中学数学解题方法研究以及教学方法.doc

目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11.解题方法研究11.1数学归纳法11.1.1定义与实质11.1.2分类21.1.3举例说明21.1.4意义21.2数形结合法31.2.1定义与实质31.2.2适用范围31.2.3举例说明31.2.4意义31.3反证法41.3.1定义与实质41.3.2适用范围41.3.3论证格式41.3.4举例说明41.3.5意义51.4公式法51.4.1定义与实质51.4.2 常用的公式51.4.3举例说明51.4.4 意义62教学方法62.1定义与实质62.2分类62.2.1讲解法62.2.2谈话法62.2.3演示法72.2.4讨论法73总结8致谢8参考文献：8中学数学解题方法研究以及教学方法数学与应用数学专业学生 指导教师 摘要：当前我国正在进行新一轮基础教育课程改革,提倡素质教育.为了学生的终身可持续发展奠定良好的基础,实现人人学有所值的数学;人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上获得不同的发展,实现他们的人生价值.这就要求着作为一名合格的数学教师在数学教学中要充分带动学生的积极性,风趣的教学更容易让人爱上这门学科,而有效的解题方法才能让他们的所学得到回报,让学生更加享受一份耕耘,一份收获的这种充实. 关键词：解题方法 风趣教学 积极性 Study on middle school mathematical problem-solving methods and teachingStudent majoring in Mathematics and applied mathematics g Tutor Abstract:Current in China is for new a round basic education courses reform, advocate quality education. to students of life sustainable development lay good of Foundation, implementation everyone learn has value of mathematics; everyone are can get required of mathematics; different of people in mathematics Shang get different of development, implementation they of life value. this on requirements with as one qualified of mathematics teachers in mathematics teaching in the to full led students of enthusiasm, funny of teaching more easy let people fell in love with this door subject, And effective problem-solving methods to make their learning are rewarded, and allow students to enjoy a hard, a harvest that enrich.Key words:Solutions；Fun teaching；Initiative引言由陆书环教授、傅海伦教授编著的数学教学论，使我深受启发，在此借鉴两位教授的宝贵经验，总结初等数学解题方法以及教学方式.希望能够给学习者带来帮助.由此教学理论我们是不是可以利用这些方法去解决一些数学难题，我们并不是没有可能，这需要我们具备更高深的知识，更加灵活多变的解题技巧，更能易于接受的教学方法.1.解题方法研究 1.1数学归纳法1.1.1定义与实质数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.数学归纳法的原理作为自然数公理，通常是被规定了的.从整体上看数学归纳法是演绎推理, 大前提是匹阿诺（peano）自然数公理.数学归纳法的中心思想是：用有限次的验证和一次逻辑推理，代替无限次的验证过程，实现从无限到有限的转化.华罗庚这样解释数学归纳法原理：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号名提示正确的；如果我们能够证明第k号命题正确的时候，第k+1号命题也是正确的，那么，这么一批命题就全部正确.”1.1.2分类（1）一般分类：1）第一数学归纳法：（递推的基础）证明当时表达式成立；（递推的依据）证明如果当时成立，那么当时同样成立.