二次函数与圆(有答案版本).doc

二次函数与圆有关的问题题1：（本题满分10分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作C，抛物线过A、C、O三点(1) 求点C的坐标和抛物线的解析式；(2) 过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OAOD，求证：DB是C的切线；(3) 抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由1题图解：（1）A（6，0），B（0，6） 1分连结OC,由于AOB=90o，C为AB的中点，则，所以点O在C上（没有说明不扣分）过C点作CEOA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3又点C在直线y=x+6上，故C（3，3） 2分抛物线过点O，所以c=0,又抛物线过点A、C，所以，解得： 所以抛物线解析式为 3分（2）OA=OB=6代入OB2=OAOD，得OD=6 4分 所以OD=OB=OA，DBA=90o 5分 又点B在圆上，故DB为C的切线 6分（通过证相似三角形得出亦可）（3）假设存在点P满足题意因C为AB中点,O在圆上,故OCA=90o,要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，则 CAP=90o或 COP=90o, 7分若CAP=90o,则OCAP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b又AP过点A（6，0），则b=6, 8分方程y=x6与联立解得：， 故点P1坐标为（3，9） 9分 若COP=90o,则OPAC，同理可求得点P2（9，9） (用抛物线的对称性求出亦可) 故存在点P1坐标为（3，9）和P2（9，9）满足题意10分题2： (8分)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边CDE恰好与坐标系中的OAB重合，现将CDE绕边AB的中点G(G点也是DE的中点)，按顺时针方向旋转180到C1DE的位置(1)求C1点的坐标；(2)求经过三点O、A、C的抛物线的解析式；(3)如图，G是以AB为直径的圆，过B点作G的切线与x轴相交于点F，求切线BF的解析式；(4)抛物线上是否存在一点M，使得SAMFSOAB163若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由第26题图第26题图第26题图解：(1)C(3，) (2)抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为yax2bx把A(2，0)，C(3，)带入，得 解得a，b抛物线解析式为yx2x(3)ABF90，BAF60，AFB30又AB2 AF4 OF2 F(2，0) 设直线BF的解析式为ykxb把B(1，)，F(2，0)带入，得 解得k，b直线BF的解析式为yx (4)当M在x轴上方时，存在M(x，x2x)SAMF：SOAB4(x2x)：2416：3得x22x80，解得x14，x22当x14时，y424；当x12时，y(2)2(2)M1(4，)，M2(2，)当M在x轴下方时，不存在，设点M(x，x2x) SAMF：SOAB4(x2x)：2416：3得x22x80，b24ac0 无解 综上所述，存在点的坐标为M1(4，)，M2(2，)题3：抛物线的顶点为M，与轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），ABM的三个内角M、A、B所对的边分别为m、a、b。若关于的一元二次方程有两个相等的实数根。（1）判断ABM的形状，并说明理由。（2）当顶点M的坐标为（2，1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。（3）若平行于轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与轴相切，求该圆的圆心坐标。解：（1）令 得 由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知ABM是一个以、为直角边的等腰直角三角形 （2）设ABM是等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半又顶点M(2，1)，即AB2A(3，0)，B(1，0)将B(1，0) 代入中得抛物线的解析式为，即图略（3）设平行于轴的直线为解方程组得， （线段CD的长为以CD为直径的圆与轴相切据题意得解得 圆心坐标为和题4如图10，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，连结BD，求直线BD的解析式；图10（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDBCBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1) 以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，又AOC= COB=90，AOC COB，1分又A(1，0)，B(9，0)，解得OC=3(负值舍去)C(0，3)，3分设抛物线解析式为y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得a=，二次函数的解析式为y=(x+1)(x9)，即y=x2x34分(2) AB为O的直径，且A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，5分点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，BCD=BCE=90=45，连结OD交BC于点M，则BOD=2BCD=245=90，OO=4，OD=AB=5D(4，5)6分设直线BD的解析式为y=kx+b（k0）7分图10答案图1解得直线BD的解析式为y=x9.8分(3) 