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毕业活动策划书范文 递推关系求通项基础较差班级的启发式教学案例浙江省宁波市柴桥中学丁平315809课堂背景北仑区柴桥中学是一所生源相对较差的普通高中，如何在基础较差的班级的课堂教学中实施启发式谈话法（特别是在高考总复习阶段也继续实施这种教法而拒用灌输注入式），已成为广大非重点学校教师的一个共同的探索课题.为此，笔者于xx年3月份在柴桥中学的一个高三普通班开设了一堂以此为目的的研究课，着重探索如何启发基础较差学生的思维.下面真实记录了这堂课的师生谈话全过程.课堂实录师近几年各省、市、自治区的高考中，相继出现了由递推关系求通项的一类数列问题，根据杂志记载，考生对此类试题的解答往往不尽如人意，因此本节课就专门来研究这类问题.请同学们先回答一个问题已知数列?na中，11a?，11nnaa?，求通项na.生111nnaa?，?na是等差数列，1 (1)1nann?.师对。 若将11nnaa?改为变式1112nnnaa?（其它不变），则此题类似于09年高考题（全国卷及陕西卷文），此时由112nnnaa?推不出?na是等差数列，那该怎么解？（学生沉默）师思维受阻时不妨“特殊探路”譬如求4a.生2211aa?22a?，322aa?34a?，434aa?48a?.师那么求100a呢？难能也是这样一项一项求？（学生笑）能否不求过渡量2a、3a而直接求出4a呢？生3有了，只要把、式相加即得41124aa?，48a?.师对，这叫做“设而不求”，这个解法我们取名为“累加法”.现在你们会求na了吗？（至此，学生很快地求出了12nna?）.师小结1型如1()f nnnaa?的递推关系，常用累加法转化为等差（比）数列求和.下面，再将112nnnaa?变为变式2112nnnaa?（此题类似于02年全国高考题），怎么求na？（学生沉默）师类比是一种很有用的解题思想.能否类比变式1的解法来求解变式2？（学生仍然沉默）师我们还是“以退为进”吧！即先退到特殊情形譬如求4a，怎样类比变式1求出4a？生40212aa?，1322aa?，2432aa?，相乘得48a?.生5噢！可以求出na了（于是学生用累乘法求得 (2) (1)22nnna?）.师小结2型如1()f nnnaa?的递推关系，常用累乘法求通项.我们再将前面问题中的11nnaa?改为变式3121nnaa?（其它不变），则如何求na？生6212121?，aa?23221221?，aa?3243212221?，aa?，1222nnna?21?21n?.师答案正确，但这仅仅是猜想，还需要用数学归纳法加以证明。 这也是一种方法，这叫“先猜后证法”.请大家思考有无更简便的方法？能否转化为等差（比）数列？?na本身是等差（比）数列吗？生7不是.因为不可能得出1nnaad?（常数）或1nnaqa?(非零常数)师那么能否转化为其他的复合型（如?nac?、nca?等）成等差（比）数列？（学生沉默）师假如11a?，123 (2)nnaa?（*），你能求出na吗？（学生依旧沉默）师譬如说已知13A?，13nnAA?，你能求出nA吗？生8能求.哦，由（*）式可知?2na?是公比为3的等比数列，这样na可求了.师那么由121nnaa?能转化成一个复合型等比数列吗？生9?112112 (1)1nnnnnaaaaa?是等比数列11222nnna?21nna?.师回答得好！这道题由于数字简单，故容易想到两边加1，若数字复杂而想不到两边应加什么数那咋办？（学生沉默）师可否借助参数这个神奇的数学工具？即设应加的数为x，然后设法求出x？生10行！11212()2nnnxaxaxa?，令12xx?即得1x?.师很好，此法称作“待定系数法”.小结3型如1(0,1,0)nnacad d?的递推关系式，可用凑配法或待定系数法转化为等比数列问题.转化确实是一种重要的解题思想！