自动控制原理 (程鹏 著) 高等教育出版社 课后答案【khdaw_lxywyl】24章根轨迹

2018/1/8,1,第四章,根轨迹法,2,第4章 根轨迹法,基本要求,4-1 根轨迹与根轨迹方程,4-2 绘制根轨迹的基本法则,4-3 广义根轨迹,4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃 响应的关系,4-5 系统阶跃响应的根轨迹,返回主目录,3,基本要求,1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。,返回子目录,4,4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。,5,重 点,1、绘制常规根轨迹的九大法则2、参量根轨迹与零度根轨迹3、控制系统根轨迹法分析,难 点,根轨迹族与闭环极点的确定,重点与难点,第4章 根轨迹,6,本章序言,前已述及，闭环系统的动态性能与闭环极点在 s 平面上的位置密切相关。所以 在分析系统的性能时，往往要求确定系统 的闭环极点的位置。另外，在分析或设计 系统时，经常要研究一个或几个参量在一 定范围内变化时，对闭环极点的位置以及 系统性能的影响。闭环极点就是特征根， 为了求解特征根，需将特征多项式进行因,第4章 根轨迹,7,式分解。但对于高阶系统不太容易，特别当系统某一参数变化时，需要反复地进行计算，更是不现实。所以伊万斯首先提出了求解特征根的图解方法根轨迹法。,本章序言(续),第4章 根轨迹,8,9,41 根轨迹与根轨迹方程,一、根轨迹,返回子目录,开环增益K时，对应的轨迹为常规根轨迹；其他参数时为广义根轨迹。,10,例子,如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：,11,开环传递函数有两个极点 。 没有零点，开环增益为K。,闭环特征方程为,闭环特征根为,闭环传递函数为,12,从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设,开环极点是否在根轨迹上？,13,如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。,?,从图上能看到什么特征,（1）K从根轨迹均在 s 左半平面，所以系统对 所有的K值都稳定。（2）0K0.5，特征根为实数，过阻尼，无超调。（3）K=0.5，临界阻尼，也无超调。（4）K0.5，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。（5）在Gk中，有一个零值极点，系统为1 型，阶跃 下ess0。,根轨迹的基本概念(P71),这种方法虽直观，但高阶系统先求特征根再画根轨迹不太现实，应通过闭环特征方程找特征根。,第4章 根轨迹,15,二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,如图所示系统闭环传递函数为,（44）,图43 控制系统,16,将前向通道传递函数G（s）表示为：,（45）,17,为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益,（46）,18,（48）,19,闭环传递函数,分别为闭环零、极点。,式中：,（410）,20,比较式（48）和式（410）可得出以下结论,闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益 有关。,21,三、根轨迹方程,根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12） 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开环传递函数与闭环极点的关系。,闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11） 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。,22,设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定nm，这时式（412）又可以写成：,（413）,不难看出，式子为关于复数s的方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。,23,复习复数模与复角,24,注意,在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值。,模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。,25,例4-1,它们应满足相角方程（415）,已知系统的开环传递函数,试证明复平面上点 是该系统的闭环极点。,26,图44例41开环零、极点分布图,27,(k=0),以 为试验点，可得,以 为试验点，观察图44，可得,图44,28,证毕,可见， 都满足相角方程， 所以， 点是闭环极点。