假设在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD，解法一：设射线DP交O于点Q，则分两种情况(如答案图1所示)：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把点C、D绕点O逆时针旋转90，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，因此，点Q1(7，4)符合，D(4，5)，Q1(7，4)，用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x9分解方程组得点P1坐标为(，)，坐标为(，)不符合题意，舍去10分Q1(7，4)，点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合D(4，5)，Q2(7，4)用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x1711分解方程组得点P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去12分符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)图10答案图2解法二：分两种情况(如答案图2所示)：当DP1CB时，能使PDB=CBDB(9，0)，C(0，3)用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x3又DP1CB，设直线DP1的解析式为y=x+n把D(4，5)代入可求n= ，直线DP1解析式为y=x9分解方程组得点P1坐标为(，)，坐标为(，)不符合题意，舍去10分在线段OB上取一点N，使BN=DM时，得NBDMDB(SAS)，NDB=CBD由知，直线BC解析式为y=x3题5（本题满分14分）如图，已知抛物线y = ax2 + bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为设M与y轴交于D，抛物线的顶点为E（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设DBC = a，CBE = b，求sin（ab）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解（1）由题意可知C（0，3）， 抛物线的解析式为y = ax22ax3（a0），过M作MNy轴于N，连结CM，则MN = 1， CN = 2，于是m =1同理可求得B（3，0）， a3222a33 = 0，得 a = 1， 抛物线的解析式为y = x22x3 （2）由（1）得 A（1，0），E（1，4），D（0，1） 在RtBCE中， ， ，即 ， RtBODRtBCE，得 CBE =OBD =b，因此 sin（ab）= sin（DBCOBD）= sinOBC =（3）显然 RtCOARtBCE，此时点P1（0，0）过A作AP2AC交y正半轴于P2，由RtCAP2 RtBCE，得过C作CP3AC交x正半轴于P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，13），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似题6： 已知：是边长为的等边的外接圆，以过点的直径所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，轴与交于点8f（1）求，三点坐标（2）求过，三点的抛物线的解析式（3）的切线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，切点为点，且，试判断直线是否过抛物线的顶点？并说明理由题7：如图是二次函数的图象，顶点为，与轴的交点为（） 求经过、两点的直线的函数关系式；（） 若的圆心为，半径为，过向该圆作切线，切点为请求出所有能使与全等的、的值；（） 请在第二象限中的抛物线上找一点，使的面积与的面积相等AByxO解：（1）1分设过、的直线的函数关系式为2分 有解得：3分函数关系式为：4分（2）要使与全等，即，5分6分故有四组解： 7分（3）过，令 9分AByxDCO 10分 而（舍）11:题8：（13分）已知抛物线（m为常数）经过点（0，4）求m的值；将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线。已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为8.试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由。解：（1）依题意得：02+40+m=4，解得m=4 （3分）（2） 由（1）得：y=x2+4x+4=(x+2)2， 对称轴为直线l1: x=-2 （4分） 依题意得平移后的抛物线的对称轴为直线直线l2：x=2 （5分） 故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为y =(x-2)2+k （6分） 此函数最小值为-8，k=-8 即平移后的抛物线所对应的函数关系式为y =(x-2)2-8= x2-4x-4 （7分） 存在。理由如下： 由知平移后的抛物线的对称轴为直线l2：x=2 当点P在x轴上方时，P与x轴相切，故令y= x2-4x-4=3， 解得x=2 （8分） 此时点P1(2+,3),P2(2-,3)与直线x=2之距均为， 故点P1、P2不合题意，应舍去。（9分）当点P在x轴下方时，P与x轴相切，故令y= x2-4x-4=-3，解得x=2 （10分）此时点P3(2+,-3),P4(2-,-3)与直线x=2之距均为，3，P3、P4均与直线l2：x=2相间，故点P3、P4符合题意。（11分）此时弦AB=2综上，点P的坐标为(2+,-3)或(2-,-3)，直线l2被P所截得的弦AB的长为4。（13分）题9：（本题满分10分）如图281，设抛物线交轴于两点，顶点为以为直径作半圆，圆心为，半圆交轴负半轴于（1）求抛物线的对称轴；（2）将绕圆心顺时针旋转，得到三角形，如图282求点的坐标；（3）有一动点在线段上运动，的周长在不断变化时是否存在最小值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由ABMOCxyMOxyPC图281图282xOPy题9：如图，已知P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当P与轴相切时，圆心P的坐标为_。第18题题10：已知抛物线与y轴的交于C点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C。（1）求抛物线的对称轴及C、C的坐标（可用含m的代数式表示）；（2）如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P的坐标（可用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。题11：（本题满分12分）如图13，四边形AOBC为直角梯形，OC，OB5AC，OC所在的直线方程为，平行于OC的直线为：，由A点平移到B点时，与直角梯形AOBC两边所围成的三角形的面积记为。(1)求点C的坐标；(2)求的取值范围；(3)求出与之间的函数关系式。26如图，已知二次函数y=ax2bxc的象经过A(1，0)、B(3，0)、N(2，3)三点，且与y轴交于点C。