§1.5置换的奇偶性.doc

1.5 置换的奇偶性引理5.1 若k,l0，且字母a,b,ci,dj是互不相同的，则（ab）（ac1ckbd1dl）=（ac1ck）（bd1dl），（ab）（ac1ck）（bd1 dl）=（ac1ckbd1dl）。定义5.2 设Sn,且=12t是完全分解，定义的符号函数为sgn()=(-1)n-t。注：1、对1-轮换，=（1）（2）（n）对t=n，从而sgn()=1； 2、是一个对换，则他移动两个数固定n-2个数，则t=n-1 sgn（）=-1例5.3：（1）设=，求sgn（） （2）设（12）,=（135）（24）,=（132）（45），求sgn（）,sgn（），且找出sgn（）与sgn（）关系，sgn（）与sgn（）关系 解：（1）sgn（）=（-1）9-5=1 （2）=（13524） =（13）（2）（45） sgn（）=（-1）5-1=1 sgn（）=（-1）5-3=1 sgn（）=-1 sgn（）=-1引理5.4 若,Sn，其中是一个对换，则sgn()=-sgn()证：设=12t是完全分解，设=（ab） 若a,b出现在同一个里，不妨设出现在1中，则=(ac1ckbd1dl)，其中k,l0 由引理5.1 =（ac1ck）（bd1dl） sgn（）=-sgn（） 类似可证得a,b分别出现在两轮换中的情况。定理5.5 对,Sn,则sgn()=sgn()sgn()证：假设给定Sn,可以分解成m个对换的合成，=1m下面用归纳法证明m=1时，是一个对换 由定理5.4知 结论成立假设对m-1情形，结论成立 sgn()=sgn(12m) =-sgn(23m)=-sgn(2m)sgn() =sgn(13m)sgn()=sgn()sgn()结论成立推论5.6 12kSn,sgn(12k)sgn(1 )sgn(k)定理5.7 称置换Sn为偶置换，若sgn()=1，称置换Sn为奇置换，若sgn()=-1,和同奇偶性，若它们都是奇置换或都是偶置换。恒等变换为偶置换例5.8：判断下列置换的奇偶性,S7 =(13)(24) =(12)(23)(34)S8 =(367)(48)解：=(13)(24)(5)(6)(7) sgn()=(-1)7-5=1偶 sgn()=-1奇 =(367)(48)(1)(2)(5) sgn()=(-1)8-5=-1奇定理5.8 设Sn,若是偶置换，则是偶数个对换的合成若是奇置换，则是奇数个对换的合成证：若=12q是一些对换的合成由推论5.6知sgn()=sgn(1)sgn(2)sgn(q)=(-1)q若是偶置换，即sgn()=1则q是偶数 若是奇置换，即sgn()=-1则q是奇数注：与-1 同奇偶性。推论 设， Sn，若，同奇偶性，则是偶置换;若，奇偶性不同，则是奇置换。例5.11 ：写出S3中，所有的奇置换和所有的偶置换。解：所有置换 （1）（2）（3） （1）（23） （12）（3） （13）（2） （123） （132） 奇置换有 （1）（23） （12）（3） （13）（2）偶置换有 （1）（2）（3） （123） （132）定理5.10 在Sn 中，奇置换与偶置换各有n!2。证：设Sn 中，全体偶置换的集合为An,全体奇置换的集合为Bn 设=（12） 定义：f：AnQn 下证f是双射。 ，Sn , ,则 f是单射 对Qn ，=（1）=2=()，且An f是满射 f是双射 又 从而命题5.11 r-轮换是偶置换r是奇数。证： 设=（i1i2ir）是一个r-轮换，则=（i1i2）（i2i3）（ir-1ir） 由推论5-6知