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人教社A版必修 1 第三章 函数的应用教学设计一、教材分析 本章的教学内容范围：在本章，学生将在已经学过的函数概念，指数函数，对数函数，幂函数的基础上结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法.体会函数在数学和其他学科中的应用，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题，同时还将学习利用函数的性质求方程的近似解，了解函数零点与方程根的联系.1本章教学内容的范围 （1）本章的主要内容是方程的根与函数零点的关系.用二分法求方程的近似解和几种不同函数的增长模型，建立实际问题的函数模型.利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终.而方程的根与函数零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的.方程的根与函数零点的关系、用二分法求方程的近似解中蕴含了“函数与方程思想”是本章渗透的主要数学思想，二分法是本章介绍的主要数学方法，也为后续学习算法内容埋下了伏笔.（2）教科书选择了两个问题：投资方案和奖励方案的制定，从中引出函数模型增长情况比较的问题.接着运用信息技术从数值和图像两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况差异，说明了不同函数类型增长的含义.（）函数基本模型的应用是本章的重点内容之一.教材分别以行程问题，人口增长问题，商品定价问题，未成年人生长发育问题为例，在丰富的实际背景中，对不同的变量关系进行了研究，分别介绍了分段函数，指数函数，二次函数的应用，在这个过程中渗透了的基本思想. 本章的知识结构如下：函数的应用函数与方程函数零点与方程根的关系用二分法求方程的近似解函数模型及其应用几种不同增长的函数模型用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模拟解决具体问题本章内容在模块体系中的地位和作用函数是一个抽象的概念，也是一个具有丰富现实背景的数学概念，在此之前学生就是从函数的实际背景出发，抽象概括出函数的意义.因此要帮助学生更好的理解函数的概念，本章教学起到了重要的作用.它引导学生在解决具体问题的过程中逐步加深对函数本质的理解，从而实现由具体到抽象再到具体的认识过程，并在解决问题的过程中将数学模型思想逐步细化，从更高层面认识函数与实际问题的关系.通过本章学习，可以：(1)加深对数学知识与实践关系的认识.(2)体会函数模型应用的广泛性和重要性.(3)增强学生的应用意识.另外，教科书在处理上除了函数模型的应用之外还介绍了函数零点与方程根的关系.用二分法求方程的近似解.整章内容以函数模型的应用为主线，以及各重要的函数模型为对象或工具，将各个部分内容紧密结合起来，使之成为一个系统的整体.因此，这一章的教学在模块中占有突出和重要的地位.本章教学内容的总体教学目标(1)方程的根与函数的零点.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系.(2)根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似值.通过探究介绍了一个函数在某个给定区间存在零点的方法和二分法，并且“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法思想.(3)利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对函数增长等不同函数类型增长的含义.(4)教材收集了一些现实生活中普遍使用的函数模型（指，对，幂，分段函数等）的实例，分别以形成问题、人口增长问题、商品定价问题、未成年人的生长发育问题为例，再丰富的实际背景中对不同的变量进行了研究.分别介绍了分段函数、指数函数、二次函数的应用，在这个过程中渗透了函数拟合的基本思想.本章教学内容的重点难点分析教学重点：函数的零点与方程根的关系，函数模型及其应用.教学难点：(1)从何入手研究是教学中遇到的第一个难点.处理难点的方法是：教师可考虑选择具有明显增长差异的实际问题来创设问题情境，首先让学生从图像上感知不同函数的增长是有差异的，然后让学生利用数形结合对不同函数的增长特性有进一步的认识.最后再从具体到一般初步形成直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的概念.(2)如何比较函数 y=2x、y=和y=的增长差异，从而形成对指数函数，对数函数和幂函数这三类函数增长差异的一般性认识是学生学习的另一个难点，处理方法是：教师可以引导学生在不同范围内同时做出三个函数的图像和表格，让学生看到在不同范围内三个函数的增长差异有所不同，从而逐步形成对这三类函数增长差异的全面认识.(3)应用问题的解题方法是学生学习的又一个难点，具体解题过程如下：推理演算抽象概括实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解还原说明5其他相关问题 教学中教师要把握对函数概念本质的理解是必修课程第一模块的核心内容.因此，教师要深刻理解和实施教学的指导思想.(1)促进学生对函数概念本质的理解并非一次可以实现，它需要一个螺旋上升和循序渐进的过程.