,29,例42,已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如图4-5所示，求根轨迹上点 所对应的K值。,解 根据模值方程求解 值,模值方程,30,根据图45可得,所以,31,上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的 值。,根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。,32,42 绘制根轨迹的基本法则（重点）,一、根轨迹的分支数 分支数开环极点数 开环特征方程的阶数,二、根轨迹对称于实轴 闭环极点为 实数在实轴上 复数共轭对称于实轴,返回子目录,33,起于开环极点，终于开环零点。,三、根轨迹的起点与终点,由根轨迹方程有：,34,35,四、实轴上的根轨迹,实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。,证明：,设一系统开环零、极点分布如图。,36,在实轴上任取一试验点 代入相角方程则,所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。,与左侧的点夹角为多少？与共轭复根的夹角为多少？,？,37,一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式,证毕,如满足相角条件必有,所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。,38,例43,设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。,解：将开环传递函数写成零、极点形式,设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 时的闭环根轨迹。,39,最后绘制出根轨迹如图47所示。,法则一，n=2,有两条根轨迹法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处。法则四，在负实轴上，0到1区间和2到负无穷区间是根轨迹。,按绘制根规迹法则逐步进行：,40,图47例43根轨迹,41,法则五、根轨迹的渐近线（绘制根轨迹的大致形状,渐近线与实轴正方向的夹角为：,渐近线与实轴交点的坐标为：,若nm，当K时，有（n-m）条趋于无穷远 处，它们趋向的方位由渐近线决定：,渐近线关于实轴对称,42,例4-4,已知系统的开环传递函数,试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。,极点,43,按照公式得,42 绘制根轨迹的基本法则,例：已知 求渐近线.,有3条趋于无穷远处;,42 绘制根轨迹的基本法则,绘制根轨迹的基本法则(续),46,以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线,47,48,结论：,n-m条渐近线将s平面以 为中心等分。第一条渐近线角度180/n-m，各渐近线夹角为360/n-m,49,法则六、根轨迹的起始角和终止角,根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角。,根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角。,50,起始角与终止角计算公式,起始角计算公式：,终止角计算公式：,该极点与所有零点夹角之和,该极点与所有极点夹角之和,51,例45,设系统开环传递函数,试绘制系统概略根轨迹。,解 将开环零、极点画在图412的根平面 上，逐步画图：,52,n=2，有两条根轨迹,两条根轨迹分别起始于开环极点 (-1-j2),(-1+j2) ；终于开环零点 (-2-j) ,(-2+j),确定起始角,终止角。如图413所示。,是否需要计算实轴根轨迹和渐近线？,53,例45根轨迹的起始角和终止角,图413,54,图412 例45根轨迹,是不是所有的都需要计算起始角和终止角呢？当开环传递函数无零点的时候，无需计算终止角，只需计算起始角,55,定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴两相邻开环零点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。,七、根轨迹的分离点坐标d,56,分离点的坐标d可由下面方程求得,由于根轨迹的对称性，分离点多位于实轴上，也可能是一些共轭点（此情况少）。,57,分离点是否在根轨迹上？是不是闭环特征根？,根轨迹分离点的实质是闭环特称方程的重根，所以可以根据重根的方法来求分离点，,58,计算公式推导：G(s)H(s)=K M(S)/N(s)闭环特称方程为： D(S)= 1+G(s)H(s)=1+K M(S)/N(s)=0分离点至少是闭环方程的2重根，所以有D(S)=(S-d)2a(s)dD(S)/ds=( 2(s-d) a(s)+ (S-d)2a(s)=0最终满足公式：M(S) N(s)- M(S) N(s)=0,59,例46,已知系统的开环传递函数,试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概略绘制出根轨迹图。