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初三几何中考集训营教师：丁百灵一、讲解填空题，选择题的解法.填空题是大面积考查学生掌握双基情况的基本题型. 考查内容包括：有关概念，定义，定理，基本运算以及简单推理，难点往往是反用公式，抽象推导，以及综合运用知识上.选择题是近几年考试常见的客观性试题. 数学中的选择题是单选题，且不可选两个或两个以上答案. 几何选择题常用的方法有直接法，排除法及特殊值法.直接法：是从题目的条件出发，通过分析，推理和运算得出正确结论，从而确定有正确结论的那个选择支是正确的. 对于大多数选择题都可以用这种方法.排除法：就是通过逻辑判断肯定在所有选择支中除一个外，其余都不是本题的解，从而找出正确答案的方法.特殊值法：是将题目中某些数据，赋予适当的数值计算，使其找到正确的答案.一、求角的度数是根据图中和圆有关的角的度数定理，互余，互补，三角形内角和定理，外角定理，三角函数等等以及等量关系计算得出1如图，圆内接四边形ABCD，AD为O的直径，直线MN切O于B点，MBA=40则C=_度，A=_度解法一：MN与O相切于B，MBA=40，AB=80.AD是O直径，BAD=180+80=260.C=130A=180-130=50.解法二：连结BD.MN与O相切，ADB=MBA=40.AD是O直径，ABBD.A=90-40=50.C=180-50=130.解法三：连结BD.AD是O直径，ABBD，DBN=180-90-40=50.MN是O的切线，A=DBN=50.C=180-50=130.解法四：MBA=40，AB=80.AD是O直径，BD=180-80=100.A=50, C=130.说明，此题有多种解法，综合运用知识是关键.2如图，已知：PA、PB切O于A、B两点，BCAP，BC交O于D，DAC=35，则P=_度.解：连结OA、OB，在优弧AB上任取一点E，连结AE、BEBCAP，CDA=90-35=55E=CDA=55，AOB=110.PA，PB与O相切，OAPA，OBPB.P=180-110=70.说明：（1）填空题，选择题有时也需添加辅助线.（2）这一类型的习题还有：已知：PA、PB与O相切，P=70，求C= 55 度求ACB= 125 度 求BCD= 55度3圆的弦长等于它的半径，那么这条弦所对的周周角的度数为（ ）A30B60C150D30或150解：如图，AB等于半径连结OA，OB.则AOB是等边三角形.AOB=60.C=30, D=180-30=150.故选D.说明：（1）弦所对的圆周角有两个.（2）弦长等于半径的弦所对的劣弧为60.4如图，已知两个等圆O1与O2相交于A、B两点，一条直线经过点A，分别与两圆相交于点C、D，MC切O1于点C，MD切O2于点D，若BCD=30，则M等于_度.解：O1与O2相交于A、BAmB=AnB,1=2=30.CBD=180-30-30=120.MC,MD分别与两圆相切，3=ABC，4=ABD.3+4=ABC+ABD=120.M=180-3-4=180-120=60.说明：（1）注意“等圆”这个条件（2）3，4的度数求不出来，学会综合求3+4的度数5如图，BC是O直径，四边形ABCD的面积与PBC的面积比为3：4，则P的度数为_度.解：连结ACBC是O直径，ABAC.SABCD:SPBC=3:4,SPDA:SPBC=1:4.1=B, P=P,PDAPBC.SPDA;SPBC=PA2:PC2=1:4.PA:PC=1:2在RtPAC中P=60.说明：利用三角函数求解.6如图，BC是O直径，PA与O相切，PD平分APB，则BDP=_度.解：连结AC交PD于点E.PA与O相切，3=B.4=1+3, 5=2+B,1=2,4=5BC是O直径，ABAC.5=(180-90)2=45.BDP=180-45=135.