辅助圆应用的探讨·数学系专业毕业论文.doc

辅助圆应用的探讨 内容摘要辅助圆是一种重要的解题工具，巧妙地添加辅助圆，能够使得那些看似与圆无关的题目通过建立沟通条件和结论的联系，利用圆的性质或其它几何性质，从而通过简捷的方法把复杂的问题转化为较为简单的问题。所以，本文对辅助圆的应用进行了简单的总结，通过具体例题进一步的给出了构造辅助圆在各种问题中的应用，使问题由难变易，迎刃而解。【关键词】辅助圆 圆的性质 三角形的性质 取值范围 Disscussion on the application of auxiliary circleAbstract Auxiliary circle is an important tool of sloving probiem. Adding auxiliary circle skillfully,can make those seemingly unrelated topics with round conditions through the establishment of communication links and conclusions, thus,using circular or other geometric properties of nature, which by simple means,making the complex problems into simpler ones.Therefore, this article makes a simple summary of the application of auxiliary circle. Specific examples are given to establish the application of auxiliary circle in all kinds of problems so that it can make problems become easy . 【Key Words】Auxiliary circle Property of Circle Property of triangle Value range目 录一、引言 （1）二、由圆的定义引出辅助圆 （1）三、辅助圆的应用（2）（一）在代数中的应用（3）（二）在平面几何中的应用（5）（三）在解析几何中的应用（7）（四）在物理学中的应用（10）四、总结（11）致谢 （12）参考文献（12）辅助圆应用的探讨 学生姓名：朱淑芳 指导老师：王翠红一、引言 圆是平面几何主要的研究对象，具有丰富的几何性质，同样也是解析几何的研究对象，圆有着许多重要而美妙的性质，还具有优美的代数形式，圆还是一种重要的解题工具，在处理问题时，若能依据题目的特点，添加适当的辅助圆，立刻显得简单而又灵活，可使解题思路豁然开朗。辅助圆也是一种重要的辅助线， 从一些题目的题设和结论来看，似乎与圆无关，若受思维定式的影响，就会束手无策，但通过挖掘题目中的隐含条件，构造辅助圆，再运用圆的定义、性质，就可以沟通条件和结论的联系，找到简捷的解法，使得问题迎刃而解。二、由圆的定义引出辅助圆 圆就是到定点的距离等于定长的点的集合。如果条件给出共同端点的几条线段相等，由圆的定义，便可以以共同的端点为圆心，以等线段的长为半径，引出辅助圆，而后利用圆的有关性质解决问题。例1如图，,如果是的倍（为实数）。求：是的多少倍？ 图 1分析：由题我们可以看到有共同端点的几条线段相等，因此考虑以共同的端点为圆心，以等线段的长为半径，借助辅助圆来求解。解：以点为圆心，长为半径作圆.显然、在圆上，设是的倍，有： =, 是的倍.注：此题如果采用三角形内角和定理求解，运算量较大，而且容易出现计算的差错。像这样添加辅助圆沟通了条件与结论之间的相依关系，从而使问题容易解决。例2如图，,于，交于.求证： . 图2分析：由本结论可以联想到：=.而题中没有角相等的条件，但我们注意到有共同端点的几条线段相等，因此考虑借助辅助圆求解.证明 ：以长为半径，点为圆心作圆，则有点、都在上. ,=. 又，.故,.于是 ,.