,60,解：根据系统开环传递函数求出开环极点,按步骤：n=2,m=1,有两条根轨迹两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环零点和无穷远零点实轴上根轨迹位于有限零点1和无穷零点之间，因此判断有分离点,61,离开复平面极点的初始角为,62,63,此系统根轨迹如图4-15所示,图415,66,八、分离角与会合角,所谓分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。分离角计算公式,（445）,l为分离点处相遇或分开的跟轨迹条数,67,所谓会合角是指根轨迹进入重极点处的切线与实轴正方向的夹角。,68,会合角计算公式,69,分离角与会合角不必经公式计算，可以用下列简单法则来确定：,若有 条根轨迹进入d点，必有 条根轨迹离开d点；,条进入d点的根轨迹与 条离开d点的根轨迹相间隔；,任一条进入d点的根轨迹与相邻的离开d点的根轨迹方向之间的夹角为 ；,因此只要确定了d点附近的一条根轨迹的方向，由上述规律就可以方便地确定d点附近所有的根轨迹方向，而确定d点附近根轨迹方向的方法可根据法则2 、法则4 或取试验点用相角条件来验证。,70,九、根轨迹与虚轴的交点,如根轨迹与虚轴相交，则交点上的 值和 值可用劳思判据判定，也可令闭环特征方程中的 ，然后分别令其实部和虚部为零求得。,42 绘制根轨迹的基本法则,绘制根轨迹的基本法则(续),2、用劳斯判据：,73,42 绘制根轨迹的基本法则,绘制根轨迹的基本法则(续),74,2、用劳斯判据：,75,例47（上海交大）,设系统开环传递函数为 试绘制闭环系统的概略根轨迹。,76,解：按步骤画图,有4条根轨迹各条根轨迹分别起于开环极点 0，-3，-1+j1, -1-j1 ；终于无穷远实轴上的根轨迹在0到-3之间渐近线,77,确定分离点d,78,确定起始角,79,确定根轨迹与虚轴的交点。,闭环系统的特征方程为,80,图417 例47根轨迹,81,十、根之和与根之积,如果系统特征方程写成如下形式,闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数 。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。,82,Tips,在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此，n-m2的系统，当增益的变动使某些闭环极点在s平面上向左 移动时，则必有另一些极点向右移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。,闭环特征根之积乘以 ，等于闭环特征方程的常数项。,42 绘制根轨迹的基本法则,根之和与根之积应用,84,例48,已知单位负反馈系统开环传递函数为,试画出 时的闭环系统的概略根轨迹，并求出 时的闭环传递函数及闭环极点。,绘制根轨迹练习,85,解；根据根轨迹绘制法则，按步计算：,n=4，有四条根轨迹；起始于开环极点0，-20，-2-j4, -2+j4，终于无穷远处；实轴上的根轨迹在（0，-20）区间；n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为,86,取,87,根轨迹的起始角。,分离点坐标d。,舍,88,根轨迹与虚轴交点。,解得,89,此时特征方程为,利用综合除法，可求出其他两个闭环极点,90,图419例48根轨迹图,91,图4-18常见闭环系统根迹图,42 绘制根轨迹的基本法则,例 1：已知 绘制根轨迹,绘制根轨迹的基本法则(续),93,解；根据根轨迹绘制法则，按步计算：,n=3，有3条根轨迹；起始于开环极点0，-1，-2终于无穷远处；实轴上的根轨迹在（-1，0）（-，-2）区间；n=3,m=0,则有3条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为,94,5 分离点坐标d。,95,6根轨迹与虚轴交点。,42 绘制根轨迹的基本法则,例 ：已知 绘制根轨迹（不求分离点）,97,解；根据根轨迹绘制法则，按步计算：,n=3，有3条根轨迹；起始于开环极点0，-3，-2终于无穷远和-1；实轴上的根轨迹在（-1，0）（-3，-2）区间；n=3,m=0,则有2条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为,98,例：已知开 环传递函数为 ， 且 ，证明K1从0的根轨 迹在复平面上是个圆，并求圆心与半径。,42 绘制根轨迹的基本法则,绘制根轨迹的基本法则(续),证明：由相角方程知：根轨迹上的点满足,闭环极点在复平面上时取,42 绘制根轨迹的基本法则,绘制根轨迹的基本法则(续),两边取正切，并利用公式：,42 绘制根轨迹的基本法则,绘制根轨迹的基本法则(续),42 绘制根轨迹的基本法则,例：已知,画根轨迹。,解：圆心在 （-1，j0）点，,103,在研究控制系统，经常会碰到系统仅具有两个开环极点和一个开环零点，这样使根轨迹有可能是直线，也有可能是圆弧，经证明：若根轨迹一旦离开实轴必然沿圆弧移动。