浅谈立体几何教学中直觉思维能力的培养.doc

中国教育学会数学专业委员会第11届年会参评论文浅谈立体几何教学中直觉思维能力的培养 -用教育理论指导教学的点滴心得体会海南华侨中学 蔡芙蓉摘 要 数学是思维的体操，数学能启迪、培养、发展人的思维能力国家新课程标准明确指出要加强创新意识和思维能力的培养因此，在数学教学中不仅要重视逻辑思维的培养，还要关注直觉思维的培养空间几何教学是培养学生的逻辑思维和直觉思维能力的很好的载体几何教学尤其要突出直觉思维的培养功能笔者根据教育学理论结合教学实践中的点滴心得体会，谈谈空间几何教学中直觉思维的训练方法和培养直觉思维的基本路径一借助模型法、整体思想激发直觉思维二借助类比思想促进直觉思维的有效迁移三借助特殊化这一条高效的通径，以退求进四反思解题过程，诱发解题念头，促进直觉思维的形成五培养对数学直觉思维和谐美的鉴赏能力关键词：数学 直觉思维 模型 类比 特殊化 反思 审美 数学是思维的体操，数学能启迪、培养、发展人的思维国家新课程标准明确指出要加强创新意识和思维能力的培养因此，在数学教学中不仅要重视逻辑思维的培养，还要关注直觉思维的培养空间几何教学是培养学生的逻辑思维和直觉思维能力的很好的载体几何教学尤其要突出直觉思维的培养功能笔者根据教育学理论结合教学实践中的点滴心得体会，谈谈空间几何教学中直觉思维的训练方法和培养直觉思维的基本路径 一借助模型法、整体思想激发直觉思维由于直觉思维是以对整个问题的理解为基础的，是基于对该领域的的基础知识及其结构的掌握，对问题提出合理的猜想与假设，使人能以飞跃、极速、越级和放过个别细节的突然领悟的方式得到结果，使问题的解决成为可能，并且能明晰、简捷地把问题解决因此，应重视基本图形、基本模型的教学 帮助学生形成思维能力和知识网络联系，当学生遇到了相关或相近问题时， 学生头脑中储存的这些内容能被迅速提取，萌生预感，能找到解题的途径例如： 若是相交于一点的两两互相垂直的三个平面，点到的距离分别为，则 ；若与平面所成的角分别为，则 培养学生的直觉思维能力的最好的方法是找到问题的背景模型，背景模型是长方体对角线长等于三度平方的和又如：等腰直角三角形中，斜边，且为垂足，现沿着折成直二面角，求三棱锥的外接球的表面积这个问题是球内接长方体的背景模型，直觉思维就是与长方体有关系即为球内势长方体的对角线长是球的直径图1-1再如：如图1-1，已知三棱柱的体积为，点、分别是棱、上的点，且，则四棱锥的体积是 A B C D联想柱体的体积公式，直觉感到三棱柱的某侧面的面积与侧棱到侧面的距离与柱体的体积有关联，把这个3棱柱补成四棱柱，就会得到（其中是到平面的距离），再由棱体的体积公式即得四棱锥的体积是二借助类比思想促进直觉思维的有效迁移类比是一种重要的数学发现的思想方法，在普通高中课程标准实验教科书中，类比的思想的发现问题、解决问题的优越性体现的淋漓尽致在数学学习中，类比的作用主要体现在以下三个方面：1 发现新的命题2 转换命题，即实现问题的情境转换，使命题变得容易求解3 实现解题方法的有效迁移尝试用过去曾用于解决问题的方法去解决当前的问题由平面几何中的二维问题类比到空间的三维问题中解决例如：由命题“平面上到角两边距离相等的点在角的平分线上”类比得到命题“在空间里，如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上”在这里，正是由类比的思想由平面上一个命题猜想出空间里一个与之类似的新命题，此命题的正确性不难证明，此处从略值得注意的是，不是所有由类比方法得到的命题都是正确的如：在平面几何中，命题“如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行”是正确的，类比到空间几何中，命题“如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面平行”是不正确的又如：求边长为的正的内切圆的半径，可以由，从而得，用类比的方法求棱长为的正四面体（四个面都第15题图图2-2是正三角形）的内切球的半径 