二、必有外接圆、内切圆的图形必有外接圆的图形：三角形；矩形；正方形；正多边形；等腰梯形.必有内切圆的图形：三角形；菱形；正方形；正多边形.平行四边形内接于圆是矩形.菱形内接于圆是正方形.平行四边形外切于圆是菱形.矩形外切于圆是正方形.1特殊四边形梯形直角梯形等腰梯形平行四边形矩形菱形正方形，其中内接于圆的有（ ）ABCD显然是正确的，故选C2顺次连结下列四边形各边中点所组成的新的四边形内接于圆的是（ ）A四边形B等腰梯形C菱形D矩形解：四边形各边中点组成平行四边形等腰梯形各边中点组成菱形菱形各边中点组成矩形矩形各边中点组成菱形矩形内接于圆故选C3既有外接圆又有内切圆的四边形一定是（ ）A矩形B菱形C正方形D以上都不对解：又有内切圆，外接圆的四边形不一定是正方形选D.三、三角形的外接圆，内切圆RtABC外接圆半径内切圆半径1一个三角形三边长为12cm，5 cm，13 cm那么这个三角形的外接圆半径为_cm,内切圆半径为_cm解：三边长为12，5，13三角形为直角三角形，13为斜边说明：记住一些勾股数2三角形三边长是6、8、10，则它内心与外心的距离为_.解：如图，ABC62+82=102ABC是Rt，C=90.3一个直角三角形的斜边长是10cm，内切圆半径是1cm，则这个三角形的周长是（ ）A24cmB22cmC15cmD26cm解：如图，连结ID，IF.则CDIF为正方形.CD=CF=r=1.I是ABC的内切圆，AE=AF，BD=BE.ABC的周长=AC+BC+AB=CF+AF+CD+BD+AB=2r+AE+BE+AB=2r+2AB=2+20=22故选B4等腰直角三角形外接圆半径为R，内切圆半径为r，则R：r= ( )解：如图，ID=r,AI=故选D说明：（1）利用线段和求r（2）要注意熟记等腰直角三角形：四、点和圆，直线和圆，圆和圆的位置关系找准参照物，点和圆、直线和圆都有三种位置关系dr点在圆外直线与圆相离d=r点在圆上直线与圆相切dR+r圆与圆外离d=R+r外切|R-r|dR+r相交d=|R-r|内切d|R-r|内含1O的半径r=13cm, 圆心O到直线l的距离d=OD=5cm, 在直线l上有P、Q、R三点，若P在O上，则PD_cm; 若QD=13cm,则Q在O的_；若RD_则R点在O的内部.解：如图，显然RDr），其圆心距为d且R2+d2-r2=2Rd，则两圆的位置关系是（ ）A内切B内切或外切C外切D相交4若方程x2-2rx+R2=d (R-r)有两相等的实数根，其中R，r分别为两圆半径（Rr），d是两圆圆心距，则这两圆的公切线条数为（ ）A3条B2条C1条D0条解：整理方程为x2-2rx+R2-dR+dr=0方程有两个相等的实根，=0，=4r2-4R2+4dR-4drr2-R2+dR-dr=0(r-R)(r+R-d)=0Rr, r-R0,r+R=d.两圆外切，有三条公切线故选A5两个半径分别为a, b的圆它们的圆心距为那么这两个圆的公切线有（ ）条.A.1条B.2条C.3条D.4条解法一：R-rdR+r两圆相交有两条公切线故选B.解法二：特殊值法设a=4, b=3.则d=4-3d4+3两圆相交有两条公切线.故选B.五、圆中成比例线段的计算概念准确，对号入座认真计算，注意几解1已知O的半径OB=7cm，在OB的延长线上取一点A，使AB=2cm，再从A引割线ACD，使AC=CD则AD=_cm.解：如图，延长BO交O于E.ACAD=ABAE，AC=CD，AD2=216 AD=8说明：记准公式，且不可ACAD=ABAO2如图，BP=4，OP=5，AP=6，则O的半径为_.解一：作直线OP交O于C、D则PCPD=PAPB（R+5）（R-5）=64R2=49R=7解二：作OMAB于M，连结OA.