八年级下沪科版一元二次方程教案.doc

171一元二次方程学习目标1了解一元二次方程及相关概念；(重点)2能根据具体问题的数量关系，建立方程的模型(难点)教学过程一、情境导入一个面积为120m2的矩形苗圃， 它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为(x2)m. 根据题意，得x(x2)120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程)二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】 一元二次方程的识别 下列方程中，是一元二次方程的是_(填入序号即可)y0；2x2x30；3；x223x；x3x40；t22；x23x0；2.解析：由一元二次方程的定义知不是答案为.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2bxc0(a，b，c为常数，a0)的形式，则这个方程就是一元二次方程【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值 a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2x2x2ax3；(2)(a1)x|a|12x70.解析：(1)将方程转化为一般形式，得(a2)x2(a1)x30，当a20，即a2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|12，且a10知，当a1时，原方程是一元二次方程解：(1)将方程整理得(a2)x2(a1)x30，a20，a2.当a2时，原方程为一元二次方程；(2)|a|12，a1.当a1时，a10，不合题意，舍去当a1时，原方程为一元二次方程方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值【类型三】 一元二次方程的一般形式 把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项(1)x(x2)4x23x；(2)；(3)关于x的方程mx2nxmxnx2qp(mn0)解析：首先对上述三个方程进行整理，通过“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”等步骤将它们化为一般形式，再分别指出二次项系数、一次项系数和常数项解：(1)去括号，得x22x4x23x.移项、合并同类项，得3x2x0.二次项系数为3，一次项系数为1，常数项为0；(2)去分母，得2x23(x1)3(x1)去括号、移项、合并同类项，得2x20.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；(3)移项、合并同类项，得(mn)x2(mn)xpq0.二次项系数为mn，一次项系数为mn，常数项为pq.方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负，那么最好在方程左右两边同乘1，使二次项系数变为正数；(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b0；若没有出现常数项c，则c0.探究点二：根据实际问题建立一元二次方程模型 如图，现有一张长为19cm，宽为15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程解析：小正方形的边长即为纸盒的高，中间虚线部分则为纸盒底面，设出未知数，利用长方形面积公式可列出方程解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(192x)cm，宽为(152x)cm.根据题意，得(192x)(152x)81.整理得x217x510(00时，有两个不相等的实数根； 当=0时，有两个相等的实数根； 当0，即 0，即可得出k的取值范围。试一试：1. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求m的取值范围。 2、思考：对于方程 (a0)中，当a、b、c的符号满足什么条件时，不用计算的值就可以判断方程一定有两个不相等的实数根。（三）总结教学，升华主题今天我们学习了什么？1）一元二次方程的根的判别式表达形式、符号、应用。2）通过根的判别式的研究过程，深刻体会分类的思想方法和转化的思想方法。设计意图：引领学生思索，引导学生树立积极正确的人生观和价值观。3）明辨是非,建立一个做人的判别式,做一个对社会有益的人,积极正确的人生观、价值观的导向。（四）课后练习，巩固提高 课本第36页习题17.3 1、必做题：第1、2、3题。 2、选做题：第4、5题 17.4一元二次方程的根与系数的关系(1)1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。教学重点：根与系数的关系的推导、运用。教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。教学过程：一、问题情境，导入新课：解下列方程，并填写表格：方 程+观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于x的方程的两根，与系数p，q之间有什么关系？（2）关于x的方程的两根，与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？二、探究新知：1、根与系数关系：（1）关于x的方程的两根，与系数p，q的关系是：， 。引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？（2）形如的方程，如果，两根为，引导学生利用上面的结论猜想，与各项系数a、b、c之间有何关系。然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程 ，对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。证明：，当时根为：设，则学生思考、归纳并回答下列问题：（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？（2）运用根与系数的关系要注意些什么？ 三、应用举例例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：（1） （2） （3）（4） （5） （6）例2、已知方程的一个根是3，求另一根及k的值。