注：看似此题结论和条件相差甚远，无从下手，但是借助辅助圆中圆心角和圆周角的关系，从而为证明三角形的相似提供了条件，进而得到边之间的关系。三、 辅助圆的应用（一）在代数中的应用1.求最值 最值问题是数学中常见的问题,它在我们日常生活实践中普遍存在,因此最值问题很容易受到人们的重视，但是有些最值问题,看似简单却不易找到突破点,使用常规的方法不容易得到解决，可以根据题意恰当的构造辅助圆,利用圆的相关知识来解决问题。例1.设且方程至少有一个实数根,试求的最小值.分析:由题要求的最小值我们可以联想到圆的方程的标准形式,则可以利用辅助圆来求解.解:作辅助圆 ,设为方程的一个实根,故有,同时满足，.故关于,的方程组 有解,即是直线与圆有交点，.设，所以只须求的最小值. =， ，当且仅当，即时，等号成立.代入方程或，解之即可得，此时，的最小值为.2.求取值范围例2.求实数的范围，使得对任意的实数和任意的，则恒有.分析：由题存在于不等式中，而不等式能让我们联想到圆的标准形式，那么可以转化为直线与圆的位置关系来求的取值范围。解：由结论的形式联想到圆的方程的标准形式，设，则有表示以为原点，以为半径的圆的外部（包括边界），消去得动直线的方程，所以只须动直线与圆恒相切或相离，既有恒成立，所以只要恒成立即可.令，由，有，则化为，恒成立，即，或，恒成立，即或，恒成立，利用函数的单调性可求得，或.3.证明不等式的性质不等式的证明是数学中的难点,比较法,分析法,综合法是常用的证明方法,但有的不等式问题也可以借助辅助圆来解题。例3.对于任意正实数,，有，当且仅当时，等号成立.分析：不等式的这个性质，可以用整式乘法的完全平方公式来证明，也可以构造辅助圆利用直角三角形相似来证明代数中的不等式性质，用平面几何的只是来解决代数问题。 CBAOD 解：如图，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与、点不重合），过点作 的垂线交于 为直径，又, , 即,. 图3 若点与不重合，连接，在中，有.，若点与重合时，.综上所述，即，当等于半径时，等号成立.（二）在平面几何中的应用1.借助辅助圆作三角形的外接圆求解EABGDCF例4如图，在中,是底边上一点,是线段上一点且.求证：. 分析：要找出与结论的关系.而又容易 想到作的平分线,但因为,因此不能直接证出.如果延长交的外接圆于,则可得,从而得证.证明：延长与的外接圆相交于点,连结与. 图4则,即. 故. 又,从而.故.作的平分线交于,则.因,故.从而.于是,.故.2.利用辅助圆作三角形的内接圆证明例5.已知是的斜边上的高。证明：.ACBDHIO分析：要证线段和的大小，需找出这些线段间的关系，直观的看，我们找不出关系，而借助辅助圆我们便可以容易的找出它们之间的关系。解：作直角三角形的内接圆，过作的垂线交于，过作的垂线交于, 图5设的内切圆半径为, 又由三角形内接圆的性质有， 且 .则有,而,所以.注：这是一道传统的几何题，通常的证明方法是截长补短，证法也较多，但都需要构造全等三角形或借助比例线段来证明，需要一定的技巧，此题借助辅助圆，彰显数形结合之妙。3.借助辅助圆求线段的长度例6如图6,四边形中, ,，.求对角线 的长. 分析：由“”可知、ABDCE在半径为的上.利用圆的性质构造辅助圆即可找到与、的关系.解：以点为圆心，以长为半径作圆，延长交半径为的于点,连结.显然、在上. 图6,. 从而. 在中, , , ,故.4.利用辅助圆求角度ABCDE例7.如图，在中，,的平分线交于,求的度数. 分析：要求的度数放在三角形里，知道了边的关系，但是仍看不出，借助辅助圆将三角 形问题转化为圆的问题，更容易求解。解：作的外接圆交于，连结. 图7因为是的平分线，所以，有.且，所以,. 由，得. 所以,在中,.所以,故.（三）在解析几何中的应用1.利用辅助圆求取值范围xyABDCP例8.椭圆的焦点为,点为其上的动点，当为钝角时，求点的横坐标的取值范围. 图8分析：要求P的坐标取值范围，则需借助辅助圆与椭圆的交点来确定点P的位置，进而判断取值范围.解：以为圆心，的长为半径作圆，并与椭圆联立，即，从而解得曲线交点的横坐标分别为-，.