则AM=BM=5，PM=1.OM=在RtAOM中OA=23若A、B、C、D为O上的四点，直线AB与CD交于P点，若PA=4，AB=7，PC=2，则CD的长为（ ）A 8B 22C 20D 8或20解：如图（1）PAPB=PCPDPD=6CD=2+6=8如图（2）PAPB=PCPD，PD=22CD=22-2=20CD的长为8或20.故选D.说明：只求一种情况是不完全的.4如图，过正方形ABCD的两顶点B、C作O，使过D点的切线长为2BC，已知AB=2cm, 则O的半径R=_cm.解：延长DC交O于F，作OMCF，ONBC，连OF.DE与O相切，DE2=DCDFDF=8.CF=8-2=6，MF=3.OMCN是矩形OM=CN=1OF=5如图，AB与O相切于B点，过A作割线交O于C、D，交OB于E点，若AC=CE=3，OE=，则AB=_.解法一：延长BO交O于F，连结CF，BC.则BC=3，ABEFCB.2BE2+5BE-18=0BE1=2 BE2=-(舍)AB=.解法二：连结BC，OC则BC=3O=21=2，3=3，BCEBOC.解之BE=2AB=.解法三：如图，延长BO交O于F点.设AB=x，O半径为R.DE=y. x2=3(6+y)则 x2=62-(R-)2 3y=(R-)(R+)解之x=.六、两圆外、内公切线长的求法公式化 公切线与连心线的夹角的正弦特殊角求 三角函数值两条公切线的夹角 1两圆的半径分别为4cm和6cm，其圆心距为20cm，则两圆内公切线长为_cm，两条内公切线所成的角为_度.解：内公切线长= O1O2E=300，两条内公切线的夹角为600.2当两圆外切时，这两个圆的半径长分别为3和6，则它的外公切线的长是（ ）.A9B3C6D以上结果都不对.故选C.3已知两圆相外切，它们的两条外公切线互相垂直，其中大圆的半径等于5cm，则外公切线的长为（ ）解：如图，由题意七、圆内接四边形与圆外切四边形圆内接四边形对角和的份数相同.圆外切四边形对边和的份数相同.圆外切等腰梯形中位线的长等于腰长.1若ABCD为圆的内接四边形则A：B：C：D可能为（ ）A2：3：4：5B3：4：5：2C4：5：3：2D5：4：3：2解：显然4+3=5+2=7故选C.2若ABCD为圆内接四边形A：B：C=2：3：4，则D=_度.解：由已知得A：B：C：D=2：3：4：3B=D=900.3圆外切等腰梯形上底为4，下底为16，则梯形面积为_.解一：如图（1），可证COD=900，OMCD.OM2=DMCM=28OM=4，梯形高为8.解二：如图（2）.AD+BC=AB+CDAB=CDDN=8八、数一数认真地数，不要猜有次序地数，注意隐含条件1如图，AE是O直径，ADBC，图中共有相似三角形_对解：共有6对有PBEPCA，PBCPEA，BEFACFABFCEF，ACDAEBABDAEC.说明：熟悉基本图形如：2、（2006天津中考题）如图，ABCD，AEFD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形（ ）.（A） 4对 （B）5对 （ C）6对 （D） 7对解：共有6对有BFHBAGCEGCDH故选C.3如图，与MPB相等的角的个数（ ）A2个B3个C4个D5个解：与MPB相等的角有：PAB，PED，CDP，ADB共四个故选C.4如图AB是O直径，PD与O切于C点，CEAB，则图中与A互余的角有（ ）A4个B3个C2个D1个解：与A互余的有ABC，ACE，ACD，OCB共4个故选A.5、如图，在ABCD中，EFAB，GHAD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）A7个B8个C9个D11个解：小平行四边形4个2个小平行四边形组成的平行四边形4个加上ABCD 共9个故选C九、求比综合知识，准确计算1如图，PA切O于A，直线PCB交圆于C、B两点，切线长PA=4，PC=4，则AB：AC=（ ） 解：PA与O相切B=1又P=P，PACPBA.