在高数中我们学习过一个特殊的函数，,积分上限函数：,其中，x是自变量，t是积分变量。,上一节讨论的离散型随机变量只可能取有限多个值，除了离散型随机变量，上一节我们还提过还有一类随机变量，叫连续型随机变量，如：,2、在0，1区间上随机取点，该点的坐标X.,1、某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。,X 的可能取值为 0,+),X 的可能取值为 0，1上的全体实数。,对这种变量的概率分布，不能像离散型随机变量一样由分布律给出，因为这种变量充满了一个区间，无法一一排出，我们要寻求一种与离散型随机变量的分布函数相应的描述方法。,定义,则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概率密度函数,简称密度函数.,定义 设 X 是随机变量, 若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得,对于离散型随机变量，,对于连续型随机变量，,概率密度函数的性质,非负性,必然事件的概率,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量密度函数的条件,密度函数的区间上的积分 = 区间上的概率,由分布函数与密度函数的性质可得以下结论：,设X是任意一个连续型随机变量，F(x)与f(x)分别是它的分布函数与密度函数，则,F(x)是连续函数，且在f(x)的连续点处有,(2) 对任意一个常数c， ，有,P(a X b)= P(aXb)=P(a X b)=P(aXb),(3),Step1: 利用密度函数的性质求出 a,例：已知密度函数求概率,Step2: 密度函数在区间的积分即是此区间的概率,例：已知分布函数求密度函数,（2)求X 的密度函数,（2）密度函数为,解:,当 x1 时,当1 x 5 时,例：已知密度函数求分布函数,已知连续型随机变量X的概率密度为,求 X 的分布函数,当 x5 时,所以,练一练,已知连续型随机变量X的密度函数为,（2） 求 X 的分布函数,均匀分布,若连续型随机变量X的密度函数为,则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布其中a，b为两个参数，记为 X R (a, b)。,定义,分布函数,均匀分布即是区间上的几何概型。,指数分布,若连续型随机变量X的密度函数为,则称X服从参数为的指数分布，记为：,定义,分布函数,例 .电子元件的寿命X(年）服从参数为0.5的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,指数分布,若连续型随机变量X的密度函数为,则称X服从参数为的指数分布，记为：,定义,分布函数,正态分布,关于 x = 对称,（- ，）升，（，+ ）降,单调性,对称性,最大值,中间高两边低,性质,f ( x) 的两个参数：, 位置参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同, 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.,f ( x) 的两个参数：,正态变量的条件,若随机变量 X, 受众多相互独立的随机因素影响, 每一因素的影响都是微小的, 且这些正、负影响可以叠加,这样的 X 为正态随机变量,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差； 人体的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生的考试成绩；,标准正态分布,定义,X N（0，1）分布称为标准正态分布,密度函数,分布函数,标准正态分布的概率计算,公式,查表,如,例,求 1),但对于一般的正态分布，如何求其分布函数值呢？,XN（0，1）,概率计算,查标准正态分布表,一般正态分布的区间概率,。,。,。,X,设XN（1，4），求 P(0X1.6),解,例,练一练,设XN（2，9），求 1) P(-1X5),X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径的区间内。这是因为：,3准则,可以把区间 作为X实际可能的取值区间。通常称这一结论为 规则。,