第二章 计算机中数的表示和计算.doc

第二章 计算机中数的表示和计算一、定点数表示* 小数点位置固定，放在字首称小数定点，放在字尾称整数定点* 定点表示机器只能表示纯的整数或纯的小数，不能表示实数1、无符号数：最高位不是符号位 （1）整数定点：小数点放在字尾 例：以8位二进制为例，格式如下：S1S2S3S4S5S6S7S8 0 0 0 0 0 0 0 0 真值为0 0 0 0 0 0 0 0 1 真值为1 1 1 1 1 1 1 1 1 真值为281=255 （2）小数定点：小数点放在字首 例：以8位二进制为例，格式如下：S1S2S3S4S5S6S7S80.0 0 0 0 0 0 0 0 真值为00.0 0 0 0 0 0 0 1 真值为2-8 0.1 1 1 1 1 1 1 1 真值为12-82、有符号数：最高位是符号位，有效数值相应少一位 （1）整数定点：小数点放在字尾，最高位为符号位Sf Sf S1S2S3S4S5S6S7 （2）小数定点：最高位为符号位Sf，小数点放在Sf之后Sf S1S2S3S4S5S6S73、有符号数的码制 （1）原码* 数值不变，正数符号位Sf =0，负数符号位Sf =1，“0”值形式不唯一例： X = +1010 则X原 = 0，1010 X = -1010 则X原 = 1，1010 （2）补码* 正数符号位Sf =0，负数符号位Sf =1* 正数数值不变，负数数值各位取反，末位加1* “0”值形式唯一例： X = +1010 则X补 = 0，1010 正数形式与原码一样 X = -1010 则X原 = 1，0101 + 0001= 1，0110附加：* 已知一个补码，求其负值的补码，只需连同符号位一起，各位取反，末位加1* 变形补码：符号位取两位，则其含义如下：00表示正数、11表示负数、01表示正溢出、10表示负溢出 （3）反码* 正数符号位Sf =0，负数符号位Sf =1* 正数数值不变，负数数值各位取反* “0”值形式不唯一例： X = +1010 则X反 = 0，1010 正数形式与原码和补码一样 X = -1010 则X反 = 1，0101 （4）移码* 正数符号位Sf =1，负数符号位Sf =0，与前三种码不同* 正数数值不变，负数数值各位取反，末位加1，与补码相同* “0”值形式唯一例： X = +1010 则X反 = 1，1010 X = -1010 则X反 = 0，0101+ 0001= 0，0110 与补码就符号位不同特点：直接从码的数值上，就可以判断出其真值的大小关系二、浮点数表示 * 小数点的位置可以浮动，通过改变阶码值来实现1、格式S1S2SnSfJ1J2JmJf阶码阶符尾数尾符数学意义： N = S 2J，S用纯小数，表数的精度，J用纯整数，表数的范围例：设上述浮点格式n为8位，m为6位，均用补码，把（-17.25）表示成浮点数。则（-17.25）二进制数对应为（-10001.01），变成数学形式（-0.10001012101），其中除了阶底2为十进制数，其余皆为二进制，阶码为101（即十进制的5），尾数小数点左移了五位。按上述格式补齐数位，尾数在数后补0，阶码在数前补0。则上数变为（-0.100010102000101），尾数补码（1，01110110），阶码补码（0，000101）。该数值整体表示成：0，000101；1，01110110。2、表数范围（仅描述正数区间，负数只差符号）|X|MAX（1-2-n）2K，其中K2m-1|X|MIN（2-n）2-K，其中K2m-1注意：此区间没包括0值3、0值的浮点表示* 理解尾数的真正意义，表示数值序列，只是没有小数点* 理解阶码的真正意义，表示小数点的具体位置，正数在数值序列的后面（值变大），负数在数值序列的前面（值变小）* 0值的表示：数值序列为0，且值变为最小（阶码为负值，且绝对值最大）例：设上述浮点格式n为8位，m为6位，均用补码，表示0值。则0值表示成，尾数（0，00000000） ，阶码（1，000000），阶码为负值，且绝对值最大。该0值整体表示成：1，000000；0，00000000。注意：浮点0值若用补码表示则不是全0形式，硬件判断麻烦，所以有的机器数阶码用移码表示，尾数还用补码。4、规格化原因：保证有效数值尽可能最大化形式：要求1|S|（1/2），即尾数第一位S11表数范围：|X|MIN（2-1）2-K，其中K2m-1，|X|MAX同上5、定点数与浮点数的比较 （1）字长一定时，定点表数精度高，浮点表数范围大； （2）字长不同时（通常浮点表示字长要比定点表示长），浮点表数即精度高，又范围大； （3）浮点运算比定点运算慢，浮点数是两部分，要分别处理； （4）判断溢出时，定点数判断数值本身，浮点数判断阶码。