故选A.2O的弦BA与DC延长后交于P点，若BA=7，AP=5，DC=11，则SPAC：SPDB的值是（ ）解：如图.PCPD=PAPB，PC（PC+11）=5（7+5）PC2+11PC 60=0 PC1 = -15（舍），PC2=4.1=D，P=P，PACPDB.故选C.3已知：O1与O2内切于A点，其半径之比为r：R=1：4，P为大圆上一点，PT为小圆的切线，T为切点，连PA，则PA：PT=_.解：如图，O2A=O2B，O1A=O1P，1=A=2.O1PO2B.（十）三角形的心记清定义，灵活变通外心 三角形三边垂直平分线的交点.内心 三角形三条内角平分线的交点.重心 三角形三条中线的交点.垂心 三角形三条高线的交点.1等腰三角形底边上的高，与底角的平分线的交点是等腰三角形的_心.解：等腰三角形的高也是顶角的平分线它与底角平分线的交点是等腰三角形的内心.说明：等腰三角形底边上的高是三线合一，所以交点是什么心，取决于另一条线.2O与三角形ABC三边相交，所截得的线段长相等，那么O是ABC的（ ）A垂心B重心C内心D外心解：如图，作OMAB，ONBC，OPAC.又DE=FG=IH，OM=ON=OP.1=2，3=4，5=6.O是ABC的内心.故选C.3三角形的内心是内切圆各边切点连成的三角形的_心.解：如图，连结OD，OE，OF，则OD=OE=OF.I是DEF的外心.4三角形的外心是三角形各边中点连线所组成三角形的（ ）A外心B内心C重心D垂心解：如图，D、E、F是ABC三边中点，EFBC，DEAB，DFAC.连结OD，则ODBC.ODEF.同理OEAC，OFAB.O是DEF的垂心故选D.十一、命题判断这是检测概念的习题要看清题目的要求，一般采用排除法1下列正确的命题是（ ）A三点确定一个圆B任意四边形都有并且只有一个内切圆C经过圆心平分弦的直线垂直这条弦D任意三角形都有并且只有一个外接圆解：A错，B错，C错，D对.故选D.2下列不正确的命题是（ ）A弦切角所夹的为等弧，则弦切角相等B弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半C弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半.D弦切角相等，则它们所夹的弧也相等解：A对，B对，C对，D错.故选D.3下列命题在同圆或等圆中，等弦所对的弧相等圆的不是直径的相交弦不能互相平分正多边形的中心是它的对称中心各边相等的圆外切多边形是正多边形.其中真命题的个数是（ ）A1个B2个C3个D以上都不正确解：错，对，故选A.4下列命题平分弦的直径垂直于这条弦圆的内接梯形是等腰梯形若两圆没有公共点，则两圆外离若两圆相切，则两圆只有一条公切线其中错误的命题的个数为（ ）A1个B2个C3个D4个解：错 对 错 错.故选C.十二、正多边形记住常用公式和数据及解题规律综合运用知识是解题关键，把握技巧.1在半径为R的圆中内接正n边形的边长an=_.解：在RtAOM中，说明：要当公式记忆.2同一圆的内接正n边形和外切正n 边形的直径比为_解：同一圆的内接正n边形和外切正n边形直径比等于半径比等于cos3正三角形，正方形，正六边形的周长是12a，它们的面积分别是S1，S2，S3则下列式子成立的是（ ）AS1=S2=S3BS3S1S2CS1S2S3DS2S1NCMND无法确定解：设O半径为R故选A.6已知圆锥的底面半径为2cm，垂线长为6cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角为_度.展开图圆心角为1200.7一个扇形如图，半径为10cm，圆心角为2700，用它做成一个圆锥的侧面，那么圆锥的高为_cm.