注：递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设，不要把整个第二步称为归纳假设.2）第二数学归纳法：当时，命题成立；假设当时命题成立，则当时，命题也成立；那么，命题对于一切自然数来说都成立.（2）其它分类：1）有限项数学归纳法：步骤：设为一给定的自然数，如果真，那么，P(n)对不超过m的自然数n真.2）跳跃式数学归纳法：步骤：如果真,，那么对一切自然数真.3）逆向数学归纳法：步骤：如果 有无穷多个自然数使真，那么，对一切自然数真.1.1.3举例说明 例 用数学归纳法证明是64的倍数.证明：（1）当时，原命题成立. （2）假设当时，原命题成立，即（是整数）.当时，有序，变形（这里是二凑项），由归纳假设知是64的倍数.当时，原命题成立.由（1）和（2）知，对任意自然数，原命题成立.注：本例采用了第一归纳法的解题思想.1.1.4意义合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个重要内容.数学归纳法在解决几何证明、数列证明、不等式证明和数的整除证明等方面有极大的作用，通过应用数学归纳法解题可以培养学生的运算能力、观察能力、数学化能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力.另外，它也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带，是初等数学中非常重要的一部分.学生学会了数学归纳法，意味着既掌握了一种证明方法，可以解决很多以前他们解决不了的问题，可以开拓新的知识领域.1.2数形结合法1.2.1定义与实质数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含数转化为形，形转化为数、数形结合三个方面.它是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”在我国数学教育界，数形结合的思想深入人心.结合的意思是，运用坐标表示，使得几何的“点”与代数的“数”之间构成对应关系，进而把曲线上的“几何点集”，和满足方程的“坐标数集”对应起来，并且能够相互转换.这种数和形之间的转换能力，是“数学双基”的一部分，数学思想的华彩乐章.实现数形结合，常与以下内容有关（1）数与数轴上的点对应关系；（2）函数与图像的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式.1.2.2适用范围应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中.用数形结合可以解决含有绝对值的方程问题及几个绝对值和的问题，同时还可以解决一元二次及高次方程解的问题.1.2.3举例说明例 实数满足，求证： .分析：已知该式为椭圆方程，化为标准式即，做三角代换，即可利用三角恒等变形的工具寻找证法.证明：已知式可化为，令,，则，其中.因为，所以，.1.2.4意义在高考数学试题中，几乎绝大多数试题都是几何与代数的杂交物，数学教学中“数形结合法”的思路贯穿于整个教学过程和阶段.数形结合思想，就是在考虑和解决问题时，把有关的数量关系(或形式)与空间形式结合起来进行综合处理的思想.数形结合是一种数学思想，是一种数学意识,有很多问题,如果仅从代数角度考虑,往往难以理解,不易入手，但把问题与“形”结合起来，则思想容易理顺，问题变得清晰，较简单、直观.有很多数学“量”与数学概念有明显的几何意义，与这些知识有关的问题往往可以直接用数形结合获得解决.数形结合法是一种重要的数学解题思想和方法，在大量的数式问题中，暗含着形的信息，有些抽象复杂的数式关系，借助于图形的性质，可以使它直观化、形象化、简单化，并使一些问题易于理解，易于联想，易于推测，对解决问题会起到启发、点拨、直观、顿悟等作用.运用数形结合法解题，关键是构造出相应的图形，通过图形的性质获得准确、严谨、直观、流畅、简洁的解题思路和方法.数形结合法充分体现了数学解题思维的辩证性和创造性.数形结合是激发学生求知欲，引起学生兴趣的有效手段；数形结合是培养学生思维能力，帮助学生解难释疑的良好方法.1.3反证法1.3.1定义与实质(1)先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，这种证明的方法叫做反证法.(2)把否定的结论纳入到原条件中，使二者共同作为条件，在正确的逻辑推理下，导致逻辑矛盾，根据矛盾律知道否定结论的错误性，再根据排中律知道原结论的正确性.