高等几何考试试卷.doc

浙江省2002年4月高等教育自学考试高等几何试题课程代码：10027一、填空题(每空2分，共20分)1._，称为仿射不变性和仿射不变量.2.共线三点的简比是_不变量.3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_.4.点坐标为(1，0，0)的方程是_.5. =0代表点_的方程.6.已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_.7.对合由_唯一决定.8.二阶曲线就是_的全体.9.证明公理体系的和谐性常用_法.10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_直线.二、计算题(每小题6分，共30分)1.求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。2.求仿射变换的不变点.3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比.4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束x1-x3=0与x2-x3=0 (=)所决定的.5.求二次曲线2x2+xy-3y2+x-y=0的渐近线.三、作图题(每小题6分，共18分)1.给定点A、B，作出点C，使(ABC)=4. 作法：2.过定点P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法：3.如图，求作点P关于二次曲线的极线 作法：四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PSQR,B=PRQS,C=PQRS,证明A1=BCQR,B1=CARP, C1=ABPQ三点共线. 证明：2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l，证明ll. 证明：3.将ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。证明(按以下程序作业)：第一步：将ABC仿射变换为等边ABC(图乙)，为什么这样变换存在?第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么?浙江省2002年4月自考高等几何试题答案课程代码：10027一、填空题(每空2分，共20分)1. 经过一切透视仿射不改变的性质和数量2. 仿射3. 仿射变换4. u1=05. (1，1，0)、(1，-1，0)6. -17. 两对不同的对应元素8. 两个射影线束对应直线交点9. 模型10. 分散二、计算题(每小题6分，共30分)1.解：化为齐次式x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2= 无穷远点坐标为(2，1，0)2.解：由 得 解此方程，得不变点为3.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)为基底，则(2，1，-1)+1(1,-1,1)相当于(1，0，0) 得 1=1又 (2，1，-1)+2(1,-1,1)相当于(1，5，-5)得 2=-所求交比为 4.解：= (1)将x1-x3=0, x2-x3=0中的，代入(1)得 得 x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化简，即得所求的二阶曲线方程 5.解： 系数行列式 A31=, A32=, A33=-,因此中心坐标 =-,=- .由 2X2+XY-3Y2=0，即 (2X+3Y)(X-Y)=0.得 2X+3Y=0 X-Y=0. (1)将 X=x+ Y=y+ 代入(1)得 2x+3y+1=0 x-y=0即为所求的渐近线方程三、作图题(每小题6分，共18分)1.作法： (ABC)=， ,即 =3 .在AB延长线上，作点C，使BC=AB2.作法：(利用代沙格定理)：任取线束S，设束中两条直线交a于A，C，交b于A，C；连直线PC，PC分别交线束S的第三条直线于B，B；直线BA和BA的交点Q与点P的连线，即为所求的直线.注：1文字，2也可利用巴卜斯定理；或完全四点形调和性质作图.3.作法：过P点任引两直线，使与分别交于A、B及C、D，设Q=ACBD，R=ADBC，那么直线QR即为所求的极线.四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)1.证明：在ABC及PQR中，AP、BQ、CR共点S.对应边的交点C1=ABPQ， B1=CARP, A1=BCRQ三点共线2.证明：已知F为焦点，l，l为由F所引的二共轭直线，按其点定义，两迷向直线FI，FJ是二次曲线的切线.从而 (FI，FJ，l，l)=-1，所以 ll3.第一步，任意两三角形，总存在仿射变换，使其中一个三角形仿射变换为另一三角形.第二步：正三角形的每边三等份，每一分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形，求证它的三双对顶的连线共点.第三步：由A作BC边上的高线AS，ABC是正三角形，由对称性可知K，N在AS上.同理J、M与PL也分别在过点B、