十四、综合1在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，O是外心，ODBC，OEAC，OFAB，则OD：OE：OF等于（ ）解：连OA，OB，OC.设O半径为RA=BODOD=RcosA同理OE=RcosB，OF=RcosCOD：OE：OF=cosA：cosB：cosC故选D.2如图，AB是O直径，点C在O上，ABC的平分线交O于D，交AC于E，若O的半径为5，BC=6，则DE=（ ）解：AB是O直径，ACBCAB=10，BC=6，AC=81=2，AD=DC连结OD，则ODAC.CM=AM=4故选D.十五、综合证明题，计算题一般使用排除法，或直接证明计算1如图，圆内接ABC的外角ACE的平分线与圆交于D点，DPAC于P，DEBC，垂足为E，下列结论：CE=CP，AD=DB，AP=BEDE为O的切线.其中一定成立的是（ ）ABCD解：由CDPCDE（AAS）证出正确由1=2证出DAB=DBA.证出正确由ADPBDE（AAS）证出正确无法找到正确依据.故选B.2如图，在A和B外切于C，它们的半径分别为1和3，下列说法正确的个数是（ ）圆心距AB的长是4A和B共有三条公切线两圆外公切线所夹的角是600外公切线长是3A1B2C3D4解：显然正确正确.外公切线长为= 是错的.故选C.3如图，在直径为6的半圆AB 上有两动点M、N，弦AM、BN交于P点，则APAM+BPBN的值为_.解：作PCAB于C，连BM则APCABM同理BNBP=BCABAPAM+BPBN=ACAB+BCAB=AB2=36.二、圆中添加辅助线的规律如何作辅助线是学生学习平面几何的难点，也是我们教师教学的难点和关键.掌握证明题添加辅助线的规律，可以培养学生逻辑推理能力；培养学生对问题的探索精神；提高学生解题的技能技巧，使教学质量不断提高.一道几何题能否证出，和掌握概念，熟悉图形，运用规律，分析综合能力有关.作辅助线是解几何题的一个重要手段.辅助线的添加是观察、分析、综合、判断的结果.要能准确作出辅助线需要明确添加辅助线的目的和规律.总结多年教学实践经验，笔者认为平面几何添加辅助线的目的有以下四点：1把复杂的图形分解为简单的图形；2把图形中隐含的条件显示出来；3把已知、未知所求相对集中；4通过构造线、角、三角形、特殊的四边形，使要证明的两个量发生联系，使定理得以使用.简单说来，添加辅助线的目的就是：分解，显示，集中，连系.下面就“圆”这一章常见习题谈谈添加辅助线的规律.（一）根据图形和已知条件添加辅助线1弦心距是重要辅助线垂径定理是一个重要的定理，作弦心距可使垂径定理及其推论得以应用.添加辅助线方法有三种（1）作已知弦的弦心距.作OMAB，M为垂足.则AM=BM.（2）连结圆心与弦的中点.连结ON.AN=BN，ONAB.（3）连结圆心与弧的中点连结OD.ODAB.例1如图，O的内接ABC，AD是ABC的高，E为BC的中点.求证：EAO=EAD.证明：连结OE.OEBC.又ADBC，ADOE，E=EAD.OA=OE，EAO=E，EAO=EAD.说明：此题证法很多，但这种方法最简单.2有直径就有直角.在圆的习题中有直径的习题不少，要想到直径所对的圆周角是直角，有时只有半径，常把半径延长成直径，有直径就有直角.（1）连结BC.AB是O直径；ACBC.（2）延长AO交O于B，连结BC.AB是O直径，ACBC.例2直线OC垂直于O的弦AB，交O于C点，在O上取一点P，线段AP的延长线交直径OC于E点，PB交OC于D点.求证：OC2=ODOE.分析：这是一道综合题.欲求证OC2=ODOE，OC是半径，只要求OP2=ODOE就行了，需求OPDOEP，POE是公共角，只需求1=E就行了.证明：作直径PQ，连结BQ，则PBBQ.1+Q=900.OCAB，E+A=900.A=Q，1=E，又POE=POE.OPDOEP.OP2=ODOE.OC=OP，OC2=ODOE.3两圆相交连公共弦.