数学题可以千变万化，如果将121nnaa?改为变式4123nnnaa?（其它不变），则又如何解答？生1113232()2nnnnnxaxaxa?，令32nxx?得3nx?，得132 (3)nnnnaa?，数列?3n?3nna?是（欲言又止）.师能推出?na?是等比数列吗？为什么？生12不能.3nna?与13nna?并非相邻两项.师那么有没有办法变成相邻两项？即有没有办法将123nnnaa?变成形如11()nnnnacq ac?？生13只要两边加上13n?即可得1132 (3)nnnnaa?，从而得1342nnna?，123nnna?.师很好！还有没有其它方法？能不能将新题转化为旧题？譬如把变式4转化为变式3的类型？2233333中的类型.师你们真棒！生14能。 11113nnnnnnnaaaa?，令3nnnac?，则12133nn?，此即小结小结4型如1(0,1,0)nnnacad d?的递推关系式，可采用生13和生14所述的两种凑配法转化为等比数列问题.我们再将前面问题中的11nnaa?改为变式51111nnaa?（其它不变），怎么解？（学生沉默）师解杂数列问题的一种重要思想方法就是常常将杂数列转化为复合型等差（比）数列.生15噢，由1111nnaa?可得1na?是等差数列，?1111nna?，1nan?.师对.让我们再变一变变式611nnnaaa?，这个会解吗？生16这个不难，11nnnaaa?可化成1111nnaa?.师由于前面已做过变式5，所以解变式6易如翻掌，如果直接让你们解变式6，你们能想得到这样化吗？生 17、 18、 19、20能！师好！那我现在把11nnnaaa?改为变式7131nnnaaa?，你们能解吗？生21能解，131nnnaaa?11131nnaa?数列1na?是（生21不知所措）.师显然推不出1na?是等差数列了，那么能否推出其它复合型等差数列呢？（学生沉默）师解数学题的一种重要思想就是把新题转化为旧题！我们在前面已学会了哪几种旧题？生22?f n1nnaa?；?f n1nnaa?；1nnacad?；1nnnacad?.师那么本题能否转化为这四种之一？（学生沉默）师显然难以转化为，那么能否转化为？（学生依旧沉默）师请观察，式有何特点？生23含有相邻两项na和1na?，且均是一次，其余是常数.师那么再请观察，11131nnaa?是否具备这些特点？生24哦！实质上是具备的，只要用换元法设1nnba?，则得131nnbb?，即11133nnbb?，此即的类型.师好得很！下面就可以用小结3的方法来求解了，由此可知，解题还需善于观察，抓住特征啊！小结5型如?10,0,0nnnmaambcbca?的递推关系，采用凑配成倒数的思想方法，转化为等差（比）数列.若把131nnnaaa?改成变式8131nnnsss?，你会求na吗？生 25、 26、27仿变式7求出ns，再用?12nnnassn?可求得na.师大家棒极了！小结6若递推式中含有ns，则利用上述转化方法及公式?1112nnns nassn?求解.近几年各地高考中出现的递推数列求通项主要是这六种类型，所用的方法也主要是这六种方法.试题有小题也有大题。 但有的大题不是单纯以这六种形式出现，可能需要先转化一下，如09年全国卷II（理）设n a的前n项和为n S，11?a，241?nnaS.（I）设nnnaab21?.证明nb是等比数列；（II）求n a的通项公式.解答时就应先将已知条件变形转化为11232?nnnaa.这就是小结4的类型.课后反思众所周知，对于重点中学的重点班级，教学中较易实施启发式谈话法，但对于非重点中学的非重点班，教学中常常会启而不发，导致冷场；此外，在基础较差班级中实施启发式谈话法还容易造成课堂容量不足，教学进度缓慢，以致影响实际效果.针对这两类矛盾，笔者在本堂课中采用了以下两种对策一是采用“持续渐进式启发”，即当学生回答不出出现冷场时，教师坚持不自己讲出答案，而是一层递进一层连续