圆心为开环零点，半径为开环零点分别到两个开环极点P1,P2距离的几何平均值。,104,105,106,43 广义根轨迹,在控制系统中，除根轨迹增益K以外，其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。,108,一、开环零点变化时的根轨迹,设系统开环传递函数为,返回子目录,109,令,（461）,上式为等效开环传递函数，显然，利用式461就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是广义根轨迹。,2、绘制步骤：(1)列出原系统的特征方程。(2)特征方程中除以不含参量的项，得到等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹增益。(3)绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。,43 广义根轨迹,广义根轨迹(续),111,例4-9已知单位负反馈 画出变化闭环根轨迹,112,二、开环极点变化时的根轨迹,设一负反馈系统的开环传递函数为,现在研究 变化的根轨迹。,等效开环传递函数为,根据式（462）可画出 变化时的广义根轨迹。,113,已知系统的开环传递函数为试绘制当开环增益K为 时，时间常数 变化时的根轨迹。,例4-10,解： 题目显然是求广义根轨迹问题。,114,系统特征方程为,等效开环传递函数为,等效开环传递函数有3个零点，即0，0，-1；2个极点，不同K值可计算出不同极点。,115,图4-21例4-10根轨迹图,116,分析复杂控制系统如图，其中内回路为正反馈。为了分析整个控制系统的性能，需求出内回路的闭环零、极点。用根轨迹的方法绘制正反馈系统的根轨迹。,三、零度根轨迹,图4-22,117,特征方程,研究内回路,118,从而相角方程及模值方程相应为,119,使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要修改,实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。根轨迹的渐近线,120,根轨迹的起始角与终止角,分离角与会合角,121,例4-11,图4-23,正反馈系统的结构图如图4-23所示，,试绘制开环系统根轨迹增益 变化时的根轨迹。,其中,122,解：,该系统是正反馈系统。,当 变化时的根轨迹是零度根轨迹。利用零度根轨迹法则绘制该系统的闭环根轨迹。,终止于开环零点,实轴根轨迹在 区间内。,起始于开环极点,123,图4-24例4-11根轨迹图,解：1）n=3,m=0三支均趋于无穷远处。,正反馈，绘制根轨迹。,43 广义根轨迹,广义根轨迹(续),例,125,126,44 系统闭环零、极点分布 与阶跃响应的关系,主要任务：,返回子目录,127,一、用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式,阶系统的闭环传递函数可写为：,128,设输入为单位阶跃：r(t)=1(t),有：,假设(s)中无重极点，上式分解为部分分式,129,130,将C(s)表达式进行拉式反变换得：,（474）,从上式看出，系统单位阶跃响应将由闭环极点及系数决定，而系数也与闭环零、极点分布有关。,131,二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定 性关系,132,快速性,闭环极点远离虚轴；,小，闭环极点之间间距大,零点与极点间间距小。,133,三、主导极点和偶极子,主导极点：就是对动态过程影响占主导地位的极点，一般是离虚轴最近的极点。,意义,134,偶极子：就是一对靠得很近的闭环零、极点。之间的模值很小，对系数Ak影响很小，对响应的影响很小可忽略,利用这一特点可以有意识的加入适当的零点，抵消对动态过程影响较大的不利极点，改善动态性能,135,四、利用主导极点估算系统的性能指标,既然主导极点在动态过程中起主要作用，那么，计算性能指标时，在一定条件下就可以只考虑暂态分量中主导极点对应的分量，将高阶系统近似看做一、二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。,136,例4-12,试近似计算系统的动态性能指标 。,解：这是三阶系统，有三个闭环极点其零、极点分布如图4-25所示。,某系统的闭环传递函数为,137,极点 离虚轴最近，所以系统的主导极点为 ，而其他两个极点可以忽略。,图4-25,138,这时系统可以看做是一阶系统。传递函数为式中：T=0.67s根据时域分析可知一阶系统无超调，调节时间,139,例4-13,系统闭环传递函数试估计系统的性能指标。,140,解：,闭环零、极点分布如图(4-26)所示,图4-26,141,系统近似为二阶系统,对应性能指标,142,例4-14,已知系统开环传递函数为试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比0.5时的性能指标。,143,解：,按步骤作出系统的根轨迹，如图4-27所示。,1