导数及其应用专题.doc

导数及其应用专题江苏省句容市教研室 邹遵宏江苏省句容高级中学 曾宪春一、导数高考试题的特点导数是中学数学的新增内容，是高等数学的基础内容。导数可以说是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。1、2005年高考考查导数应用主要有以下三个方面：运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，一直是高考常考不衰的热点内容。另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值和最小值问题，再利用导数顺利解决，从而进一步地解决实际问题。利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。导数在其它数学分支的应用，更能够体现出导数作为工具在研究初等数学问题方面的先进性，如在数列、不等式、排列组合等知识的综合等。 2、考查的题型有选择题、填空题，也有解答题，解答题多以数列、函数、解几、不等式等高中主干内容为载体，分值为5到16分。从题型上看主要有以下几个特点：以填空、选择题型考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值。解答题主要考查利用导数为工具解决函数、解析几何、不等式及有关的综合问题，() 运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题，为中档题。（）利用导数求实际应用问题中的最值为中档题。() 运用导数的几何意义来解决函数、解析几何有关综合运用等问题，为中档偏难题。二、学生学习中的薄弱环节 1导数概念以及导数概念的某些实际背景：瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率。由于教材没有极限内容，导数概念学生理解有一定的难度。学生从数学的角度理解物理的相关知识有一定的困难。2求极值与求最值求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。3求曲线在某一点处的切线与过某一点的切线。三、例题：与函数相关题1已知函数 y=ax3+bx2+cx+d (a0) 图像如图 ，则y= f(x)的导函数（A）有最大值 a （B）有最小值 a（C）有最大值 -a （D）有最小值 -a2已知函数 y=x3+ax2+bx 在0，2上为单调递增，在2，3上单调递减，求b的范围。3已知函数 y = ax3- x2 + x- 5 在（-，+）上单调递增， 则实数 a 的取值范围为 。4已知函数f(x)= (x- 1)3，则= 。5试找一个非零函数 f(x)， 满足 x f / (x) = 3 f(x)，则这样的一个函数f(x) = 。与不等式相关题已知x0，1 , 函数f(x) = x4- 3x3 , g(x) = x3- 4x2 +1 ,证明： f(x)g(x) 与数列相关题1过曲线y = x3- 3x上一点P1 ，作曲线的切线交曲线于P2点，再过P2点作曲线的切线交曲线于P3点，依此法得到一系列点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，P3(x3，y3) Pn(xn，yn) ，若x1 = 1，求 xi2已知函数f(x)= ，数列an满足a1=1 , an+1= f( )，nN* 记Tn=(-1)m+1 am am+1 ，（1）求Tn ；（2）设数列bn的通项公式为bn = n- ，求证：bnTn20（nN*）与物理相关题某汽车启动阶段的路程函数为S(t) = 2(1+ t)3-10t2 , 则汽车在t =1秒时的瞬时速度为 , t = 2秒时的加速度为 。与解析几何相关题1过原点作曲线y= x(x- 1)(x- 2)的切线，求切线方程。2已知抛物线C1： y= x2 +2x和C2： y= - x2 + a ，如果直线l同时是C1 和C2 的切线，则称l是C1 和C2 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。（1）a取什么值时，C1 和C2 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。（2）若C1 和C2 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。3已知抛物线y= x2 ，过准线上一点M作抛物线y= x2的两条切线，设切点为A ，B，则AMB（A）大于90 （B）等于90 （C）小于90 （D）不确定4已知抛物线y= x2 ，过其焦点作一直线l交抛物线于点A，B，分别过点A，B作抛物线的切线l1 ，l2，且两切线交于点M，则AMB（A）大于90 （B）等于90 （C）小于90 （D）不确定5过点M（m ,0）（m0）作直线l垂直于X轴交抛物线y= x2于点A ，过点A作抛物线的切线，设切线的倾斜角为，F为抛物线的焦点，则 + MAF （A）大于90 （B）等于90 （C）小于90 （D）不确定与组合、二项式相关题已知a0 , n为正整数 , (1) 设y = (x- a)n , 证明 y / = n (x- a)n -1(2) 设fn(x) = xn- (x- a)n ,对任意n a ，证明 f n+1 / (n+1) (n+1) f n / (n)课本改编题1求y = cossin2 (0 ) 的最大值2函数 y=x3- 3x + 1在- 3，0上的最大值、最小值分别是（A） 1，-1 （B） 1，-17 （C）3，-17 （D）9，-193已知f(x)= x3 + x- 2在P0点处的切线平行于y=4 x- 1 ，则P0点的坐标为（A） （1，0） （B） （2，8） （C） （1，0） 、（-1，-4） （D） （2，8） 、（-1，-4）四、复习建议从命题的发展趋势看，导数高考将进一步围绕三个层次来考。（1） 考查导数的概念，求导公式和法则；（2） 导数的简单运用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；（3） 综合考查，包括解决应用问题，将导数内容与传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。复习应注意四点： （1）要认识到课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域；在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的变化率，解决函数的单调性，极值等方面的作用，这种作用不仅体现在为解决函数问题提供了有效的途径，还在于使学生掌握一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识。 （2） 要按考试要求的三个层次进行复习，不能停留在简单地