(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；(2)若直线y=kxd经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；(3)点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。题12：（本小题满分10分）已知：半径为1的O1与X轴交于A、B 两点，圆心O1的坐标为（2, 0)，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、B两点，其顶点为F.（1）求 b、c的值及二次函数顶点F的坐标； (4分）（2）写出将二次函数y=-x2+bx+c的图象向下平移1个单位再向左平移2个单位的图象的函数表达式；（2分）（3）经过原点O的直线与O相切，求直线的函数表达式.(4分）解：题13：如图是二次函数的图象，顶点为，与轴的交点为（） 求经过、两点的直线的函数关系式；（） 若的圆心为，半径为，过向该圆作切线，切点为请求出所有能使与全等的、的值；（） 请在第二象限中的抛物线上找一点，使的面积与的面积相等AByxO解：（1）1分设过、的直线的函数关系式为2分 有解得：3分函数关系式为：4分（2）要使与全等，即，5分6分故有四组解： 7分（3）过，令 9分AByxDCO 10分 而（舍）11分题14：已知：如图（13），抛物线的顶点C在以D（2，2）为圆心，4为半径的圆上，且经过D与轴的两个交点A、B，连结AC、BC、OC。（1） 求点C的坐标；（2） 求图中阴影部分的面积；（3） 在抛物线上是否存在点P，使DP所在直线平分线段OC？若存在，求出点P的坐标；枯叶不存在，请说明理由。 解：（1）如图，作CH轴，垂足为H， 直线CH为抛物线对称轴，H为AB的中点。1分CH必经过圆珠笔心D（2，2）。DC=4，CH=6 C点的坐标为（2，6）。3分 （2）连结AD。 在RtADH中，AD=4，DH=2， ，4分 5分。6分阴影部分的面积。7分 （3）又，H点坐标为（2，0），H为AB的中点，A点坐标为（22，0），B点坐标为（，0）。8分又抛物线顶点C的坐标为（2，6），设抛物线解析式为。B（，0）在抛物线上，解得。抛物线的解析式为9分设OC的中点为E，过E作EF轴，垂足为F，连结DE，CH轴，EF轴，CHEFE为OC的中点，。即点E的坐标为（1，3）。设直线DE的解析式为，解得，直线DE的解析式为。10分若存在P点满足已知条件，则P点必在直线DE和抛物线上。设点P的坐标为（，），即点P坐标为（，），解这个方程，得，点P的坐标为（0，4）和（6，2）。故在抛物线上存在点P，使DP所在直线平分线段OC。12分题15：已知：是边长为的等边的外接圆，以过点的直径所在直线为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，轴与交于点8f（1）求，三点坐标（2）求过，三点的抛物线的解析式（3）的切线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，切点为点，且，试判断直线是否过抛物线的顶点？并说明理由题16：（本题满分10分）已知抛物线经过点、（），且与轴交于点（1）求、的值（用含的式子表示）；（2）如图所示，过、三点，求阴影部分扇形的面积（用含的式子表示）；（3）在轴上方，若抛物线上存在点，使得以、为顶点的三角形与相似，求的值MOCAB解：（1）依题意得有，解得：（2分）抛物线的解析式为：（2）时，又（5分）（3）如图，由抛物线的对称性可知，若抛物线上存在点，使得以、为顶点的三角形与相似，则关于对称轴的对称点也符合题意，即、对应的值相同下面以点在对称轴右侧进行分析：（6分）情形一：如图，则，过作轴垂足为，连、在Rt中 P MBDOCA，可令若在抛物线上，则有即，解得，显然不合题意，舍去此时又由，得由、有：整理得：解得：，即若抛物线上存在点，使得以、为顶点的三角形与相似，PDMOCAB则；（8分）情形二：则，同于情形一：，可令若在抛物线上则有整理得：解得：，或显然不合题意，舍去！此时又由得：由、得：整理得，显然无解！（10分）综合情形一、二得：若抛物线上存在点，使得以、为顶点的三角形与相似，则（特别说明：学生只考虑一种情形时，缺情形一，扣2分；缺情形二，扣1分）题17：如图8，在直角坐标系中，以点为圆心，以为半径的圆与轴相交于点，与轴相交于点（1）若抛物线经过两点，求抛物线的解析式，并判断点是否在该抛物线上（6分）（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点，使得的周长最小（3分）（3）设为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点，使得四边形是平行四边形若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（4分）图8OABDEyxC解：（1），又在中，的坐标为3分又两点在抛物线上，解得抛物线的解析式为：5分当时，点在抛物线上6分（2）抛物线的对称轴方程为7分在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小的长为定值要使周长最小只需最小连结，则与对称轴的交点即为使周长最小的点设直线的解析式为由得直线的解析式为由得故点的坐标为9分（3）存在，设为抛物线对称轴上一点，在抛物线上要使四边形为平行四边形，则且，点在对称轴的左侧于是，过点作直线与抛物线交于点由得从而，故在抛物线上存在点，使得四边形为平行四边形13分题18如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结与相交于点（1）求证：；（2）设直线是的边的垂直平分线，且与相交于点若是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由AEODCBGFxyl 解：（1）在和中，四边形是正方形，又，3分（2）由（1），有，点是的外心，点在的垂直平分线上点也在的垂直平分线上为等腰三角形，而，设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点，把点，点的坐标代入中，得即解得抛物线的解析表达式为5分（3）假定在抛物线上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线与直线的交点AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为，并设直线与轴交于点，则由是等腰直角三角形把点，点代入中，得直线的解析表达式为设点，则有把代入，得，即解得或当时，；当时，在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上4分题19