图2-1类比方法就是要理顺从平面图形过渡到空间图形的对应关系，关键问题是平面内的三角形可以分成三个全等的三个三角形，空间正四面体能关似分成四个全等的三棱锥形，所以不难求出正四面体的内切球的半径再如：在平面解析几何中，直线的方程是二元一次方程，特别是直线在轴、轴上的截距分别为，时，直线的截距式为，类比在空间向量几何中，如图2-2，类比直线的截距式方程，写出平面的方程的截距式为 ；点到直线的距离公式为，用类比的方法，平面的一般方程可表示为 ，则点到平面的 类比的思想在高考命题中有充分的体现，如年的全国高考试卷中有这样一道题：一间民房的房顶有如图的三种不同的盖法：、单向倾斜，、双向倾斜，、四向倾斜记三种盖法房顶面积分别为，若屋顶斜面与水平面成角为，则A B C D这是把平面直角三角形中余弦定义类比空间中，二面角的余弦值等于斜面在水平面的射影面积与斜面的面积的比由不难判断D正确三借助特殊化这一条有效的通径，以退求进特殊化思想就是高等数学中的边值理论，特殊化有三个基本功能：其一，是寻求问题解决的突破口；其二，是寻找解决问题的策略；其三，是完成解决问题的过程中常用的方法遇到一个较难的问题，往往使人无法下手，这时，一个很好的想法就是“退”，即从一般退到特殊，从复杂退到简单，从空间退到平面，从抽象退到具体，从整体退到部分，退到最原始而不失重要性的地方，退到你能下手的问题上，这恰好退到解决问题的本质上“退”不是目的，仅仅是解决问题的手段，在特殊的地方能看得清楚，能弄得明白，便可以获得一般情形的启示，找到解决问题的思路；当题目的条件具有一般性，而结论较具体、特殊化时，特殊化可以完成题目的解答（用解选择题、填空题具有很现实的价值）图3-1例如：如图3-1，已知平行六面体的底面是菱形，且（1） 证明：；（2） 当的值为多少时，能使平面？请给出证明将问题特殊化考虑正方体符合题目条件和结论，猜想，类比正方体中有关问题的证明，就能发现本题的证明思路本题还可以从平面向量的基本定理，用空间向量的基本定理，来解决问题也比较简捷又如：若一水平放置三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形的面积的（ ） A倍 B倍 C 倍 D倍本问题对任意的三角形的结论都是相同的，不妨利用特殊化直角三角形，代替一般三角形而得出结论是倍再如：如图3-2，已知四棱柱的棱长都为，底面是菱形，且，侧棱，为棱的中点，为线段的中点图3-2（）求证：平面平面；（）求三棱锥的体积本题的解决要想到点应该是特殊点，即对角线的中点，如果这一点想到了，证明平面平面就不难了，第二问题，能想到特殊化，求体积等于的体积，问题就能很快解决四经常作解题后的反思，有利于解题念头的诱发，有利于直觉思维能力题感的形成题感指指的是人们对问题的总体性的感受，它是思维定势正迁移的一种潜在表现，实质是一种数学观念、数学意识、数学素养，常体现在整体把握成功思路的预感、预测和预见因此，反思是培养和发展直觉思维的重要途径之一在教学中要有意识培养学生的反思习惯图4-1例如：如图4-1，已知正四棱柱（侧棱垂直底面，且底面为正方形）中，点在棱上，截面，且平面与底面所成角为，（1） 求截面的面积；（2） 求异面直线与之间的距离；（3） 求三棱锥的体积 在解决问题（3）时，关键是求高，无论选择那一个面为底，都不容易求出高，依据反思平时遇到的类似问题，得到的经验题感，可以预测，选择以原来的背景图形（四棱柱）的基本平面为底，因此考虑选择用原四棱柱的对角面有关的截面（为底面对角线与的交点），把三棱锥分成两个三棱锥和，不难证明，分别是它们的高，从而得到（以下解答从略）当然这个问题也可以认为是由平面求三角形的面积而产生的迁移，比如说，（如图4-2）类比求三角形面积的方法，求得四面体的体积 （直线平面）第15题图图4-2五培养对数学美的鉴赏能力数学美主要体现在对称性、简洁性、和谐性、奇异性和平抽象性，由于数学直觉思维能力是对研究对象内在的和谐与关系的直接洞察，因此，对数学美的体验和追求有助于直觉思维能力的训练与培养 例如：求证： 三棱锥的体积等于它的一个侧面面积与这个侧面与棱的距离之积的一半 基于对称性的考虑通过补形法再补一个与原来三棱柱完全相同的三棱柱，把问题转化成求四棱柱的体积，容易求出其体积值得注意的是，直觉思维能力的训练与培养不能依靠教师的单