三、定点数的运算1、移位运算 （1）逻辑移位：最高位不是符号位 规则：左移低位补0，右移高位补0 （2）算术移位：最高位为符号位，保持不变，仅对数值操作 规则：正数数值操作，左移低位补0，右移高位补0，不考虑码制 负数数值操作，原码时，左移低位补0，右移高位补0反码时，左移低位补1，右移高位补1补码时，左移低位补0，右移高位补1 （3）算术移位对结果的影响 正数数值操作时，不考虑码制，左移高位丢1，错误，右移低位丢1，误差 负数数值操作时，原码时，左移高位丢1，错误，右移低位丢1，误差 反码时，左移高位丢0，错误，右移低位丢0，误差 补码时，左移高位丢0，错误，右移低位丢1，误差注意：负数的补码可以理解为原码和反码的组合体，左为反码，右为原码2、加减法运算 * 仅描述补码规则，因为补码减法实际也是加操作，硬件简单，没有减法器 基本公式：A补B补S补 （mod M） A补B补A补B补S补 （mod M）规则：加法直接加上加数的补码，减法加上负值加数的补码注意：已知加数的补码，只需把其连同符号位一起，各位取反，末位加1，即为其负值加数的补码 溢出判断规则：同号相加，结果异号，则溢出 * 判断A0B0且A0S0是否同时成立，成立即溢出附加：（1）一位加法器逻辑组成，某位运算对应关系如下：AiBiSi（和值）Ci（对应的进位）0000011010101101则上述对应的逻辑关系为：SiAi 异或Bi ，CiAi 与Bi * 计算机其实是一种逻辑，不是真的计算，所有的运算均通过逻辑实现对应的逻辑关系图如下（可有数字电路实现）：与门异或门AiBiSiCi习惯上，在书上的讲解中把具体内容省略，再加上一个低位进位，抽象为下图： FAiAiBiSiCiCi+1（2）多位加法器的逻辑组成，下图以四位为例，1位为高位，4位为低位FA1A1B1S1C1C2FA2A2B2S2C2C3FA3A3B3S3C3C4FA4A4B4S4C4C外（3）并行补码加法器逻辑组成，n+1位（n位数值，1位符号位）GAVAAA0AnXX0Xnn+1位FAGsGs为减法标记，控制加数（当减法有效，X里各位取反，无效时，X里值不变）3、乘法运算（1）原码一位乘* 手算的计算机仿真，运算时符号单处理，绝对值参与运算* 计算机中数多为补码，所以运行时需码制转换规则：根据乘数yi的数值来决定如何运算当yi0时，部分积加|x|，然后部分积右移一位当yi1时，部分积加0，然后部分积右移一位例：x原1.1110，y原1.1101，求x*y原符号单处理，x01，y01，则积符x0异或y00运算时用绝对值，|x|0.1110，|y|0.1101，运算过程见下表部分积z乘数y操作说明 0.0000+0.1110 1101加|x| 0.1110 0.0111+0.00000 110右移一位加0 0.0111 0.0011+0.111010 11右移一位加|x| 1.0001 0.1000+0.1110110 1右移一位加|x| 1.0110 0.10110110 右移一位 则x*y原0.10110110小结：假设字长n位（不含符号位，上例n=4）* 部分积取n+1位，多的一位不是符号位，而是缓冲位，n位加法和可能为n+1位* 乘数取n位，仅取数值字长，不含符号位* 进行了n次加法，n次移位，加0也算一次* 移位采用逻辑移位规则，部分积和乘数一起参与* 计算过程中，若部分积最高位z0为1，不认为溢出，继续运算（2）补码一位乘* 补码运算过程中，补码直接参与运算，即符号位参与运算布斯比较规则：根据乘数yi和附加的yi+1的数值来决定如何运算当yi yi+100时，部分积加0，然后部分积右移一位当yi yi+101时，部分积加x补，然后部分积右移一位当yi yi+110时，部分积加-x补，然后部分积右移一位当yi yi+111时，部分积加0，然后部分积右移一位例：x补0.0011，y补1.0111，求x*y补计算时部分积取两位符号位，上述x补的相应数值如下：x补00.0011，符号位两位，11表示负数，00表示正数-x补11.1101，负值补码，连同符号位一起，各位取反，末位加1运算过程见下表部分积z乘数y 附加yi+1操作说明 00.0000+11.110110111 0加-x补 11.1101 11.1110+00.00001 1011 1右移一位加0 11.1110 11.1111+00.000001 101 1右移一位加0 11.1111 11.1111+00.0011101 10 1右移一位加x补 00.0010 00.0001+11.11010101 1 0右移一位加-x补 11.11100101 则x*y补1.11100101小结：假设字长n位（不含符号位，上例n=4）* 部分积取n+2位，多的两位一位是符号位，另一位是缓冲位，因补码运算符号参与运算，实际上是n+1位的加法，则和可能为n+2位* 