(2)突出函数是刻画现实世界变化规律的基本数学模型.(3)以问题为中心注重背景展现过程，引导积极的学习.例如教科书在本章选择了许多背景事例和应用实例，教学时要以问题为中心，强调背景，使学生体会到研究的函数来源于生活实际，它们分别刻画了现实生活中某类变化的规律，学习函数是必要的，让学生感到问题的解决是水到渠成的.另外，还应结合教科书中实例的丰富背景，恰时恰点的提出问题，引导学生经过观察，归纳，概括，交流，反思的思维过程，并利用教科书的留白留空鼓励学生积极参与这个过程，主动思考，自主探索，从而达到积极的学习.(4)以联系为纽带，构建知识网络本章内容不仅注重函数知识与实际的联系，更注重不同函数知识之间的联系以及函数知识与其他相关知识之间的联系，所以应结合教材内容突出知识间的联系.(5)以知识应用为契机培养问题解决意识教学中应以本章内容为契机，有意识的引导学生，在运用函数知识解决相关问题过程中养成提出问题、分析问题、解决问题、回答问题的习惯，培养他们的问题解决意识和数学创造力.(6)以思想方法为核心，同时关注数学文化本章的主要思想方法有数形结合，用函数的观点研究问题，但这些思想方法不是一次就能让学生理解和掌握的，教师要以教材内容为载体，设计成不同的台阶，提出不同层次的要求，有意识的培养他们.例题，练习，习题和阅读与思考栏目都、汲取了不少数学文化素材，教学中应给予关注，使学生在知识和思想能力提高的过程中同时受到数学文化的熏陶，提高科学文化素养.(7)注重信息技术的应用，改进教授方式与学习方式本章内容涉及到求函数值、作函数图像、研究函数的性质，拟合函数等.这些内容的教学都需要使用信息技术.信息技术是一种有效的工具，能够为学生自主探究提供强有力的平台.因此注重信息技术的使用是本章教学比其它章节教学更迫切的任务.二、教学方式概述讲授启发式、试验探究式（1）采用引导发现的方法将求方程近似解的问题转化为求函数零点的问题.从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助图形的观察获得二次函数的零点与二次方程根的关系，并将这种关系推广到一般情形，最后得到二分法求方程近似解的方法.（2）要引导学生从增长和衰减情况入手，试验研究不同增长函数模型间的差异，选择合适的函数模型解决问题.三、教学资源概述教材、教参、计算器、信息技术工具、搜集社会和现实生活中的问题实例.四、课时建议全章共节和一个实习作业，另外还有个选学内容.教学时间约需要课时，大体分配如下（仅供参考）函数与方程约课时阅读与思考中外历史上的方程求解信息技术应用借助信息技术求方程近似解函数模型及其应用约课时信息技术应用收集数据并建立函数模型实习作业约课时小结约课时第一学时-第二学时(3.1 函数与方程)教学设计一、学习目标1能结合二次函数图象与x轴的交点的个数，判断一元二次方程的根的存在性和根的个数, 理解函数零点的概念,领会函数的零点与对应方程根的联系.感受数学的系统性. 理解并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法2.了解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备.让学生在求解方程近似解的实例中感知二分法思想；让学生归纳整理本节所学的知识.3.在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值培养学生由具体到抽象,由特殊到一般地认识事物的意识.体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；并培养学生认真、耐心、严谨的数学品质.二、重点与难点重点:零点的概念及存在性的判定;用二分法求解函数y=f(x)的零点近似值的步骤.难点:零点的确定;为何由a b 便可判断零点的近似值为a(或b).三.教学内容安排 1.内容安排 (1)函数零点的概念;函数零点的判定(2)介绍二分法及其求方程解的步骤，渗透算法思想. 2.教学设计建议(1) 一元二次方程的根与二次函数图象的关系. 先通过几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数, 引导学生解方程，画相应函数图象，观察方程的根与图象和轴交点坐标的关系. 归纳一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的关系. 再推广到一般情况给出函数零点的概念(2) 任意函数零点的判定 通过探究引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的共同特点, 结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析 推出函数零点存在定理，分析其中各条件的作用(3) 用二分法求解方程的近似解 引导学生回忆前一节所学的在一定区间内函数零点的判定定理，以问题作为主线，采用引导的方式使学生自发产生二分法的大体思想，从而使学生认识到利用函数的性质和图像求解函数对应方程的根是函数应用的一个重要内容，而二分法就是体现这种应用的一种方法. 通过本节课对二分法的学习，不仅要使学生掌握一种求方程近似解的方法，而且要通过对二分法的步骤和程序框图的理解，开始懂得“有步骤、程序化”是算法思想的重要特征，为数学3中学习算法内容埋下伏笔. 