反证法可简要的概括为：否定推理否定.我们知道，在相同的条件下，对于同一个思维对象做出的两个相互矛盾的判断，不能同假，必有一真.这在逻辑学中称为排中律，应用于证明数学命题，得出了反证法的证题方法.事实上，反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这与直接证明是等价的，但是可能其逆否命题比较容易证明.上述的得出了矛盾，事实上，就是得出了“假设与题设不相融”这个结论，所以我们不能接受这个假设，故这个假设的方面就是正确的，从而命题得证.相对于命题的直接证法而言，反证法是一种重要的间接证法.1.3.2适用范围一般地说，如果命题的结论难以直接证明，而其反面却易于否定时，那么应用反证法证明将是适宜的，即证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较浅显时适用.任意性命题可用反证法；否定性命题可用反证法；普通命题，当直接证明有困难时，也可尝试用反证法；存在性问题也可用反证法.1.3.3论证格式求证 A(原论题)证明 (1)设非A真(非A为反论题)(2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断)(3)非B(已知)(4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式(5)所以，A(非非A=A).1.3.4举例说明例1 证明：素数有无穷多个.这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作几何原本里给出的一个反证法.证明：利用反证法，假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是.此时，令，那么所有的 ()显然都不是的因子，那么有两个可能：或者有另外的素数真因子，或者本身就是一个素数，但是显然有().无论是哪种情况，都将和假设矛盾.这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！1.3.5意义反证法是数学中的一种重要的证明方法, 也是一种重要的数学思想. 其特点是简明、实用, 它独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义.1.4公式法1.4.1定义与实质利用已知定义、定理、公理等公式来证明或解题，利用公式法能够命题的证明或解题带来简洁.利用公式法，需要我们对数学中的常用公式进行熟记，能够熟练的运用.1.4.2 常用的公式勾股定理，正弦定理，余弦定理，皮亚诺公理，归纳公理，最小数原理，带余除法，待定系数法，因式定理，综合除法，代数延拓原理，配方法，同解定理，差根变换定理，换元法，降次公式，比较法，分析法，放缩法，均值不等式，柯西不等式，三角不等式，绝对值不等式，琴森不等式，判别式法，韦达定理，加法原理，乘法原理，组合公式，希尔伯特公理，阿基米德公理，欧氏公理，面积公式，梅涅劳斯定理，海伦秦九韶公式，斯特瓦尔特定理等等.1.4.3举例说明例1 用公式法解方程.解法一：将方程化为一般形式：，故.则.因为，,所以，原方程的解为.解法二：将方程化为一般形式：，故.则.用韦达定理有，即，解得，.1.4.4 意义在数学公式教学中不仅要引导学生注重展示公式的形成过程，掌握公式的结构特征，揭示公式之间的联系，而且还要引导学生熟悉公式的各种变换，灵活应用公式学会由浅人深、由表及里，“ 顺”用、“ 逆”用公式，进而达到“ 变”用与“ 创”用公式，以巧妙的“ 活”用代替生硬的“ 套”用公式.数学公式的巧妙应用既有利于学生对知识的掌握，更有利于提高学生思维能力，特别是创造性思维能力，以及对培养学生多元化思维和创新精神，丰富学生的想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益.2教学方法2.1定义与实质教学方法是为了达到教学目标,完成教学任务所采取的教学方式和手段的一套完整体系.它包括教师的工作方式，学生的学习活动方式及其相互之间的有机联系.因此，教学方法应全面地理解为：是教与学的双边活动及其相互结合；是为完成教学任务和达到教学目的服务的；包括各种各样的具体方式和手段.2.2分类2.2.1讲解法讲解法是由教师对教学内容进行有系统地讲述的一种教学方法.其特点是以教师为主导，利用口头语言作为传递知识的基本工具，学生是知识信息的接受者.讲解法的基本要求：(1)科学性.讲解的内容要准确无误，即讲概念要清楚，把握好概念的内涵与外延；阐述命题证明、推理要合乎逻辑，思路和方法要明确、清晰.