先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示： 从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？四、巩固练习：1、已知方程的两根互为相反数，求k的值。2、已知关于x的方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值。3、备选题：关于x的方程两实数根的平方和等于11，求k的值。五、归纳小结：1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？六、课后作业：1、若方程的两个根为，则，的值是。2、已知是方程的两个实数根，则的值为。3、若方程的两根为，则的值为 。4、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值。17.4一元二次方程的根与系数的关系(2)学习目标1掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)2会利用根与系数的关系解决有关的问题(难点)教学过程探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值1， 设x1，x2是方程2x24x30的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x12)(x22)；(2).解析：先确定a，b，c的值，再求出x1x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当变形，把x1x2与x1x2的值整体代入求解即可解：根据根与系数的关系，得x1x22，x1x2.(1)(x12)(x22)x1x22(x1x2)42(2)4；(2).方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1x2与x1x2的值整体带入求解即可【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根2， 已知方程5x2kx60的一个根为2，求它的另一个根及k的值解析：由方程5x2kx60可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值解：设方程的另一个根是x1，则2x1，x1.又x12，2，k7.方法总结：对于一元二次方程ax2bxc0(a0，b24ac0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用3， 已知、是关于x的一元二次方程x2(2m3)xm20的两个不相等的实数根，且满足1，求m的值解析：利用韦达定理表示出，再由1建立方程，求m的值解：、是方程的两个不相等的实数根，(2m3)，m2.又1，化简整理，得m22m30.解得m3或m1.当m1时，方程为x2x10，此时1240，方程无解，m1应舍去当m3时，方程为x29x90，此时92490，方程有两个不相等的实数根综上所述，m3.易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略175一元二次方程的应用学习目标1会列一元二次方程解实际问题；(重点、难点)2进一步培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养学生应用数学的意识教学过程一、情境导入某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？二、合作探究探究点一：一元二次方程的应用【类型一】 增长(降低)率问题 某商场今年1月份的销售额为60万元，2月份的销售额下降10%，改进经营管理后月销售额大幅度上升，到4月份销售额已达到121.5万元，求3，4月份销售额的月平均增长率解：设3，4月份销售额的月平均增长率为x.根据题意，得60(110%)(1x)2121.5，则(1x)22.25，解得x10.5，x22.5(不合题意，舍去)答：3，4月份销售额的月平均增长率为50%.方法总结：解决平均增长(降低)率问题的关键是明确基础量和变化后的量如果设基础量为a，变化后的量为b，平均每年的增长率(或降低率)为x，则两年后的值为a(1x)2.由此列出方程a(1x)2b，求出所需要的量【类型二】 商品销售问题 某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？解：设每件商品涨价x元，根据题意，得(50x40)(50010x)8000，即x240x3000.解得x110，x230.经检验，x110，x230都是原方程的解当x10时，售价为105060(元)，销售量为5001010400(件)；当x30时，售价为305080(元)，销售量为5001030200(件)要尽量减少库存，取x10，此时售价应为60元答：售价应为60元易错提醒：理解商品销售量与商品价格的关系是解答本题的关键，另外，不能忽视“尽量减少库存”，它是取舍答案的一个重要依据【类型三】 几何问题 要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米根据题意，得(603x)(402x)6040，解得x110，x230.检验：如果硬化路面宽为30米，则2306040，不符合题意，所以x230舍去，故x10.答：P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x30不符合题意探究点二：可化为一元二次方程的分式方程 为了保护环境，充分利用水资源，某市经过“调整水费听证会”讨论后决定：水费由过去每立方米1.8元调整为2.1元，并提出“超额高费措施”，即每户每月定额用水不超过12m3，超过12m3的部分，另加收每立方米2元的高额排污费(1)某户居民响应节水号召，计划月平均用水量比过去少3m3，这使得260m3的水比过去多用半年，问这户居民计划月平均用水量是多少立方米？(2)如果该户居民响应节水号召后，在一年中实际有四个月的月平均用水量超过计划月平均用水量的40%，其余八个月按计划用水，那么按照新交费法，该户居民一年需要交水费多少元？解析：(1)本题的等量关系有两个：计划月平均用水量3原月平均用水量；计划用水时间原用水时间6；(2)该户一年需交水费超计划用水费用计划用水费用解：(1)这户居民计划平均每月用水xm3.由题意，得6.去分母，化简