高考平面向量公式(教师)

精品文档 1 欢迎下载 第七辑第七辑 平面向量专题平面向量专题 一 基本概念一 基本概念 1 向量的概念 有大小有方向的量称为向量 2 向量的表示 几何表示为有向线段 如图 字母表示为或者 aAB 3 向量的大小 即是向量的长度 或称模 记作或者 aAB 4 零向量 长度为 0 的向量称为零向量 记为 零向量方向是任意的 0 5 单位向量 长度为一个单位的向量称为单位向量 一般用 来表示 ei1 e1 i 6 平行向量 也称共线向量 方向相同或相反的向量称为平行向量 规定零向量与任意向量平行 若平行于 则ab 表示为 ab 7 相等向量 方向相同 大小相等的向量称为相等向量 若与相等 记为 aba b 8 相反向量 大小相等 方向相反的向量称为相反向量 若与是相反向量 则表示为 向量abab BAAB 二 几何运算二 几何运算 1 向量加法 1 平行四边形法则 起点相同 可理解为力的合成 如图所示 2 三角形法则 首尾相接 可理解为 位移的合成 如图所示 ACBCAB 3 两个向量和仍是一个向量 4 向量加法满足交换律 结合律 abba cbacba 5 加法几种情况 加法不等式 baba bababa baba 2 减法 1 两向量起点相同 方向是从减数指向被减数 如图 CBACAB 2 两向量差依旧是一个向量 3 减法本质是加法的逆运算 CBCAABCBACAB 3 加法 减法联系 1 加法和减法分别是平行四边行两条对角线 ACADAB DBADAB 2 若有 则四边形为矩形ADABADAB ABCD B A a C B A b a ba b a ba C B A ab a b ab ba C B A D 精品文档 2 欢迎下载 4 实数与向量的积 1 实数与向量的积依然是个向量 记作 它的长度与方向判断如下 aa 当时 与方向相同 当时 与方向相反 当时 当时 0 a a0 a a0 0 a 0 a0 a aa 2 实数与向量相乘满足 aa aaa baba 5 向量共线 1 向量与非零向量共线的充要条件是 有且只有一个实数 使得ba ab 2 如图 平面内三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数 CBA qnm 使得 且 反之也成立 0 OCnOBmOAq0 qnm 3 则 证明略 ACAB OCOAOB 1 6 向量的数量积 1 数量积公式 ba ba baba coscos 2 向量夹角 同起点两向量所夹的角 范围是 00 180 0 3 零向量与任一向量的数量积为 0 即00 a 4 数量积与夹角关系 bababa 0 0 00 900 0 90 00 18090 0 180 baba 0 baba0 bababa 0baba 5 投影 称为在的方向上的投影 成为在的方向上的投影 a ba b cosba b ba a cosab 6 重要结论 直角三角形中 ABC 2 ABABAC 7 向量数量积的运算律 向量为与方向相同的单位向量 2 2 aa e a a eaabba bababa cba cbca 22 2 2 bbaaba 22 2 2 bbaaba 22 bababa O CBA b a b a b a ba ba C BA 精品文档 3 欢迎下载 三 坐标运算三 坐标运算 1 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 有且只有一对实 21 e ea 数 使得 我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 证明略 21 eea 21 e e 2 坐标定义 如图 在直角坐标系内 我们分别取与轴 轴方向相同的两个单位向量 作为基底 任作一个向量xyij 由向量的基本定理可知 有且只有一对实数 使得 我们把叫做ajyi xa yx 向量的 直角 坐标 记作 其中 分别为向量的横纵坐标 这个式子 yxa xy 叫做向量的坐标表示 3 如图 已知点 由向量的坐标定义可知 11 yxA 22 yxB 由此可知 一个向量 11 yxOA 22 yxOB 1212 yyxxOAOBAB 的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标 即 1212 yyxxAB 4 向量的加减乘坐标运算 已知 11 yxa 22 yxb 1 加 减 乘 2121 yyxxba 2121 yyxxba 2121 yyxxba 2 实数与向量乘积的坐标运算 11 yxa 3 向量模 大小 的坐标形式 2 2 2 2 2 1 2 1 yxbyxa 4 夹角余弦值ba 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 cos yxyx yyxx 5 向量间关系的坐标形式 已知 11 yxa 22 yxb 1 的充要条件是 0 bba0 1221 yxyx 2 若则有 即 ba 0 ba0 2121 yyxx 6 柯西不等式的向量形式 设向量 则有 因为 所以有柯西不等 dcnbam bdacnm 2222 dcbanm nmnm 式的向量形式 化简得 2222 dcbabdac 22222 dcbabdac