数列 通项1.doc

数列的通项问题 数列的通项公式决定了数列的生成规律，刻画了数列的变化规律，因此数列的通项公式是数列的核心与灵魂数列的递推关系也间接决定了数列的通项公式，本人结合近几年高考数列试题，将利用数列递推关系确定通项公式的常规方法分类汇总考点一：已知数列相邻两项的递推关系，求数列的通项公式类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列,求. 【一般规律】注意到任意数列的恒等式：，把原递推关系式转化为，只要可以求和，就能利用迭加法(逐差相加法)求得数列的通项公式变式1. 数列,求.变式2. 数列,求.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，求。变式1:已知， ，求。变式2. 数列,求.变式3已知数列，满足a1=1， (n2)，则的通项 【一般规律】注意到任意数列的恒等式：，把原递推关系式转化为，只要可以求积，就能利用迭乘法(逐商相乘法)求得数列的通项公式类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例3已知数列满足求数列的通项公式；【一般规律】把原递推关系式为，利用待定系数法转化为，其中为特征方程的根，再利用等比数列求解.这种方法称之为构造辅助等比数列. 变式1（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_变式2已知数列中，.求数列类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例4设为常数，且， 求变式在数列中， （I）设，求数列的通项公式; （II）求数列的前项和例5.已知数列的首项，求的通项公式；变式1已知数列满足，求数列的通项公式.变式2（10全国）已知数列中， .设，求数列的通项公式。变式3已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中(1)证明数列lg(1+an)是等比数列； (2)求数列的通项；变式4.已知数列满足：，则 类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1） 求与的关系；（2）求通项公式.变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 类型7周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例6：若数列满足，若，则的值为_。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD考点二：已知数列相邻三项的递推关系，求数列的通项公式例1.（06福建22）已知数列满足求数列的通项公式；变式1：已知数列满足求例2设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 ； （II）求数列的通项公式。数列的通项问题 数列的通项公式决定了数列的生成规律，刻画了数列的变化规律，因此数列的通项公式是数列的核心与灵魂数列的递推关系也间接决定了数列的通项公式，本人结合近几年高考数列试题，将利用数列递推关系确定通项公式的常规方法分类汇总考点一：已知数列相邻两项的递推关系，求数列的通项公式 例1. 已知数列,求. 解法1.累加（略）解法2.由 有：变式1. 数列,求.解法1.由有，累加得解法2.由有，累乘得变式2. 数列,求.解法1. ，数列为首项为，公差为的等差数列。易得.解法2. 略【一般规律】注意到任意数列的恒等式：，把原递推关系式转化为，只要可以求和，就能利用迭加法(逐差相加法)求得数列的通项公式例2. 数列,求.解法1.累乘得解法2.，得变式1.已知数列满足：,求.解：变式2已知数列，满足a1=1， (n2)，则的通项 【解析】由已知，得，用此式减去已知式，得当时，即，又，将以上n个式子相乘，得.【一般规律】注意到任意数列的恒等式：，把原递推关系式转化为，只要可以求积，就能利用迭乘法(逐商相乘法)求得数列的通项公式例3已知数列满足求数列的通项公式；解：是以为首项，2为公比的等比数列 即【一般规律】把原递推关系式为，利用待定系数法转化为，其中为特征方程的根，再利用等比数列求解.这种方法称之为构造辅助等比数列. 例4已知数列中，.求数列【解析】依题有，即，可变形为，可知数列是以为首项，为公比的等比数列。从而变式1.已知数列数列中，变式2设为常数，且， 求【解析】 方法一：(构造辅助数列整体代换)设可解出. 所以是公比为2，首项为的等比数列. 即方法二：(构造辅助数列同除消元)由得：，即，整理得：，所以数列为以为首项，为公比的等比数列于是，即例5在数列中， ，其中求数列的通项公式；【解析】由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为例6在数列中， （I）设，求数列的通项公式; （II）求数列的前项和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =例10.已知数列的首项，求的通项公式；解：，又，是以为首项，为公比的等比数列，变式1已知数列满足，求数列的通项公式.解：由，有即当时，易得当时，易得例11.（06江西22）已知数列满足：a1，且an，求数列的通项公式；解：将条件变为：，因此为一个等比数列，其首项为，公比，从而，据此得.变式1. 在数列an中，a1=1，an+1=，求an.剖析：将递推关系式变形，观察其规律.解：原式可化为=n，=1，=2，=3，=n1.相加得=1+2+（n1），an=.评析：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.例12。（10全国）已知数列中， .设，求数列的通项公式。变式2已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中(1)证明数列lg(1+an)是等比数列； (2)求数列的通项；【解析】(1)由已知，,，两边取对数得:，即,是公比为2的等比数列 (2)由(1)知 即.变式3.已知数列满足：，则 考点二：已知数列相邻三项的递推关系，求数列的通项公式例1.（06福建22）已知数列满足求数列的通项公式；【