(2)系统性.讲解要条理清楚、层次分明，重点突出，注意学生理解问题的认识规律，使讲授内容系统化.(3)启发性.讲授中要引起学生的求知欲，激发学生思维活动.运用讲解法不等于“满堂灌”、注入式.教师的讲解要善于提出问题、创设问题情境，激发疑问，使学生与教师积极配合，主动参与学习活动.(4)艺术性.讲解的语言要清晰、洗炼、准确、生动，尽量做到深入浅出，通俗而不失严谨.讲解语言音量适当，抑扬顿挫，富有情趣，快慢适当.(5)情感性.讲授课容易让学生产生枯燥无味之感，因此，情感因素的注入和喧染是提高讲授效果的最佳方法.讲解法的优点：能够保持教师在教学中的主导地位，教学时间和进度便于教师控制，并且所授内容能保持流畅与连贯；便于重点内容的分析、难点的突破，易于帮助学生抓住问题的关键，节约教学时间.讲解法的缺点：教学中学生参与少，容易造成被动接受知识的状态，不利于能力的培养；不易照顾学生中思维反应快与慢的两端，只能面向中等学生.2.2.2谈话法谈话法是教师根据教学内容和学生的实际情况，提出设计好的若干问题，用谈话的方式启发引导学生积极思考、探索，从而获得知识的一种教学方法.谈话法的主要特点是师生之间不像讲授法那样，教师讲，学生听，信息单项交流，而是信息的双向交流.在谈话中，师生之间都可以获得反馈信息，根据这些反馈信息可以及时地调整和改善教与学的活动.这种教学过程，既可以使学生融会贯通地掌握知识，又能发展学生的智力，而且，在经常问答的过程中还锻炼了学生的表达芰?/P谈话法的基本要求：对学生而言，要积极思维，主动参与；勇于发现，积极应答.对教师的要求有下面几点.(1)精心设计“问题系统”，对提问的对象及学生可能会怎样回答等要做到心中有数.教师在备课时应拟出提问的提纲、对谈话所需的时间、给学生能顺利地回答创造哪些条件等，都要做好准备.(2)提出的问题，要难易适度.对某些有困难的学生，要善于由浅入深、由易到难的逐步引导.提出的问题要明确，应是学生所能理解的.(3)要善于引导探讨、启发发现.对所提出的谈话内容，要具有启发性，教师要引导学生积极思考，层层深入，逐步地获得结论.(4)要面向全体学生，因材施教.在谈话中要面向全体学生提出问题，并给他们一定的思考时间，使全体学生都处于积极思维的参与状态.要照顾优生和差生，鼓励学生大胆回答问题.(5)及时小结.谈话中要对学生回答问题的情况及时小结，使学生明确是非，提高认识.谈话法的优点：突出课堂教学中师生的双边活动，有利于信息反馈；课堂气氛活跃，有利于促进学生积极思维，有利于对学生能力的培养.谈话法的缺点：教学组织比较困难，教学时间不易控制.2.2.3演示法演示法是教师将教材内容用实物或教具演示出来，或做示范性实验来说明或印证所授知识的一种教学方法.在数学教学中，演示法主要用于概念(或部分命题)教学.演示法大体可分为四种：图片、图画、挂图的演示；教具、实物模型的演示；幻灯、录音、录像、教学电影的演示；实验演示.运用演示法教学，对教师有如下具体的要求.(1)演示要突出主题内容，尽量排除在演示过程中对学习内容产生干扰的无关因素.(2)在演示时要与教师的讲解和谈话相结合，通过教师语言的启发，使学生不是停留在事物的外部表象上，而要使学生的认识上升到理性阶段，形成概念.(3)教具的演示要适时、适当和适度.演示的目的在于帮助理解概念、掌握知识，但最终要逐步离开教具，上升为理性认识.因此，教学中演示教具要恰到好处，过多地依赖教具不利于学生数学思维的发展.演示法的优点：可以使学生获得丰富的感性材料，加深对概念本质的理解，有利于培养学生的形象思维能力；能够激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性和主动性.演示法的缺点：实用范围受教学内容、教学设施所限.2.2.4讨论法讨论法是学生根据教师所提出的问题，在集体中，相互交流个人的看法，相互启发、相互学习的一种教学方法.讨论法的主要特点是：信息交流既不同于讲解法的单向交流，也不同于谈话法的双向交流，而是讨论集体成员之间的多向信息交流.学生的发言可以及时获得反馈信息，调节自己的观点，课堂气氛活跃.讨论法的基本要求：(1)讨论前师生都要做好充分准备.教师要向学生提出讨论的课题，指出注意事项，布置一些阅读的参考资料，每个学生都应按要求做好讨论发言准备.(2)讨论题需简要明确，有具体的目标，问题深浅适当.(3)讨论中要鼓励学生大胆发言，勇于表达自己的观点.(4)每个问题讨论结束时，教师要作小结.讨论法的教学程序：(1)学生自学.教师指定自学内容，提出学习目标、并指出重、难点.(2)自行讲解.教师把要讨论的内容，按概念、命题、例题、习题等分成若干单元，把学生分成小组或全班一起进行讨论，讨论时可选出主讲人，以主