在两圆相交的图形中，公共弦往往是一条重要的辅助线.因为公共弦使两圆的角在量上发生联系.也就是说，连公共弦后出现外角等于内对角或中间角.另外，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，可以丰富已知条件.（1）连结AB.（2）连结AB，O1O2.例3如图，已知O1与O2交于AB，过A的直线分别交两圆于C、D，连结BO1，BC，BO2，BD.求证：CBD=O1BO2.证法1：分别作两圆直径，BE，BF，连结CE，DF，AB.则CEBC，DFBD.1+E=900，2+F=900.E=BAD，BAD=F，E=F.1=2.1+CBF=2+CBF.即CBD=O1BO2.证法2：分别作两圆直径BE、BF，连结AE，AF，AB，则AEAB，AFAB.BAE+BAF=1800.E、A、F三点共线1=3，2=4，3=4，1=2.1+CBF=2+CBF.即CBD=O1BO2.证法3：连结AB，O1O2.两圆交于AB，O1O2AB，C=O1，D=O2.CBD=1800 C D， O1BO2=1800O1O2，CBD=O1BO2.4见切线连半径画垂直圆的切线垂直于经过切点的半径，是切线的重要性质.在有切线的习题中，连圆心和切点的半径就是常见的辅助线，有时也过圆上某一点作圆的切线.（1）连结OA，l与O切于A点，OAl.（2）过A作O的切线MN.则MNOA.例4如图，OA和OB是O的半径，并且OAOB，P是OA上任一点，BP的延长线交O于Q，过Q点的O切线交OA的延长线于R.求证：RP=RQ证明：连结OQ.RQ与O相切，OQRQ，1+3=900.OAOB，B+4=900.OB=OQ，B=3.1=4.又4=2，1=2.RP=RQ.说明：此题解法很多，不同添加辅助线的方法，有不同的解法.例5如图O1与O2相交于A、B，P是O2上一点PA、PB延长线与O1交于C、D，PO2延长线交CD于E.求证：PECD.证明：连结AB，过P作O2的切线MN，则PEMN.MN与O2相切，ABP=APM.C=ABP，C=APM.MNCD.PEMN，PECD.说明：圆中证明垂直的一般方法是证两角互余或转化.此题还可以用两角互余的方法多途径解决，但过P作O2的切线较为简明.5两圆相切，公切线是重要辅助线.在两圆相切的图形中，过切点作两圆的公切线可使两圆在角的关系上出现桥梁，使问题得以解决.（1）过A作两圆内公切线MN，连结O1O2两圆外切于A，A在O1O2上.（2）过A作两圆外公切线MN，连结并延长O1O2两圆内切于A，A在O1O2延长线上.例6两圆内切于P，大圆的弦AD交小圆于点B、C求证：APB=CPD证法1：过P作两圆的外公切线MN，连结EF.MN是两圆的外公切线，1=2，1=D.2=D.EFAD.APB=CPD.证法2：过P作两圆的外公切线.则APM=D，BPM=BCP.BPM APM=BCP D.APB=BPMAPM，CPD=BCPD，APB=CPD.证法3：过P作两圆的外公切线，连结BE.MN是两圆的外公切线，1=2，D=2.1=D.又BEP=DCP，APB=1800 1 BEP，CPD=1800 DDCP，APB=CPD.说明：此题证法很多，但都必须过P作两圆的外公切线，才能得解.例7如图，已知O1与O2外切于P点，CD是两圆的外公切线，C、D为切点，过P的直线交两圆于A、B两点，AC和BD的延长线相交于E点.求证：E=900.证法1：过P作两圆内公切线MP，交CD于M，连结PC，PD.CD是两圆的外公切线，MC=MP=MD.PCPD.即1+2=900.A=1，2=B，A+B=900.E=900.证法2：连结O1C，O2D，O1O2.O1和O2外切于P点P在O1O2上.CD是两圆外公切线，O1CCD，O2DCDO1CO2D.O1+O2=1800.A+B=900.E=900.