乘数取n+1位，符号参与运算，尾部再附加yi+1，初始yi+1为0* 进行了n+1次加法，n次移位，最后一次只加不移位* 移位采用补码算术移位规则，仅两位符号的最高位保持不变，即仅两位符号的最高位为真实的符号位，另一位符号位是缓冲位，部分积和乘数一起参与* 运算的结果即为补码，不需要再转换（3）补码一位乘法器的逻辑结构GMXX0Xn+1n+2位FA控制门译码器AA0An+1QQ0Qn+1Qn译码器为2:4译码，控制门为与或门4、除法运算补码加减交替规则：符号参与运算（1）初始操作，如果被除数x补与除数y补符号相同，上商0，执行x补y补r补 如果被除数x补与除数y补符号不同，上商1，执行x补y补r补（2）后续操作，如果余数r补与除数y补同号，上商1，执行2r补y补，生成新的r补 如果余数r补与除数y补异号，上商0，执行2r补y补，生成新的r补例：x补1.0101，y补0.1101，求x/y补计算时余数取两位符号位，则x补的相应变为x补11.0101，计算时需要-y补11.0011运算过程见下表余数商操作说明 11.0101+00.11010.0000商初始值全0x补与y补异号，y补 00.0010 00.0100+11.001111r补与y补同号，商12r补，即左移一位-y补 11.0111 10.1110+00.1101 1010r补与y补异号，商0左移一位y补 11.1011 11.0110+00.1101 100100r补与y补异号，商0左移一位y补 00.0011 00.0110100110011r补与y补同号，商1左移一位，末位恒1 x/y补1.0011小结：假设字长n位（不含符号位，上例n=4）* 余数取n+2位，多的两位一位是符号位，另一位是缓冲位，因补码运算符号参与运算，实际上是n+1位的加法，则和可能为n+2位* 商取n+1位，上商n+1次，第一次上商判断是否溢出，最后一次恒置1* 进行了n次加法，n次移位* 移位采用逻辑移位规则，最高位舍掉，低位补0* 运算的结果即为补码，如首位符号和逻辑不符，则溢出注意：仅乘法没有溢出，加、减、除均有溢出可能四、浮点数的运算1、浮点数的加减运算设X = Sx 2Jx，Y = Sy 2Jy，计算XY（1）对阶：对齐两数的阶码* 原则是小阶向大阶对齐（2）尾数求和：对齐阶码后，计算SxSy（3）规格化* 习惯上符号取两位* 判断形势（补码规则）：00.1或11.0* 左规：当尾数为00.0或11.1时，左移尾数，直至符号位与小数点后第一位互异为止* 右规：当尾数为01.或10.时，右移尾数，只需一次注意：左规和右规二者只需做一种，判断时，先看是否右规，再看是否左规（4）舍入处理* 0舍1入：丢掉的数值最高位如为1，保留的数值末位加1，否则加0* 末位恒1：保留的数值末位置1（注意不是加1）例：设X =0.1101201，Y =-0.1010211，其中除了阶底2为十进制数，其余皆为二进制，计算XY，字长格式（2+3；2+6），均采用补码。则 X补00，001；00.110100 Y补00，011；11.011000对阶 阶差Jx补-Jy补00，00111，10111，1100 对X的阶码，X补变为00，011；00.001101尾和 和的尾数Sx补Sy补00.00110111.01100011.100101 XY补00，011；11.100101* 对阶之后的阶码，求尾数和之后的尾数和规格化 上述结果尾数形式判断，不需右规，需要左规（仅需一位即可） XY补变为00，010；11.001010 /尾数左移一位，阶码减1判断溢出 阶码没有溢出，上述值为结果2、浮点数的乘除运算运算步骤：（1）阶码相加减（2）尾数相乘除（3）规格化（4）判断溢出结论：浮点运算其实是通过定点运算完成的五、面向错误检测与纠错的数据编码*编码最小距离：某种编码系统中，任意两个相邻码之间最少的二进制不同位数（用L表示）*纠错理论： L1DC 且 DC （其中D代表检测错码个数、C代表纠正错码个数）1、奇偶校验码*正常编码码距L均为1，套用上述纠错理论公式，结果是既不能检错，也不能纠错*要想检错只能增加码距，奇偶校验码附加一位，下表在码末位附加一位，码距L变为2十进制数自然BCD码（NBCD）奇校验码偶校验码012345678900000001001000110100010101100111100010010000100010001000011101000010110110101110100001001100000000110010100110010010101001100011111000110010特点：（1）原理简单，宜于实现。（2）只能检错，不能纠错，即知道有数位出错了，具体是哪一位不能确定。处理的方法只能是重新处理一遍。2、海明码（Hamming）* 附加多位，使码距大于2，则D和C均可