由圆的知识可知当点在椭圆的或弧线（即辅助圆内）上时，为钝角，故点的横坐标的取值范围是.2.求点的坐标xyP例9.在椭圆上求一点，使得这点与椭圆两焦点的连线互相垂直. 图9分析：根据题意，点到两定点的距离的线段互相垂直，让我们很容易想到以斜边为直径的圆内接直角三角形，作辅助圆即可容易求解。解：以原点为圆心，以焦距为直径作辅助圆，则辅助圆与椭圆的交点即为所求点.由椭圆的性质,即，那么焦距=10，则辅助圆的方程为,与椭圆方程联立方程组，解得.故所求点的坐标为，.3.求曲线的方程例10.求直线的方程，使点到的距离都是1.分析：用待定系数法直接求解，思路清晰，但对本题却运算繁杂，费时易错，简化运算量是我们追求的目标，借助辅助圆我们可以化繁为简。 解：如图，分别以两点为圆心，作半径是1的辅助圆，于是问题转化为求圆的内、外公切线方程.ABxy可设外公切线的方程为,即.到外公切线的距离为1 ，,解得 的中点为, 图10 可设内公切线的方程为,即.到内公切线的距离为1,解得或.故所求直线的方程为或.4.求最值例11.求抛物线与圆上最近两点的距离。分析：要求两点间的最短距离，显然借助辅助圆使得解题为简便。解：作与抛物线相切且与已知圆同心的辅助圆,设方程为,与抛物线的方程联立消去并整理得,由,得.故抛物线与圆上最近两点的距离为-1.例12.在平面直角坐标系中，在轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点、，试在轴的正半轴（坐标原点除外）上求一点，使取得最大值 分析：此题解法颇多，可用三角、不等式、函数、解析几何等方法，但最为直观与简捷的方法是引入辅助圆解：设点的坐标为，点的坐标为设所求点的坐标为，在中，由正弦定理得，其中为的外接圆半径可见当取最小值时，取得最大值在过、两定点且与轴正半轴有交点的圆中，当且仅当点是圆与轴的切点时，半径最小，故切点为所求 由，得，即点为(四)在物理学中的应用数学方法是研究物理学的一种基本方法，运用圆的知识研究物理问题也是一种常用的数学方法，若能根据题目特点引入辅助圆，往往对解题起到化繁为简，化难为易的作用。1.求速度BCDAO例13.如图，在海上依次排列的三点、在同一直线上，,.船沿直线以一定速度航行，当船过点后时测得线段的视角为，又过了再测线段的视角又为，求船的速度. 图11分析：由题目给出两个仰角的度数相同，而且是同底同侧顶角相等的两个三角形，由圆的性质可知四点共圆，因而作出辅助圆应用圆的性质来求解。解：设这艘船的速度为.因为，故、这四点共圆，有 .即.解得.答：船的速度约为.2.在求极值中的应用例14.一条宽为L的河，水的流速，已知船在静水中的航速为，若，怎样渡河船漂下的距离最短？ BA 图12分析:要使船漂向对面的距离最短，根据向量的三角形法则，借助辅助圆来解题即可化难为易。 解：因为，则不管船的航向怎样总要漂向下游.船的合速度是由和合成，故将沿作匀速直线运动.如图，以矢量的端点为圆心，以的大小为半径作圆，圆周上各点是合速度端点位置，根据矢量三角形法则可知，船将沿匀速直线运动到对岸，方向与岸的交点即船渡河到达对岸的位置.观察图可知从点作圆的切线，这时得到的方向是使船能到达对岸且漂下距离最短时船的合速度的方向，此时船与岸夹角.四、总结 借助于辅助圆常可以使解题另辟蹊径，得到新颖别致的解法，达到事半功倍的效果，还可以培养求异、创新思维的能力，妙地添加辅助圆，能把复杂的问题转化为较为简单的问题，迅速找到解题途径，同时这种解题思路还有助于培养同学们探索问题的能力，提高同学们的数学思维品质借助辅助圆解题，需要我们牢固掌握圆的有关知识，有时应灵活应用，而不能按部就班，这样才能达到解决问题的作用.致谢：本次毕业论文能够顺利完成，这与我的指导老师王翠红老师的细心指导是分不开的。从课题的选择到论文的最终完成，王老师对学术严谨的态度和精益求精的精神，使我受益匪浅。不仅使我掌握了基本的学术论文写作及研究方法，还让我学会了许多做人的道理。老师为我们花费了大量的心血，感谢他们耐心的帮助我修改论文，尽一切方便为我提供资料；感谢大学四年来所有的老师，为我们打下了数学专业知识的基础；感谢长达半个学期