说明：（1）通过P点作两圆的内公切线，可证PCPD.这是此图的特点，解题中要想到，使证明快速.（2）两圆相切，连心线必经过切点，在课本上虽然不是定理，但在习题中经过要用.（二）根据证题规律和求证添加辅助线1证切线常用方法：（1）连半径，证垂直；（2）作垂直，证半径.例8已知AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是O的切线.证明：连结OD.BC是O的切线，OBBC.ADOC，2=A，1=3.OA=OD，A=3.1=2.又OB=OD，OC=OC，OCBOCD.ODC=OBC=900.OD是O半径，CD是O的切线例9如图ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，O与腰AB切于点D.求证：AC与O相切.证法1：连结OD，OA，作OEAC，E为垂足AB=AC，OB=OC，1=2.AB与O相切，ODAB.又OEAC，OD=OE.E点在O上，AC与O相切.证法2：连结OD，作OEAC，E为垂足.AB与O相切，ODAB.OEAC，ODB=OEC=900.AB=AC，B=C，又OB=OC，OBDOCE.OE=OD.E在O上，AC与O相切.2证线段倍分关系常用方法：（1）加倍法；（2）折半法.例10求证：对角线互相垂直的四边形的外接圆的圆心到一边的距离等于这边的对边长的一半.已知：四边形ABCD内接于O，对角线ACBD，OMBC交BC边于M.求证：OM=AD.证法1：作直径CN，连结AN，BN.OMBC，CM=BM.又OC=ON，OM=BN.CN是O直径，ANAC.又ACBD，ANDB.OM=AD.证法2：取AD的中点N，连结ON，PN，PM.AN=DN，ACBD，ONAD，PN=AD.1=2.OMBC，BM=MC，PM=BC=BM.3=4.2=3，1=2=3=4.PNO+1+2+900=1800.PNO+1+4+900=1800.ONMP同理，OMPN.四边形OMPN是平行四边形.OM=PN即OM=AD.证法3：作ONAD，N为垂足，连结OB，OD.ONAD，AN=DN=AD.ACBD，ODN+DAC+ODB=900.OB=OD，ODB=OBD.又OMBC，BOM+CBD+OBD=900.DAC=CBD，ODN=BOM.又OB=OD，RtODNRtBOM.（AAS）OM=DN.即OM=AD.说明：解这类线段倍分关系的问题，如果能找到“OM的二倍在哪里”或“AD的二分之一在哪里”就容易证明了，这就是所谓的加倍法、折半法.也有的习题用三角函数或比例的方法来证明.3证明线段的和差关系常用方法：（1）截长法；（2）补短法；（3）面积法等.若证a=b+c“截长”：在a上截取b（或）c，证明剩余线段等于c（或）b.“补短”： 把b与c接起来，证明等于a.延长b（或c）使其等于a，证明被延长部分等于c（或b）.例10如图，ABC是等边三角形，P是BC上任意一点，连结PA、PB、PC.求证：AP=BP+CP.证法1：在AP上截取AD=CP.连结BD.三角形ABC是等边三角形，AB=BC.又AD=CP，1=2，ABDCBP.BD=PB.又3=4=600，PBD是等边三角形.BP=PD.AP=BP+CP.证法2：延长PB到E，使PE=AP，连结AEABC是等边三角形，1=2=600.又PE=PA，PAE是等边三角形.PAE=600.BAC=600，BAE=CAP.又AB=AC，ABE=ACP，ABEACP.BE=CP.AP=BP+CP.说明：此题证法很多，例如在PA上截取PE=PC，证PCE为等边三角形，ACEBCP；另外延长BP到M使PM=PC或延长PC到N使CN=BP等等，同学们不妨一试.4求两圆外、内公切线的长常用方法：平行移动法.其目的就是把已知和所求集中到一个直角三角形中，运用勾股定理计算出结果.