本节课采用讲练结合的方式，引导学生仔细体会课本上二分法的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中二分法的函数思想，使学生对于步骤性操作有一个深刻的认识，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法.并且借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解3. 应注意的问题 函数图象必须是一条连续的曲线,图象不连续则结论不一定成立. 函数零点的判定定理只能得出y=f(x)的零点存在,但并不能得出零点个数的多少. 当f(a)f(b)0时,并不能说明函数f(x)在(a,b)内无零点.4. 归纳整理，整体认识 在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：（1）本节我们学过哪些知识内容？（2）你认为学习“二分法”有什么意义？（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？四、教学资源建议课本与教参;与教材相关的课件;信息技术手段.五、教学方法与学习指导策略建议根据学生情况,采用启发式教学与讲授式教学相结合，自主探究学习与合作式学习相结合的方法；注意体会特殊与一般，具体与抽象,数形结合等思想方法；还要特别注意信息技术的使用，体现直观的观察和思维.第三学时-第四学时(3.2 函数模型及其应用)教学设计一、 学习目标：1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2. 通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点，渗透由特殊到一般的数学思想.3. 学生在运用函数的思想和方法理解和处理其它学科、现实生活的简单问题中体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辨证观.在数学建模中体会客观世界是有规律可循的，形成正确的世界观.通过函数应用的学习，让学生感受到数学就在身边，从而激发学生学习的兴趣，增强学习的自信心.二、重点内容安排教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，运用指数函数、对数函数、幂函数等基本函数来解决实际问题.教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题三、 教学内容安排1. 内容安排（1）认识几类不同增长的函数模型，体会它们的增长差异.（2）根据已知函数模型，解决有关问题.（3）根据给出的实验数据，分析数据，选取一个函数模型进行模拟，并进行验证.2教学建议在上一单元，我们练习了大量的函数模型，在解决实际问题时，我们将这些函数模型分成以下几类：一次函数模型；二次函数模型；指数函数模型；对数函数模型；幂函数模型；分段函数模型；还有以后会学到的三角函数模型，在研究或解决一些实际问题时，可以建立上述函数模型，解决有关的问题.通常有以下三种题型：已知函数模型，解决实际问题；给出几种函数模型，选择恰当的函数模型；给出实验数据，分析数据，选取一个函数模型进行模拟，并进行验证.（1）鉴于学生第一次接触数学建模，教师应使学生经历一个完整的建模过程.在例1的教学中，教师要引导学生认真审题，依题意构建函数模型，并带领学生共同探讨最优方案.使学生对常见的函数模型有一个整体认识.函数应用是学习函数主要目的之一，通过例2对已知函数的分析比较引导学生，体会不同函数模型的增长差异.（2）分段函数模型是一种比较复杂的函数模型，它可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题或者将定义域上变化复杂的函数分成几段来研究，在每一段区间上函数的变化是有规律的，根据函数的具体变化再选择函数模型.（3）用已知函数模型刻画实际问题时，可用待定系数法求函数解析式，再进行验证比较，根据实际问题的条件与得出已知模型的条件的不同，对模型进行修正，然后得出最合适的函数模型.（4）应注意提高读图的能力，发挥图象的作用.（5）通过例5使学生能够在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题，要求学生会选择合理的变量，并建立函数关系式.（6）例6是体现了根据收集到的数据特点，选择函数模型来解决实际问题，要求学生掌握这种解题的程序化过程.我们生活中的绝大多数变化现象，很难根据已知理论直接建立函数模型.但只要能收集变化过程中变量的数据，利用信息技术就可以建立大致反映变化规律的函数模型.建立函数模型的基本步骤是：（1）解读题意：通过读题，理解题意，把题中的数量和数量关系用恰当的数学语言表示出来；（2）建立函数模型：根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立适当的数学模型，并注意题目对变量的限制；（3）求解函数模型：对已经数学化的问题，运用所学过的数学知识和数学思想方法求出结果，并进行检验，然后解答或预测实际中的一些问题.即 实际问题 抽象概括 数学模型 答 推理演算 实际问题的解 还原说明 数学模型的解应用函数模型，解决实际问题的基本过程如下：（1）收集数据，（2）画散点图，（3）选择函数模型，（4）求函数模型，（5）检验，（6）若符合实际就解决问题，若不符合就回到（3）重新选择模型.应用函数模型解决问题的基本过程用框图表示：不符合实际收集数据