平行移动又分平移所求和平移已知.例11已知：O1半径为R，O2半径为r，O1O2为d.求：O1与O2公切线AB的长.平移所求：过一个圆的圆心作另一个圆半径的垂线.外公切线 内公切线连结O1A，O2B，作O2CO1A，C为垂足分析：通过作辅助线，形成平行四边形ABO2C，O2B=AC，AB=O2C，也形成了RtO1O2C，O1O2=d，O1C=Rr，显然AB=O2C=（2）平移已知：过切点作连心线的平行线连结O1A，O2B.过B作BEO1O2交AO1（或AO1延长线）于E.分析：通过作辅助线形成平行四边形O1O2BE，O2B=O1E，O1O2=BE，也形成了RtABE，BE=d，AE=Rr，显然AB=说明：（1）解此类习题习惯上平移所求.（2）在作选择题和填空题时，可把前面推出的结果当作公式外公切线长=内公切线长=外公切线与连心线的夹角的正弦内公切线与连心线的夹角的正弦5证题分析中需要形成图形产生的辅助线更多的习题是根据所求推理需证的图形而添加辅助线.例12已知：如图，O1和O2相交于A和B，O2O1的延长线交O1于C，CA、CB的延长线分别与O2相交于点D、E.求证：AD=BE.证法1：连结ABO1与O2相交于A、B，O1O2垂直平分AB.CA=CB.CACD=CBCE，CD=CE.CD CA=CE CB.即AD=BE.证法2：连结AB，DE.O1与O2相交于A、B，O1O2垂直平分AB.CA=CB.CAB=CBA.CAB=E，CBA=E.ABDE.AD=BE.证法3：连结AB，作O2MAD，O2NBE.M、N为垂足.O1与O2相交于A、BO1O2垂直平分AB.CA=CB.1=2.O2MAD，O2NBE，O2M=O2N.AD=BE.说明：此题一题多解，证法1较为简捷.以上是圆中辅助线的基本规律，和常见辅助线的添法.在解题中有的题用其中一种，也有的需要用几种，都是解题的需要，分析的结果，不能生搬硬套，要灵活运用，愿对读者有所帮助. 三、综合题分析例1已知：如图，P是O直径AB延长线上的一点，割线PCD交O于C、D两点，弦DFAB于点H，CF交AB于点E.（1）求证：PAPB=POPE；（2）若DECF，P=15，O的半径为2，求弦CF的长.（1）证明：连结CDAB是O直径，DFAB，AD=AF=DF.1=2.POD=PCE,PDOPEC.即PDPC=POPE.PAPB=PDPC，PAPB=POPE.（2）解：由（1）知AB垂直平分DF.ED=EF.3=4.DECF,3=4=45.5=4=45, P=15,2=60.1=60.在RtDHO中，1=60，OD=2，OH=1， DH=.DHE为等腰直角三角形，DE=.1=2, DHO=DEC=90,DHODEC.EC=CF=CE+EF =CE+DE =点评：（1）此题是北京市东城区2002年初中升学统一考试试题.（2）中间积介绍也是求证等积式常用的方法.（3）当线段不好求时可分段求，在几何计算题中，使用三角函数求解可使计算简化.例2如图，O1与O2外切于P点，HCB与O2切于B点，BP延长线交O1A.（1）求证：BCPHAP；（2）AP：BP=3：2，且C为HB的中点，求的值.（1）证明：过P作两圆公切线MN. 则3=2=1.又HB与O2相切于B，B=1.3=B.又4=A,BCPHAP. （2）解法一：BC=HC，SBCP=SCHP. AP:PB=3:2,SHAP:SHPB=3:2.HAPBCP. 解法二：设AP=3k，PB=2k， PCPH=BPBA，BC=HC，2BC2=2k5k.BC=k.3=B,A=A,HAPBAH.例3如图，O1与O2外切于P点,过P的直线分别交两圆于A、B，AD切O2于D，AD交O1于C，已知PC=2，PB=8 求PD的长 解：过P作两圆的由公切线MN，连结BD MN是两圆的公切线，AD与O2相切， A=CPM，DP